一致いっち收斂しゅうれん

均ひとし勻收斂しゅうれん，或ある稱しょう均ひとし匀收敛，（英語えいご：Uniform convergence），是ぜ數學すうがく中關なかせき於函數かんすう序列じょれつ收斂しゅうれん的てき一種いっしゅ定義ていぎ。其概念がいねん大だい致可想そう成なり：若わか函數かんすう序列じょれつ f_n 一致いっち收斂しゅうれん至いたり函數かんすう f，代表だいひょう對たい所有しょゆう定義ていぎ域いき中ちゅう的てき點てん x，f_n(x) 收斂しゅうれん至いたり f(x) 會かい有ゆう（大だい致）相あい同どう的てき收斂しゅうれん速度そくど。由よし於它對たい收斂しゅうれん要求ようきゅう較逐點收斂しゅうれん更さら強きょう，故こ能のう保持ほじ一些重要的分析性質，例れい如連續れんぞく性せい、黎はじむ曼可積せき性せい。

定義ていぎ

當とう函數かんすう序列じょれつ中ちゅう的てき函數かんすう的てき對應たいおう域いき是ぜ $\mathbb {R}$ 或ある $\mathbb {C}$ 時とき，此時均ひとし勻收歛的定義ていぎ為ため：

讓ゆずる $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是ぜ定義ていぎ在ざい $S$ 上うえ，對應たいおう域いき為ため $\mathbb {R}$ 或ある $\mathbb {C}$的てき一いち組くみ函數かんすう序列じょれつ，若わか序列じょれつ $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 均ひとし勻收歛至函數かんすう $f$ 在ざい集合しゅうごう $S$ 上うえ，即そく表示ひょうじ對たい所有しょゆう $\epsilon >0$，存在そんざい $N\in \mathbb {N}$，使つかい得とく當とう所有しょゆう $n\geq N$ 且 $x\in S$ 時どき有ゆう

$|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .$

可か將しょう這定義ていぎ推廣到いた一般いっぱん的てき度量どりょう空間くうかん：

設しつらえ $S$ 為一ためいち集合しゅうごう，$(M,d)$ 為ため度量どりょう空間くうかん。若わか對たい一いち組くみ函數かんすう序列じょれつ $f_{n}:S\to M$，存在そんざい函數かんすう $f:S\to M$ 滿足まんぞく 對たい所有しょゆう $\epsilon >0$，存在そんざい $N\in \mathbb {N}$，使つかい得とく當とう所有しょゆう $n\geq N$ 且 $x\in S$ 時どき有ゆう

$d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon ,$

則のり稱しょう序列じょれつ $f_{n}$ 一致いっち收斂しゅうれん到いた $f$。

注意ちゅうい到いた，一いち致收敛和逐点收おさむ敛定てい义的区く别在于，在ざい一いち致收敛中 $N$的まと選せん取と仅与 $\epsilon$ 相あい关，而在逐点收おさむ敛中 $N$ 还多了りょう与あずか點てん $x$ 相あい关。所以ゆえん一致收敛必定逐点收敛，而反之の则不然しか。

例れい子こ

在ざい[-1,1]上じょう一致收斂到絕對值函數的多項式序列

例れい子こ一いち：對たい任にん何なに$[0,1]$上うえ的てき連續れんぞく函數かんすう$f$，考慮こうりょ多項式たこうしき序列じょれつ

$P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$

可か證明しょうめい$P_{n}$在ざい區間くかん$[0,1]$上うえ一致いっち收斂しゅうれん到いた函數かんすう$f$。其中的てき$b_{k,n}(x):={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$稱たたえ為ため伯はく恩おん斯坦多項式たこうしき。

透過とうか坐すわ标的平ひらめ移うつ與あずか縮ちぢみ放ひ，可知かち在任ざいにん何なん閉區間あいだ上うえ都と能のう用よう多項式たこうしき一致地逼近連續函數，這是斯通-维尔斯特拉ひしげ斯定理ていり的てき一いち個こ建けん構性證明しょうめい。

