实数

實數じっすう集しゅう的てき表示ひょうじ符號ふごう ($\mathbb {R}$)

在ざい數學すうがく中なか，实数（英語えいご：real number）是これ有理數ゆうりすう和わ無理むり數すう的てき总称，前者ぜんしゃ如$0$、$-4$、${\frac {81}{7}}$；后きさき者しゃ如${\sqrt {2}}$、$\pi$等ひとし。实数可か以直ちょく观地ち看み作づく小數しょうすう（有限ゆうげん或ある無限むげん的まと），它們能のう把わ数かず轴「填はま滿みつる」。但ただし僅僅きんきん以枚まい舉的てき方式ほうしき不能ふのう描述實數じっすう的てき全體ぜんたい。实数和わ虚数きょすう共同きょうどう构成复数。

根ね据すえ日常にちじょう经验，有理數ゆうりすう集しゅう在ざい數すう軸じく上じょう似に乎是「稠密ちゅうみつ」的てき，于是古人こじん一直认为用有理數即能滿足測量そくりょう上うえ的てき實際じっさい需要じゅよう。以邊長ちょう為ため$1$公おおやけ分ぶん的てき正方形せいほうけい為ため例れい，其對角線たいかくせん有ゆう多た長ちょう？在ざい規定きてい的てき精度せいど下か（比ひ如誤差ごさ小しょう於$0.001$公おおやけ分ぶん），總そう可か以用有理數ゆうりすう來らい表示ひょうじ足あし夠精確かく的てき測量そくりょう結果けっか（比ひ如$1.414$公おおやけ分ぶん）。但ただし是ぜ，古希こき臘畢達哥拉斯學しがく派は的てき數學すうがく家か發現はつげん，只ただ使用しよう有理數ゆうりすう無法むほう完全かんぜん精確せいかく地ち表示ひょうじ這條對角線たいかくせん的てき長ちょう度ど，這徹底てってい地ち打擊だげき了りょう他た們的數學すうがく理念りねん；他た們原以為：

• 任にん何なん兩りょう條じょう線せん段だん（的まと長ちょう度ど）的てき比ひ，可か以用自然しぜん數すう的まと比ひ來らい表示ひょうじ。

正因まさより如此，畢達哥拉斯本人ほんにん甚至有ゆう「萬物ばんぶつ皆みな數すう」的てき信念しんねん，這裡的てき數すう是ぜ指ゆび自然しぜん數すう（$1,2,3,\ldots$），而由自然しぜん數すう的てき比ひ就得到いた所有しょゆう正せい有理數ゆうりすう，而有理數りすう集しゅう存在そんざい「縫ぬい隙すき」這一事實じじつ，對たい當時とうじ很多數學すうがく家來けらい說せつ可か謂いい極大きょくだい的てき打擊だげき；見み第だい一いち次じ數學すうがく危機きき。

從したがえ古希こき臘一いち直ちょく到いた17世紀せいき，數學すうがく家か們才慢慢接受せつじゅ無理むり數すう的てき存在そんざい，並なみ把わ它和有理數ゆうりすう平等びょうどう地ち看み作づく數かず；後來こうらい有ゆう虚数きょすう概念的がいねんてき引入，為ため加か以區別べつ而稱作さく“實數じっすう”，意い即そく“實在じつざい的てき數すう”。在ざい當時とうじ，儘管虛數きょすう已やめ經けい出現しゅつげん並なみ廣こう為ため使用しよう，實數じっすう的てき嚴格げんかく定義ていぎ卻仍然しか是これ個こ難題なんだい，以至函數かんすう、極限きょくげん和わ收斂しゅうれん性せい的てき概念がいねん都と被ひ定義ていぎ清楚せいそ之これ後ご，才ざい由よし十じゅう九きゅう世紀せいき末まつ的てき戴德金きん、康かん托たく尔等とう人ひと對たい實數じっすう進行しんこう了りょう嚴格げんかく處理しょり。

