無窮むきゅう小量しょうりょう

無窮むきゅう小量しょうりょう（英語えいご：Infinitesimal），或ある稱しょう「不可分ふかぶん量りょう」，是ぜ數學すうがく分析ぶんせき中なか的てき一いち個こ概念がいねん，用よう于嚴格げんかく地ち定義ていぎ諸しょ如「最終さいしゅう會かい消失しょうしつ的てき量りょう」、「絕對ぜったい值比任にん何なん正數せいすう都と要かなめ小しょう的てき量りょう」等とう非ひ正式せいしき描述。在ざい經典きょうてん的てき微積分びせきぶん或ある數學すうがく分析ぶんせき中ちゅう，無窮むきゅう小量しょうりょう通常つうじょう以函數かんすう、序列じょれつ等とう形式けいしき出現しゅつげん。

定てい义

一いち個こ序列じょれつ$a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$若わか滿足まんぞく如下性質せいしつ：

• 對たい任意にんい的てき預あずか先さき給きゅう定じょう的てき正せい實數じっすう$\varepsilon >0$，存在そんざい正せい整數せいすう$\displaystyle N$使つかい得とく

$|a_{k}|<\varepsilon$

在ざい$\displaystyle k>N$時とき必定ひつじょう成立せいりつ；或ある用よう極限きょくげん符號ふごう把わ上述じょうじゅつ性質せいしつ簡記為ため

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

則のり序列じょれつ$a$被ひ稱しょう為ため$n\to \infty$時どき的てき無窮むきゅう小量しょうりょう。

历史

無窮むきゅう小量しょうりょう對應たいおう英語えいご的てきInfinitesimals，用よう於表達たち一種極其微小的對象，人にん們根本ほん無む從したがえ看み見み它們或ある者もの量りょう度ど它們。在ざい日常にちじょう生活せいかつ中ちゅう，Infinitesimal作為さくい形容詞けいようし可か以指「非常ひじょう小しょう」，但ただし不ふ一定いってい是ぜ「無窮むきゅう的てき小しょう」。而中文ぶん的てき「無窮むきゅう小量しょうりょう」僅是技術ぎじゅつ用語ようご。

「無窮むきゅう小しょう的てき量りょう」的てき概念がいねん最初さいしょ在ざい埃ほこり利とぎ亞あ學派がくは有ゆう所しょ討論とうろん。柏かしわ克かつ萊指出さしで無窮むきゅう小量しょうりょう的てき特性とくせい為ため「既すんで不ふ是ぜ有限ゆうげん量りょう，也不是ぜ無限むげん小しょう，又また不ふ是ぜ零れい」。而阿おもね基もと米まい德とく在ざい其《機械きかい原理げんり方法ほうほう論ろん》（The Method of Mechanical Theorems）中なか初次はつじ提出ていしゅつ過か一種和無窮量有關的邏輯上嚴密的敍述。但ただし在ざい古希こき臘的數學すうがく系統けいとう裡うら，實數じっすう並なみ没ぼつ有ゆう獨立どくりつ的てき存在そんざい地位ちい，而是用よう幾何きか上じょう的てき長ちょう度ど來らい表示ひょうじ：1是ぜ代表だいひょう某ぼう條じょう線せん段だん的てき規定きてい長ちょう度ど，用よう來らい給きゅう出で測量そくりょう所しょ需的長ちょう度たび單位たんい，數すう的てき加減かげん法用ほうよう線せん段だん的てき延長えんちょう和わ截短來らい表示ひょうじ。阿おもね基もと米まい德とく所說しょせつ的てき是ぜ：對たい任意にんい兩個りゃんこ長ちょう度ど不等ふとう（無論むろん長なが度たび相差おうさつ多少たしょう）的てき線せん段だん，在ざい長ちょう線せん段だん裡うら不斷ふだん截去短たん線せん段だん的てき長ちょう度ど，在ざい有限ゆうげん次じ之の後こう就不能ふのう再さい截下去さ，因いん為ため那な些短線せん段だん長ちょう度ど的てき「和わ」超過ちょうか了りょう原本げんぽん較長的てき那な一いち條じょう。如果把わ線せん段だん長ちょう度ど理解りかい成なり數すう的てき話ばなし，則のり反映はんえい了りょう實數じっすう集しゅう的てき阿おもね基もと米まい德性とくせい質しつ：没ぼつ有ゆう任にん何なん實數じっすうx可か以滿足まんぞく條件じょうけん|x|>1，|x|>1+1，|x|>1+1+1……，即そく無窮むきゅう大だい的てき實數じっすう並なみ不ふ存在そんざい。儘管如此，阿おもね基もと米まい德とく還かえ是これ把わ無窮むきゅう大量たいりょう和わ無窮むきゅう小量しょうりょう用よう於啟發けいはつ式しき的てき論證ろんしょう中ちゅう，但ただし在ざい完かん整せい的てき數學すうがく證明しょうめい裡うら則そく拒絕きょぜつ使用しよう它們，而致力りょく於使用しよう「窮きゅう竭法」, 類似るいじ於現在げんざい的てき「εいぷしろん-δでるた語ご言げん」。

