cis函數かんすう

  提示ていじ：此条目め页的主ぬし题不是ぜ歐おう拉ひしげ公式こうしき。

cis函數かんすう示しめせ意圖いと

一いち個こ可か以代表だいひょうcis函數かんすう的てき圖形ずけい，藍色あいいろ是ぜ實數じっすう部ぶ、橘たちばな色しょく是ぜ虛數きょすう部ぶ

cis函數かんすう
性質せいしつ
奇偶きぐう性せい	N/A
定義ていぎ域いき	(-∞,∞)
到達とうたつ域いき	$\left|\operatorname {cis} x\right|=1\,,\operatorname {cis} x\in \mathbb {C}$
周期しゅうき	2πぱい
特定とくてい值
當とうx=0	1
當とうx=+∞	N/A
當とうx=-∞	N/A
最大さいだい值	複數ふくすう無法むほう比ひ大小だいしょう
最小さいしょう值	複數ふくすう無法むほう比ひ大小だいしょう
其他性質せいしつ
渐近线	N/A
根ね	N/A
臨界りんかい點てん	N/A
拐點	kπぱい
不動點ふどうてん	0
k是ぜ一いち個こ整數せいすう.

在ざい微ほろ积分学がく中なか，cis函數かんすう又また稱しょう純じゅん虛數きょすう指數しすう函數かんすう，是ぜ複ふく變へん函數かんすう的てき一いち种，和わ三角さんかく函數かんすう類似るいじ，其可以使用しよう正弦せいげん函數かんすう和わ餘弦よげん函數かんすう$\operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x$來らい定義ていぎ，是ぜ一いち種しゅ實じつ變數へんすう複數ふくすう值函數すう，其中$i$為ため虛數きょすう單位たんい，而cis則そく為ためcos + i sin的てき縮寫しゅくしゃ。

概觀がいかん

cis函數かんすう是ぜ歐おう拉ひしげ公式こうしき等號とうごう右側みぎがわ的てき所しょ形がた的てき組合くみあい函數かんすう簡寫：

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

其中i表示ひょうじ虛數きょすう單位たんい$i^{2}=-1$。因よし此

$\operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,$

cis符號ふごう最早もはや由ゆかり威い廉かど·哈密頓とみ在ざい他た於1866出版しゅっぱん的てき《Elements of Quaternions》中ちゅう使用しよう，而Irving Stringham在ざい1893出版しゅっぱん的てき《Uniplanar Algebra》 以及James Harkness和わFrank Morley在ざい1898出版しゅっぱん的てき《Theory of Analytic Functions》中ちゅう皆みな沿用了りょう此一符號ふごう ，其利用りよう歐おう拉ひしげ公式こうしき將はた三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數かんすう主要しゅよう的てき功こう能のう為ため簡化某ぼう些數學がく表ひょう達たち式しき，透過とうかcis函數かんすう可か以使部分ぶぶん數學すうがく式能しきのう更さら簡便かんべん地表ちひょう達たち，例れい如傅里さと葉は變換へんかん和わ哈特利り變換へんかん的てき結合けつごう，以及應用おうよう在ざい教學きょうがく上じょう時じ，因いん某ぼう些因素もと（如課程かてい安やす排はい或ある課か綱つな需求）因いん故こ不能ふのう使用しよう指數しすう來らい表ひょう達たち數學すうがく式しき時じ，cis函數かんすう就能派は上じょう用よう場じょう。

性質せいしつ

cis函數かんすう的てき定てい义域是ぜ整せい个实数集しゅう，值域是これ單位たんい複數ふくすう，絕對ぜったい值為ため1的てき複數ふくすう。它是周期しゅうき函数かんすう，其最小正おばさ周期しゅうき为$2\pi$。其图像ぞう关于原点げんてん对称。

上述じょうじゅつ文字もじ稱しょう它以類似るいじ三角函數的形式來定義函數的原因是，就如同どう三角さんかく函數かんすう，他た也算是ぜ一いち種しゅ比ひ值，複數ふくすう和かず其模的てき比ひ值:

$\operatorname {cis} \theta ={\frac {z}{\left|z\right|}}$，其中$z$是これ辐角為ため$\theta$的てき複數ふくすう

因いん此，當とう一いち複數ふくすう的てき模も為ため1，其反函數かんすう就是辐角（arg函數かんすう）。

$\operatorname {cis}$函數かんすう可視かし為ため求もとむ單位たんい複數ふくすう的てき函數かんすう。

$\operatorname {cis}$函數かんすう的てき實數じっすう部分ぶぶん和わ餘弦よげん函數かんすう相あい同どう。

cis函數かんすう 定義ていぎ在ざい複數ふくすう。圖ず中ちゅう，顏色かおいろ代表だいひょう辐角，高こう代表だいひょう模も

微分びぶん

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}$

積分せきぶん

$\int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}$

其他性質せいしつ

根據こんきょ歐おう拉ひしげ公式こうしき，cis函數かんすう有ゆう以下いか性質せいしつ：

$\operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y$

$\operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}$

上述じょうじゅつ性質せいしつ是ぜ當とう$x$與あずか$y$都みやこ是ただし複數ふくすう時じ成立せいりつ。在ざい$x$與あずか$y$都みやこ是ただし實數じっすう時じ，有ゆう以下いか不等式ふとうしき：

$|\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.$

命名めいめい

由よし於$\operatorname {cis}$函數かんすう的てき值為「餘弦よげん加か上じょう虛數きょすう單位たんい倍ばい的てき正弦せいげん」，取と其英文えいぶん縮寫しゅくしゃcosine and imaginary unit sine，故こ以$\operatorname {cis}$來らい表示ひょうじ該函數すう。

歐おう拉ひしげ公式こうしき

主しゅ条目じょうもく：歐おう拉ひしげ公式こうしき

在ざい數學すうがく上じょう，為ため了簡りょうけん化か歐おう拉ひしげ公式こうしき$e^{ix}=\cos x+i\sin x\$，因いん此將歐おう拉ひしげ公式こうしき以類似るいじ三角函數的形式來定義函數，給きゅう出で了りょうcis函數かんすう的てき定義ていぎ：

$\operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\;\sin \theta$

並なみ且一般いっぱん定義ていぎ域いき為ため$\theta \in \mathbb {R} \,$，值域為ため$\theta \in \mathbb {C} \,$。

當とう$\theta$值為複數ふくすう時じ，$\operatorname {cis}$函數かんすう仍然是ぜ有效ゆうこう的てき，因いん此可利用りようcis函數かんすう將しょう歐おう拉ひしげ公式こうしき推廣到いた更さら複雜ふくざつ的てき版本はんぽん。

棣莫弗どる公式こうしき

主しゅ条目じょうもく：棣莫弗どる公式こうしき

在ざい數學すうがく上じょう，為ため了りょう方便ほうべん起おこり見み，可か以將棣莫弗どる公式こうしき寫うつし成なり以下いか形式けいしき：

$\operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)$

指數しすう定義ていぎ

跟其他た三角さんかく函數かんすう類似るいじ，可か以用e的てき指數しすう來らい表示ひょうじ，依よ照あきら歐おう拉ひしげ公式こうしき給きゅう出で: $\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$

反はん函數かんすう

$\operatorname {cis}$的てき反はん函數かんすう：$\operatorname {arccis} x$，當とう代入だいにゅう模も為ため1的てき複數ふくすう時じ，所得しょとく的てき值是其輻角かく

類似るいじ其他三さん角かく函數かんすう，$\operatorname {cis}$的てき反はん函數かんすう也可以用自然しぜん對數たいすう來らい表示ひょうじ

$\operatorname {arccis} \,x=-{\mathrm {i} }\ln x\,$

當とう一いち複數ふくすう經過けいか符號ふごう函數かんすう後こう代入だいにゅう$\operatorname {arccis} x$可か得とく輻や角かく。

恆等こうとう式しき

$\operatorname {cis}$函數かんすう的てき倍角ばいかく公式こうしき似に乎比三角さんかく函數かんすう簡單かんたん許多きょた

半はん形かたち公式こうしき

$\operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}$

$\operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}$

倍角ばいかく公式こうしき

$\operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta$

$\operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta$

冪べき簡約かんやく公式こうしき

$\operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta$

相關そうかん函數かんすう

餘よcis函數かんすう

cocis函數かんすう，正せい好こう跟cis上下じょうげ顛倒てんとう，周期しゅうき相しょう同どう，但ただし是ぜ位い移うつり了りょう${\frac {\pi }{2}}$