所有しょゆう实数的てき集合しゅうごう則そく可か稱たたえ為ため实数系けい（real number system）或ある实数连续统。任にん何なん一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在ざい保ほ序じょ同どう构意义下它是惟おもんみ一いち的てき，常用じょうよう$\mathbb {R}$表示ひょうじ。由よし于$\mathbb {R}$是ぜ定てい义了算数さんすう运算的てき运算系けい统，故こ有ゆう实数系けい这个名称めいしょう。

初等しょとう數學すうがく

在ざい目前もくぜん的てき初等しょとう數學すうがく中なか，没ぼつ有ゆう對たい實數じっすう進行しんこう嚴格げんかく的てき定義ていぎ，而一般把實數看作小數しょうすう（有限ゆうげん或ある無限むげん的てき）。实数的てき完かん备性可か以利用りよう幾何きか加か以说明あきら，即そく数すう轴上的てき點てん與あずか實數じっすう一いち一いち對應たいおう；見み数かず轴。

实数可か以分为有理数ゆうりすう（如$42$、$-{\frac {23}{129}}$）和わ无理数すう（如$\pi$、${\sqrt {2}}$），或ある者もの代数だいすう数すう和わ超越ちょうえつ数すう（有理數ゆうりすう都と是ぜ代數だいすう數すう）两类。实数集合しゅうごう通常つうじょう用よう字母じぼ$R$或ある$\mathbb {R}$表示ひょうじ。而$\mathbb {R} ^{n}$表示ひょうじ$n$维实数空そら间。实数是ぜ不可ふか数すう的てき。实数是ぜ实分析ぶんせき的てき核心かくしん研究けんきゅう对象。

实数可か以用来らい测量连续變化へんか的てき量りょう。理り论上，任にん何なん实数都と可か以用无限小数しょうすう的てき方式ほうしき表示ひょうじ，小数点しょうすうてん的てき右みぎ边是一いち个无穷的数列すうれつ（可か以是循环的てき，也可以是非ぜひ循环的てき）。在ざい实际运用中ちゅう，实数经常被ひ近似きんじ成なり一いち个有限げん小数しょうすう（保留ほりゅう小数点しょうすうてん后きさき$n$位くらい，$n$为正整数せいすう）。在ざい计算机つくえ领域，由ゆかり于计算さん机つくえ只ただ能のう存そん储有限げん的てき小数しょうすう位い数すう，实数经常用じょうよう浮点数すう来らい表示ひょうじ。

正数せいすう与あずか负数

主しゅ条目じょうもく：正数せいすう和わ负数

实数是ぜ一いち个集合しゅうごう，通常つうじょう可か以分为正数せいすう、负数和わ零れい（$0$）三さん类。「正数せいすう」（符号ふごう：$\mathbb {R} ^{+}$）即そく大だい于$0$的てき实数，而「负数」（符号ふごう：$\mathbb {R} ^{-}$）即そく小しょう于$0$的てき实数。与あずか实数一いち样，两者都と是ぜ不可ふか數すう的てき無限むげん集合しゅうごう。正数せいすう的てき相反あいはん数すう一定いってい是ぜ负数，负数的てき相反あいはん数也かずや一定いってい是正ぜせい数すう。除じょ正數せいすう和わ負數ふすう外がい，通常つうじょう将しょう$0$與あずか正數せいすう统称为「非負ひふ數すう」（符号ふごう：$\mathbb {R} _{0}^{+}$），而将$0$與あずか負數ふすう统称为「非ひ正數せいすう」（符号ふごう：$\mathbb {R} _{0}^{-}$）。这和整数せいすう可か以分为正せい整數せいすう、负整数すう和かず零れい（$0$），而$0$與あずか正せい整數せいすう通常つうじょう统称为非負ふ整數せいすう、$0$與あずか負ふ整數せいすう则通常つうじょう统称为非正せい整數せいすう非常ひじょう相似そうじ。另外，只ただ有ゆう实数可か以分为正和わ负等，虚数きょすう是ぜ没ぼつ有正ありまさ负之分ぶん的てき。