牛うし頓とみ和わ萊布尼あま茲發展はってん微積分びせきぶん學がく時どき使用しよう過か無窮むきゅう小量しょうりょう，但ただし這樣的てき不ふ嚴格げんかく使用しよう引來一いち些批評者ひょうしゃ的てき攻擊こうげき。貝かい克かつ萊主教きょう就是其中之の一いち。儘管數學すうがく家か、科學かがく家か、工程こうてい師し等とう不斷ふだん使用しよう無窮むきゅう小量しょうりょう來き得え到いた正せい確かく的てき結果けっか，微積分びせきぶん卻一直到後半十九世紀才等到了更严谨的，使用しよう了りょうεいぷしろん-δでるた語ご言げん和わ集合しゅうごう论描述的てき形式けいしき，这项工作こうさく由よし奧おく古こ斯丁·路ろ易えき·柯西，伯はく納おさめ德とく·波は爾しか查諾、卡尔·魏ぎ尔施特とく拉ひしげ斯、格かく奥おく尔格·康かん托たく尔、理り查德·戴德金きん等とう人ひと完成かんせい。随ずい着ぎ数学すうがく的てき发展及康托たく、戴德金きん、魏ぎ尔施特とく拉ひしげ斯等人じん及他们的追随ついずい者しゃ的てき探索たんさく，他た们的哲学てつがく家か好こう友とも伯はく特とく兰·罗素、鲁道夫おっと·卡尔纳普等とう人ひと认为「无穷小しょう」是ぜ伪概念がいねん；但ただし同どう时，赫尔曼·科か恩おん等ひとし新しん康德やすのり主しゅ义者もの希望きぼう能のう找到一个保留无穷小的逻辑系统。在ざい二に十じゅう世紀せいき，無窮むきゅう小量しょうりょう才ざい得え到いた了りょう嚴格げんかく的てき處理しょり，成なり為ため一いち種しゅ「數かず」。以上いじょう任にん何なん一種處理辦法都不是錯誤的——如果正確せいかく地ち使用しよう的てき話ばなし。

在ざい一いち份HPM（數學すうがく史し與あずか數學すうがく教學きょうがく，History and Pedagogy of Mathematics）的てき研究けんきゅう中ちゅう，對たい無窮むきゅう小量しょうりょう在ざい一些數學家眼裡的認識有一個總結：

人物じんぶつ	年代ねんだい	對たい無窮むきゅう小量しょうりょう的てき觀點かんてん，或ある處理しょり方法ほうほう
歐おう幾里いくさと得とく等ひとし古希こき臘數しわす學がく家か	公おおやけ元もと前まえ300年ねん	窮きゅう竭法：他た們相信用しんよう間接かんせつ法ほう才能さいのう使し面積めんせき問題もんだい獲得かくとく嚴格げんかく證明しょうめい。
卡瓦列れつ里さと（B. Cavalieri）	1598-1647	把わ無窮むきゅう小量しょうりょう的てき辦法推進すいしん了りょう一いち步ほ(見み祖そ暅原理げんり)。
沃利斯（J. Wallis）	1616-1703	他た對極たいきょく限げん的てき定義ていぎ“含有がんゆう正確せいかく的てき想そう法ほう，但ただし用よう詞し不ふ嚴げん謹”。
萊布尼あま茲	1646-1716	其演算法さんぽう很成功せいこう，但ただし“對たい概念がいねん不ふ太ふとし確定かくてい”。他た對たい於“消失しょうしつ中ちゅう的てき量りょう”的てき立場たちば是ぜ複雜ふくざつ的てき，而且隨時ずいじ間あいだ而變。
歐おう拉ひしげ	1707-1783	獲得かくとく了りょう很多重要じゅうよう結果けっか，但ただし不ふ考慮こうりょ真正しんせい無窮むきゅう小量しょうりょう帶たい來らい的てき困難こんなん。其觀點てん受十じゅう七世紀典型的科學思維框架影響。
達朗たつろう貝かい爾なんじ（J. d'Alembert）	1717-1783	拒絕きょぜつ承認しょうにん“消失しょうしつ中ちゅう的てき量りょう”。他た給きゅう出過ですぎ極限きょくげん的てき定義ていぎ，但ただし措辭そじ不明ふめい確かく。
拉ひしげ格かく朗ろう日び	1736-1813	也拒絕きょぜつ承認しょうにん無窮むきゅう小量しょうりょう，企圖きと把わ微積分びせきぶん歸結きけつ為ため代數だいすう。
柯西	1789-1857	其寫下か的てき定義ていぎ至いたり今いま依然いぜん通用つうよう，由よし當時とうじ可か以使用しよう的てき數學すうがく語ご言げん寫うつし成なり。