逐點收斂しゅうれん而非一致いっち收斂しゅうれん的てき例れい子こ

例れい子こ二に：考慮こうりょ區間くかん$[0,\pi ]$上うえ的てき函數かんすう序列じょれつ$f_{n}(x):=\sin ^{n}(x)$，它逐點てん收斂しゅうれん到いた函數かんすう

$f(x)={\begin{cases}0&,x\neq \pi /2\\1&,x=\pi /2\end{cases}}$

然しか而這並なみ非ひ一致いっち收斂しゅうれん。直觀ちょっかん地ち想像そうぞう：當とう$x$愈いよいよ靠もたれ近ちか$\pi /2$，使つかい$f_{n}(x)$接近せっきん$0$所ところ需的$n$便びん愈いよいよ大だい。可か以依此想法ほう循定義ていぎ直接ちょくせつ證明しょうめい，也可以利用りよう下か節ふし關せき於連續れんぞく的てき性質せいしつ證明しょうめい，因いん為ため在ざい此例中ちゅう$f_{n}(x)$皆みな連續れんぞく，而$f(x)$不連續ふれんぞく。

性質せいしつ

讓ゆずる $(f_{n})$ 為ため一いち組くみ函數かんすう序列じょれつ，對應たいおう域いき為ため $\mathbb {R}$ 或ある $\mathbb {C}$，此時有ゆう下か述じゅつ性質せいしつ：

• 連續れんぞく性せい：若わか函數かんすう序列じょれつ $(f_{n})$ 均ひとし勻收歛至函數かんすう $f$，則のり有ゆう：

1. 假設かせつ函數かんすう序列じょれつ的てき定義ていぎ域いき是ぜ闭包（closure）集合しゅうごう $I$，且 $a$ 是これ $I$ 的中てきちゅう的てき一いち點てん。若わか每まい個こ $f_{n}$ 都と在ざい $a$ 點てん連續れんぞく，則のり $f$ 也在 $a$ 點てん連續れんぞく。
2. 若わか对集合しゅうごう $I$ 的まと每ごと個こ緊緻子こ集しゅう $J$，每まい個こ $f_{n}$ 都と在ざい $J$ 上うえ連續れんぞく，則のり $f$ 在ざい $I$ 上うえ連續れんぞく。

• 與あずか積分せきぶん的てき交換こうかん：令れい $(f_{n})$ 為ため定義ていぎ在ざい緊緻區間くかん $I$ 的てき函數かんすう序列じょれつ，且序列じょれつ $(f_{n})$ 均ひとし勻收歛至函數かんすう $f$。若わか每まい個こ $f_{n}$ 都みやこ是ただし黎はじむ曼可積せき，則のり $f$ 也是黎はじむ曼可積せき，而且

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\mathrm {d} x=\int _{S}f\,\mathrm {d} x.\quad \quad$

• 與あずか微分びぶん的てき交換こうかん：可か微ほろ函數かんすう序列じょれつ $(f_{n})$ 均ひとし勻收歛至函數かんすう $f$，並なみ不能ふのう保證ほしょう $f$ 是ぜ可か微ほろ的てき，還かえ需要じゅよう對たい該函數すう序列じょれつ的てき微分びぶん，$(f'_{n})$，做些限げん制せい，請參看さんかん以下いか定理ていり：

讓ゆずる $(f_{n})$ 為ため定義ていぎ在ざい閉區間あいだ $[a,b]$ 的まと可か微ほろ函數かんすう序列じょれつ，且存在そんざい一いち點てん $x_{0}\in [a,b]$ 使つかい得とく極限きょくげん $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})$ 存在そんざい（且有限げん）。若わか序列じょれつ的てき微分びぶん $(f'_{n})$ 在ざい區間くかん $[a,b]$ 一致いっち收斂しゅうれん到いた函數かんすう $g$，則のり序列じょれつ $(f_{n})$ 均ひとし勻收歛至函數かんすう $f$ 且 $f$ 亦また是ぜ可か微ほろ函數かんすう，且有：

$f'=g=\lim _{n\to \infty }f'_{n}$。

文獻ぶんけん

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156（1918）
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X