历史

在ざい公おおやけ元もと前まえ500年ねん左右さゆう，以毕达哥拉斯为首的てき希まれ腊数学すうがく家か们認識到有理數ゆうりすう在ざい幾何きか上じょう不能ふのう滿足まんぞく需要じゅよう，但ただし毕达哥拉斯本身ほんみ並なみ不承認ふしょうにん無理むり數すう的てき存在そんざい。 直ちょく到いた17世せい纪，实数才ざい在ざい欧おう洲しゅう被ひ广泛接受せつじゅ。18世せい纪，微ほろ积分学がく在ざい实数的てき基もと础上发展起おこり来らい。直ちょく到いた1871年ねん，德とく国こく数学すうがく家か康かん托たく尔第だい一次提出了实数的严格定义。

定てい义

從したがえ有理數ゆうりすう构造實數じっすう

实数可か以用通どおり过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如${3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159...}$所定しょてい义的序列じょれつ的てき方式ほうしき而构造づくり为有理数りすう的てき完備かんび化か。實數じっすう可か以不同どう方式ほうしき從したがえ有理數ゆうりすう构造出來でき。这里给出其中一いち种，其他方法ほうほう请詳見み實數じっすう的てき構造こうぞう。

公理こうり化か方法ほうほう

设 $\mathbb {R}$ 是ぜ所有しょゆう实数的てき集合しゅうごう，则：

• 集合しゅうごう $\mathbb {R}$ 是ぜ一いち个域いき：可か以作加か、减、乘の、除じょ运算，且有如交换律りつ，结合律りつ等ひとし常つね见性质。
• 域いき $\mathbb {R}$ 是ぜ个有ゆう序じょ域いき，即そく存在そんざい全ぜん序じょ关系$\geq$ ，对所有しょゆう实数$x,y$和わ$z$：
  • 若わか$x\geq y$则$x+z\geq y+z$·
  • 若わか$x\geq 0$且$y\geq 0$则$xy\geq 0$
• 集合しゅうごう $\mathbb {R}$ 满足戴德金きむ完かん备性，即そく任意にんい $\mathbb {R}$ 的てき非ひ空そら子こ集しゅう$S(S\subseteq \mathbb {R} ,S\neq \varnothing )$，若わか$S$在ざい $\mathbb {R}$ 内うち有ゆう上うえ界かい，那な么$S$在ざい $\mathbb {R}$ 内うち有ゆう上うえ确界。

最さい后きさき一条是区分实数和有理数的关键。例れい如所有しょゆう平方へいほう小しょう于$2$的てき有理数ゆうりすう的てき集合しゅうごう存在そんざい有理数ゆうりすう上うえ界かい，如$1.5$；但ただし是ぜ不ふ存在そんざい有理数ゆうりすう上じょう确界（因いん为${\sqrt {2}}$不ふ是ぜ有理数ゆうりすう）。

實數じっすう通どおり过上述じょうじゅつ性せい质唯一いち确定。更さら准じゅん确的说，给定任意にんい两个戴德金きむ完かん备的有ゆう序じょ域いき $\mathbb {R} _{1}$和わ $\mathbb {R} _{2}$，存在そんざい从 $\mathbb {R} _{1}$到いた $\mathbb {R} _{2}$的てき唯ただ一いち的てき域いき同どう構，即そく代數だいすう學がく上じょう兩者りょうしゃ可か看み作さく是ぜ相しょう同どう。

例れい子こ

• $15$ (整数せいすう)
• $2.121$ (有限ゆうげん小数しょうすう)
• $-1.3333333\ldots$ (无限循环小数しょうすう)
• $\pi =3.1415926\ldots$ (无理数すう)
• ${\sqrt {3}}$(无理数すう)
• ${\frac {1}{3}}$ (分数ぶんすう)

性せい质

基本きほん运算

在ざい实数域内いきない，可か实现的てき基本きほん运算有ゆう加か、减、乘の、除じょ、乘の方かた等ひとし，对非负数还可以进行ぎょう开方运算。实数加か、减、乘じょう、除じょ（除数じょすう不ふ为零）、平方へいほう后きさき结果还是实数。任にん何なん实数都と可か以开奇き次じ方かた，结果仍是实数；只ただ有ゆう非ひ负实数すう才能さいのう开偶次じ方かた，其结果はて还是实数。