就目前もくぜん所しょ知ち，在ざい十じゅう九きゅう世紀せいき以前いぜん没ぼつ有ゆう任にん何なん形式けいしき上じょう定義ていぎ好このみ的てき數學すうがく概念がいねん是ぜ直接ちょくせつ把わ無窮むきゅう小量しょうりょう當とう作さく「正常せいじょう」的てき數すう來らい處理しょり的てき，但ただし很多想そう法ほう其實已やめ經けい出現しゅつげん。微積分びせきぶん的てき奠基人じん——牛うし頓とみ、萊布尼あま茲、歐おう拉ひしげ，以及很多其他人たにん——以一種不嚴格的方式使用無窮小量，卻也能のう得え到いた正確せいかく而深刻こく的てき結果けっか（類似るいじ地ち，實數じっすう在ざい當時とうじ也没有ゆう正式せいしき的てき定義ていぎ）。

關せき鍵かぎ字じ

• 窮きゅう竭法
• 無窮むきゅう乘じょう積せき
• 牛うし頓とみ的てき流ながれ數すう法ほう
• 萊布尼あま茲的「$\mathrm {d} x$」記號きごう
• 歐おう拉ひしげ對たい級數きゅうすう的てき處理しょり
• 一致いっち收斂しゅうれん
• 嚴格げんかく的てき極限きょくげん概念がいねん
• 非ひ標準ひょうじゅん分析ぶんせき

經典きょうてん分析ぶんせき中ちゅう的てき處理しょり

階かい的てき比較ひかく

設しつらえ$a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，$b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$為ため兩個りゃんこ序列じょれつ，而且都と是ぜ$n\to \infty$時どき的てき無窮むきゅう小量しょうりょう。雖然它們在ざい$n$趨於無窮むきゅう時じ都と趨於零れい，但ただし趨於零れい的てき速度そくど是ぜ有ゆう區別くべつ的てき。可か以用如下方式ほうしき比較ひかく它們的てき速度そくど：

• 若わか對たい於任意にんい正せい實數じっすう$\displaystyle c>0$，存在そんざい正せい整數せいすう$\displaystyle N$使つかい得とく

$a_{k}<c\cdot b_{k}$

在ざい$\displaystyle k>N$時どき總そう是ぜ成立せいりつ，則のり稱しょう$\displaystyle a$是これ$\displaystyle b$的てき高階たかしな無窮むきゅう小しょう，記き作さく

$\displaystyle a_{n}=o(b_{n})\quad (n\to \infty )$

其中的てき$n\to \infty$有ゆう時じ也被省略しょうりゃく不ふ寫うつし。

在ざい上述じょうじゅつ定義ていぎ中ちゅう，也可以說無窮むきゅう小量しょうりょう$a$的まと階かい要よう比ひ$b$的てき要よう高だか，或ある者もの說せつ$a$比ひ$b$更さら快かい地ち趨於零れい，儘管在ざい此時「階かい」或ある者もの「速度そくど」本身ほんみ其實都と没ぼつ有明ありあけ確かく的てき定義ていぎ。