就如同どう三角さんかく函數かんすう，我わが們可以令：$\operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta$，其可用よう於誘導ゆうどう公式こうしき來き化か簡某些特定とくてい的てき$\operatorname {cis}$函數かんすう的てき式子しょくし。

至いたり於指數すう定義ていぎ，經過けいか正弦せいげん和わ餘弦よげん的てき指數しすう定義ていぎ得どく:

$\operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}$

有ゆう恆等こうとう式しき:

$\operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta$

$\operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta$

$\operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta$

$\operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta$

雙そう曲きょくcis函數かんすう

cish函數かんすう（$\cosh +i\sinh$）在ざい幾何きか意義いぎ上じょう與あずかcis函數かんすう對應たいおう的てき雙そう曲きょく函數かんすう不同ふどう。在ざい雙そう曲きょく幾何きか中ちゅう，與あずか歐おう幾里いくさと得とく幾何きか對應たいおうcis函數かんすう應おう為ため：

$e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )$

然しか而當中ちゅう的てき$i$若わか定義ていぎ為ため負まけ一いち的てき平方根へいほうこん，則のり其會變へん為ため：

$\operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )$

雙そう曲きょく複數ふくすう

主しゅ条目じょうもく：雙そう曲きょく複數ふくすう

在ざい一般いっぱん的てき情況じょうきょう下か，cis函數かんすう對應たいおう的てき雙そう曲きょく函數かんすう定義ていぎ域いき和わ值域皆みな為ため實數じっすう，但ただし若わか定義ていぎ雙そう曲きょく複數ふくすう，考慮こうりょ數すう$z=x+jy$，其中$x,y$是これ實數じっすう，而量$j$不ふ是ぜ實數じっすう，但ただし$j^{2}$是ぜ實數じっすう。選えらべ取ど$j^{2}=-1$，得え到いた一般いっぱん複數ふくすう。取と$+1$的てき話はなし，便びん得え到いた雙そう曲きょく複數ふくすう。

而雙そう曲きょく複數ふくすう有ゆう對應たいおう的てき歐おう拉ひしげ公式こうしき:$e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$

$\operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$

其中j為ため雙そう曲きょく複數ふくすう。

因いん此雙そう曲きょくcis函數かんすう得え到いた的てき值為雙そう曲きょく複數ふくすう，相反あいはん的てき若わか將はた其反はん函數かんすう帶おび入にゅう模も為ため一いち的てき雙そう曲きょく複數ふくすう可か得とく其輻や角かく。

如此一いち來らい，值域將しょう會かい變成へんせい分裂ぶんれつ四よん元げん数すう。

cas函數かんすう

cas函數かんすう是ぜ一いち個こ以類似るいじcis函數かんすう的てき概念がいねん定義ていぎ的てき一いち個こ函數かんすう，為ため雷かみなり夫おっと·赫特利り於1942提出ていしゅつ，其定義ていぎ為ため$\mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x$，是ぜ一種實變數實值函數，而cas為ため「cosine-and-sine」的てき縮寫しゅくしゃ，其表示ひょうじ了りょう實數じっすう值的赫特利り變換へんかん：

$\mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x$

cas函數かんすう存在そんざい一いち些恆等式とうしき：

$2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,$

角すみ和かず公式こうしき：

$\operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,$

微分びぶん：

$\operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).$

參まいり見み

• 正弦せいげん
• 餘弦よげん
• 複數ふくすう (數學すうがく)
• 三角さんかく函数かんすう
• 三角さんかく函数かんすう恆等こうとう式しき
• 歐おう拉ひしげ公式こうしき