连续性せい或ある完備かんび性せい

作さく为度量どりょう空間くうかん或ある一致いっち空間くうかん，實數じっすう集合しゅうごう是ぜ一いち个完かん备空间，它有以下いか性せい质：

所有しょゆう實數じっすう的てき柯西序列じょれつ都と有ゆう一いち個こ實數じっすう極限きょくげん。

有理數ゆうりすう集合しゅうごう就不是ぜ完かん备空间。例れい如，$(1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,\ldots )$是ぜ有理數ゆうりすう的てき柯西序列じょれつ，但ただし沒ぼっ有ゆう有理數ゆうりすう極限きょくげん。实际上じょう，它有個こ實數じっすう極限きょくげん${\sqrt {2}}$。實數じっすう是ぜ有理數ゆうりすう的てき完かん备化：這亦是ぜ构造實數じっすう集合しゅうごう的てき一いち种方法ほう。

完かん备的有ゆう序じょ域いき（有ゆう序じょ性せい）

实数集合しゅうごう通常つうじょう被ひ描述为“完かん备的有ゆう序じょ域いき”，这可以几种解释。

• 首くび先さき，有ゆう序じょ域いき可か以是完かん备格。然しか而，很容易ようい发现没ぼつ有ゆう有ゆう序じょ域いき会かい是ぜ完かん备格。这是由よし于有序じょ域いき没ぼつ有ゆう最大さいだい元素げんそ（对任意にんい元素げんそ$z$，$z+1$将はた更さら大だい）。所以ゆえん，这裡的てき“完かん备”不ふ是ぜ完かん备格的てき意思いし。
• 另外，有ゆう序じょ域いき满足戴德金きむ完かん备性，这在上述じょうじゅつ「公理こうり」中ちゅう已やめ经定义。上述じょうじゅつ的てき唯ただ一性也说明了这裡的“完かん备”是ぜ指ゆび戴德金きむ完かん备性的てき意思いし。这个完かん备性的てき意思いし非常ひじょう接近せっきん采さい用よう戴德金きん分割ぶんかつ来らい构造实数的てき方法ほうほう，即そく从（有理数ゆうりすう）有ゆう序じょ域いき出で发，通つう过标准じゅん的てき方法ほうほう建立こんりゅう戴德金きむ完かん备性。
• 这两个完备性的てき概念がいねん都と忽ゆるがせ略りゃく了りょう域いき的てき结构。然しか而，有ゆう序じょ群ぐん（域いき是ぜ种特殊こと的てき群ぐん）可か以定义一致いっち空そら间，而一致空间又有完かん备空间的てき概念がいねん。上述じょうじゅつ「完かん备性」中ちゅう所しょ述じゅつ的てき只ただ是ぜ一いち个特例れい。（这里采さい用よう一致空间中的完备性概念，而不是ぜ相しょう关的人じん们熟知的ちてき度量どりょう空そら间的完かん备性，这是由よし于度量りょう空そら间的定てい义依赖于实数的てき性せい质。）当然とうぜん，$\mathbb {R}$并不是ぜ唯一ゆいいつ的てき一致完备的有序域，但ただし它是唯一ゆいいつ的てき一致いっち完かん备的「阿おもね基もと米まい德とく域いき」。实际上じょう，“完かん备的阿おもね基もと米まい德とく域いき”比ひ“完かん备的有ゆう序じょ域いき”更さら常つね见。可か以证明あきら，任意にんい一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然とうぜん反はん之の亦また然しか）。这个完かん备性的てき意思いし非常ひじょう接近せっきん采さい用よう柯西序列じょれつ来らい构造实数的てき方法ほうほう，即そく从（有理数ゆうりすう）阿おもね基もと米まい德とく域いき出で发，通つう过标准じゅん的てき方法ほうほう建立こんりゅう一致いっち完かん备性。
• “完かん备的阿おもね基もと米まい德とく域いき”最早もはや是ぜ由ゆかり希まれ尔伯特とく提出ていしゅつ来らい的てき，他た还想表ひょう达一些不同于上述的意思。他た认为，实数构成了りょう「最大さいだい的てき」阿おもね基もと米まい德とく域いき，即そく所有しょゆう其他的てき阿おもね基もと米まい德とく域いき都と是ぜ$\mathbb {R}$的てき子こ域いき。这样$\mathbb {R}$是ぜ“完かん备的”是ぜ指ゆび，在ざい其中加入かにゅう任にん何なん元素げんそ都と将はた使つかい它不再さい是ぜ阿おもね基もと米まい德とく域いき。这个完かん备性的てき意思いし非常ひじょう接近せっきん用よう超ちょう实数来らい构造实数的てき方法ほうほう，即そく从某个包含ほうがん所有しょゆう（超ちょう实数）有ゆう序じょ域いき的てき纯类出で发，从其子こ域いき中ちゅう找出最大さいだい的てき阿おもね基もと米まい德とく域いき。