性せい质

1. 若わか$\{a_{n}\}$是ぜ无穷小量しょうりょう，改あらため变$\{a_{n}\}$中なか的てき某ぼう有限ゆうげん项之后きさき，它仍是ぜ无穷小量しょうりょう。
2. 若わか$\{a_{n}\}$、$\{b_{n}\}$都みやこ是ただし无穷小量しょうりょう，$\{a_{n}+b_{n}\},\{a_{n}-b_{n}\}$也是无穷小量しょうりょう。
3. 若わか$\{a_{n}\}$是ぜ无穷小量しょうりょう，$\{b_{n}\}$是ぜ有界ゆうかい数列すうれつ，则$\{a_{n}b_{n}\}$也是无穷小量しょうりょう。
4. 若わか$\{a_{n}\}$是ぜ无穷小量しょうりょう，$|b_{n}|\leq |a_{n}|$，则$\{b_{n}\}$也是无穷小量しょうりょう。
5. 若わか$\{a_{n}\}$是ぜ无穷小量しょうりょう，从$\{a_{n}\}$中ちゅう取出とりで无穷多た的てき一いち部分ぶぶん，按原来らい的てき次序じじょ排はい成なり的てき数列すうれつ（这叫做$\{a_{n}\}$的てき子こ列れつ）也是无穷小量しょうりょう。
6. 把わ$\{a_{n}\}$的てき次序じじょ打だ乱みだれ重じゅう新得しんとく到いた的てき数列すうれつ$\{b_{n}\}$。若わか$\{a_{n}\}$是ぜ无穷小量しょうりょう，则$\{b_{n}\}$也是无穷小量しょうりょう。
7. 无穷小量しょうりょう是ぜ有界ゆうかい列れつ。
8. 若わか$\{a_{n}\}$的てき各かく项相等とう，$\{a_{n}\}$是ぜ无穷小量しょうりょう则必有ゆう$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=\cdots =0$。

非ひ標準ひょうじゅん分析ぶんせき中ちゅう的てき處理しょり

設しつらえF為ため有ゆう序じょ域いき，a為ためF中なか的てき一いち個こ非ひ零れい元素げんそ。若わか對たいF中ちゅう任意にんい正せい整數せいすうn，a < 1/n和わ-a > -1/n都と成立せいりつ（換かわ句く話はなし說せつ，即そくa的てき絕對ぜったい值小しょう於1/n），則のり稱しょうa為ため無窮むきゅう小量しょうりょう。

一いち階かい性質せいしつ

在ざい把わ擴充かくじゅう實數じっすう系けい使し其能包含ほうがん無窮むきゅう大量たいりょう和わ無窮むきゅう小量しょうりょう時じ，人にん們希望きぼう能のう夠盡量りょう保持ほじ原げん系統けいとう的てき各種かくしゅ基本きほん的てき性質せいしつ，這樣的てき好こう處しょ是ぜ，那な些使用しよう基本きほん性質せいしつ證明しょうめい過か的てき命題めいだい能のう夠在新しん的てき系統けいとう裡うら自動じどう成立せいりつ。這裡的てき「基本きほん」通常つうじょう是ぜ指ゆび不ふ對たい集合しゅうごう使用しよう量りょう詞し，但ただし可か以對集合しゅうごう的てき元素げんそ使用しよう（有限ゆうげん次じ），比ひ如以下か公理こうり「對たい任意にんい的てきx，x+0=x」仍然應おう該成立せいりつ；使用しよう兩次りょうじ也行：「對たい任意にんい的てきx和わy，xy=yx」，而如果はて出現しゅつげん「對たい任意にんい集合しゅうごうS」則のり不能ふのう算さん基本きほん性質せいしつ，在ざい新しん系統けいとう中ちゅう可能かのう不成立ふせいりつ，比ひ如「任にん何なん形かたち如{k∈Z|xk>y}都と不ふ是ぜ空そら集しゅう」就是一いち例れい（其實這就是ぜ阿おもね基もと米まい德性とくせい質しつ）。對たい命題めいだい量りょう詞し的てき這種限げん制せい，叫さけべ做一いち階かい邏輯。類似るいじ於阿基もと米まい德性とくせい質しつ，實數じっすう集しゅう的てき完備かんび性せい也不能ふのう在ざい新しん的てき系統けいとう裡うら成立せいりつ，因いん為ため實數じっすう集しゅう是ぜ唯一ゆいいつ的てき完備かんび有ゆう序じょ域いき。