高こう级性质

• 实数集しゅう是ぜ不可ふか数すう的てき，也就是ぜ说，实数的てき个数严格多た于自然しぜん数すう的てき个数（尽つき管かん两者都と是ぜ无穷大だい）。这一いち点てん，可か以通过康かん托たく尔对角かく线方法ほう证明。实际上じょう，实数集しゅう的てき势为2^ωおめが（请参见连续统的势），即そく自然しぜん数すう集しゅう的てき幂集的てき势。由よし于实数すう集中しゅうちゅう只ただ有ゆう可か数すう集しゅう个数的てき元素げんそ可能かのう是ぜ代数だいすう数すう，绝大多数たすう实数是ぜ超越ちょうえつ数すう。实数集しゅう的てき子こ集中しゅうちゅう，不ふ存在そんざい其势严格大だい于自然しぜん数すう集しゅう的てき势且严格小しょう于实数すう集しゅう的てき势的集合しゅうごう，这就是ぜ连续统假设。该假设不能ふのう被ひ证明是ぜ否いや正せい确，这是因いん为它和わ集合しゅうごう论的てきZF(ZFC)公理系こうりけい统相互そうご独立どくりつ。
• 所有しょゆう非ひ负实数すう的てき平方根へいほうこん属ぞく于$R$，但ただし这对负数不成立ふせいりつ。这表明ひょうめい$R$上うえ的てき序じょ是ぜ由よし其代数すう结构确定的てき。而且，所有しょゆう奇数きすう次じ多た项式至いたり少しょう有ゆう一个根属于$R$。这两个性质使$R$成なり为实封闭域的てき最さい主要しゅよう的てき实例。证明这一いち点てん就是对代数だいすう基本きほん定理ていり的てき证明的てき前半ぜんはん部分ぶぶん。
• 实数集しゅう拥有一いち个规范的测度，即そく勒贝格かく测度。
• 实数集しゅう的てき上じょう确界公理こうり用よう到いた了りょう实数集しゅう的てき子こ集しゅう，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能ふかのう只ただ采さい用よう一いち阶逻辑来らい刻こく画が实数集しゅう：1. Löwenheim-Skolem定理ていり说明，存在そんざい一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超ちょう实数的てき集合しゅうごう远远大だい于$R$，但ただし也同样满足あし和わ$R$一样的一阶逻辑命题。满足和わ$R$一样的一阶逻辑命题的有序域称为$R$的てき非ひ标准模型もけい。这就是ぜ非ひ标准分析ぶんせき的てき研究けんきゅう内容ないよう，在ざい非ひ标准模型もけい中ちゅう证明一阶逻辑命题（可能かのう比ひ在ざい$R$中ちゅう证明要よう简单一いち些），从而确定这些命いのち题在$R$中也ちゅうや成立せいりつ。

拓ひらけ撲なぐ性質せいしつ

實數じっすう集しゅう構成こうせい一いち個こ度量どりょう空間くうかん：$x$和わ$y$間あいだ的てき距離きょり定てい為ため絕對ぜったい值 $|x-y|$。作為さくい一いち個こ全ぜん序じょ集しゅう，它也具有ぐゆう序じょ拓ひらけ撲なぐ。這裡，從したがえ度量どりょう和わ序じょ關係かんけい得え到いた的てき拓ひらけ撲なぐ相あい同どう。實數じっすう集しゅう又また是ぜ一いち維的てき可か縮ちぢみ空間くうかん（所以ゆえん也是連れん通どおり空間くうかん）、局部きょくぶ緊緻空間くうかん、可分かぶん空間くうかん、貝かい爾なんじ空間くうかん。但ただし實數じっすう集しゅう不ふ是ぜ緊緻空間くうかん。這些可か以通過つうか特定とくてい的てき性質せいしつ來らい確定かくてい，例れい如，無限むげん連續れんぞく可分かぶん的てき序じょ拓ひらけ撲なぐ必須ひっす和わ實數じっすう集しゅう同どう胚はい。以下いか是ぜ實數じっすう的てき拓ひらけ撲なぐ性質せいしつ總覽そうらん：

• 令れい$a\;$為ため一いち實數じっすう。$a\;$的てき鄰域是ぜ實數じっすう集中しゅうちゅう一いち個こ包括ほうかつ一いち段だん含有がんゆう$a\;$的まと線せん段だん的てき子こ集しゅう。
• $\mathbb {R}$是これ可分かぶん空間くうかん。
• $\mathbb {Q}$在ざい$\mathbb {R}$中ちゅう處處しょしょ稠密ちゅうみつ。
• $\mathbb {R}$的てき開ひらき集しゅう是ぜ開ひらき區間くかん的てき聯れん集しゅう。
• $\mathbb {R}$的てき緊子集しゅう等とう价于有界ゆうかい閉集。特別とくべつ是ぜ：所有しょゆう含端點てん的てき有限ゆうげん線せん段だん都と是ぜ緊子集しゅう。
• 每まい個こ$\mathbb {R}$中なか的てき有界ゆうかい序列じょれつ都と有ゆう收斂しゅうれん子こ序列じょれつ。
• $\mathbb {R}$是ぜ連れん通どおり且單たん連れん通どおり的てき。
• $\mathbb {R}$中なか的てき連れん通どおり子こ集しゅう是ぜ線せん段だん、射い線せん與あずか$\mathbb {R}$本身ほんみ。由よし此性質せいしつ可か迅速じんそく導出どうしゅつ中間ちゅうかん值定理ていり。
• 區間くかん套定理ていり：設しつらえ$(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$為ため一いち個こ有界ゆうかい閉集的てき序列じょれつ，且$F_{n}\supset F_{n+1}$，則のり其交集しゅう非ひ空そら。嚴格げんかく表ひょう法ほう如下：

$\forall n\in \mathbb {N} \;\forall m>n\quad F_{m}\subset F_{n}\quad \Rightarrow \quad \bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}\;\neq \varnothing \;$.

扩展与一よいち般化

实数集しゅう可か以在几种不同ふどう的てき方面ほうめん进行扩展和わ一般いっぱん化か：

• 最さい自然しぜん的てき扩展可能かのう就是复数了りょう。复数集しゅう是ぜ包含ほうがん了りょう所有しょゆう多た项式的てき根ね的てき代数だいすう闭域。但ただし是ぜ，复数集しゅう不ふ是ぜ一いち个有ゆう序じょ域いき。

• 实数集しゅう扩展的てき有ゆう序じょ域いき是ぜ超ちょう实数的てき集合しゅうごう，包含ほうがん无穷小しょう和わ无穷大だい。它不是ぜ一いち个阿おもね基もと米まい德とく域いき。

• 有ゆう时候，形式けいしき元素げんそ +∞和わ -∞加入かにゅう实数集しゅう，构成扩展的てき实数轴。它是一个紧致空间，而不是ぜ一いち个域，但ただし它保留ほりゅう了りょう许多实数的てき性せい质。

• 希まれ尔伯特とく空そら间的てき自じ伴とも随ずい算さん子こ在ざい许多方面ほうめん一般いっぱん化か实数集しゅう：它们可か以是有ゆう序じょ的てき（尽つき管かん不ふ一定いってい全ぜん序じょ）、完かん备的；它们所有しょゆう的てき特とく征せい值都みやこ是ただし实数；它们构成一いち个实结合代数だいすう。

请参阅

• 有理数ゆうりすう
• 无理数すう
• 虚数きょすう
• 复数
• 实数系けい的てき连续性せい