一様いちよう収束しゅうそく

数学すうがくの一いち分野ぶんやである解析かいせき学がくにおいて、一様いちよう収束しゅうそく（いちようしゅうそく、英えい: uniform convergence）とは、各かく点てん収束しゅうそくよりも強つよい収束しゅうそく概念がいねんである。関数かんすう列れつ (f_n) が極限きょくげん関数かんすう f に一様いちよう収束しゅうそくする (converge uniformly) とは、f_n(x) が f(x) へ収束しゅうそくする速はやさが x に依よらないということである。

連続れんぞく性せいやリーマン可か積分せきぶん性せいといった性質せいしつは、一様いちよう収束しゅうそく極限きょくげんには引ひき継つがれるが、各かく点てん収束しゅうそく極限きょくげんに引ひき継つがれるとは限かぎらない。これは一様いちよう収束しゅうそくの重要じゅうよう性せいを浮うかび上あがらせている。

定義ていぎ

S を集合しゅうごうとし、各かく自然しぜん数すう n に対たいし f_n : S → R を実数じっすう値ね関数かんすうとする。関数かんすう列れつ (f_n)_n∈N が極限きょくげん f: S → R に一様いちよう収束しゅうそくするとは、任意にんいの εいぷしろん > 0 に対たいし、ある自然しぜん数すう N が存在そんざいして、すべての x ∈ S とすべての n ≥ N に対たいして |f_n(x) − f(x)| < εいぷしろん が成なり立たつことである。

一様いちようノルム $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in S}|f(x)|$ を考かんがえると、f_n が f に一様いちよう収束しゅうそくすることと $\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0$ は同値どうちである。

関数かんすう列れつ (f_n)_n∈N が f に局所きょくしょ一いち様よう収束しゅうそくするとは、距離きょり空間くうかん S のすべての点てん x に対たいして、ある r > 0 が存在そんざいして、(f_n) が B(x, r) ∩ S 上うえ一いち様よう収束しゅうそくすることをいう。

注意ちゅうい

上記じょうき定義ていぎにおいて「ある N が存在そんざいして」と「すべての x に対たいして」の順序じゅんじょを入いれ替かえると、列れつの各かく点てん収束しゅうそく (pointwise convergence) に同値どうちな主張しゅちょうとなることに注意ちゅういしよう。各かく点てん収束しゅうそくの概念がいねんは次つぎのように定義ていぎできる。関数かんすう列れつ (f_n) が極限きょくげん f : S → R に各かく点てん収束しゅうそくするとは、

すべての x ∈ S と全すべての εいぷしろん > 0 に対たいして、ある自然しぜん数すう N が存在そんざいして、すべての n ≥ N に対たいして、|f_n(x) − f(x)| < εいぷしろん が成なり立たつ

ことをいう。ここで x と εいぷしろん の普遍ふへん量りょう化か子この順序じゅんじょは重要じゅうようでないが、x の普遍ふへん量りょう化か子こと N の存在そんざい量りょう化か子この順序じゅんじょは重要じゅうようである。

一様いちよう収束しゅうそくの場合ばあいには、N は εいぷしろん のみにしか依存いぞんしてはいけないが、各かく点てん収束しゅうそくの場合ばあいには、N は εいぷしろん と x の両方りょうほうに依存いぞんしてもよい。したがって一様いちよう収束しゅうそくならば各かく点てん収束しゅうそくであることは平易へいいである。逆ぎゃくは以下いかの例れいが示しめすように正ただしくない。S を単位たんい区間くかん [0, 1] とし、各かく自然しぜん数すう n に対たいして f_n(x) = xⁿ と定義ていぎする。すると (f_n) は、x < 1 のとき f(x) = 0, f(1) = 1 によって定義ていぎされる関数かんすう f に各かく点てん収束しゅうそくする。この収束しゅうそくは一様いちようではない。なぜならば、例たとえば、εいぷしろん = 1/4 に対たいし、定義ていぎで要求ようきゅうされるような N は存在そんざいしない。n について |xⁿ| < εいぷしろん を解とくと n > log εいぷしろん / log x となるからである。これは εいぷしろん だけでなく x にも依存いぞんしている。また、x に依存いぞんしない n の上うえ界かいを見みつけることも不可能ふかのうであることに注意ちゅういしよう。任意にんいの εいぷしろん > 0 に対たいし、log εいぷしろん / log x は x が 1 に近ちかづくとき限かぎりなく増大ぞうだいするからである。

一般いっぱん化か

一様いちよう収束しゅうそくの概念がいねんをすぐに関数かんすう S → M, ここで (M, d) は距離きょり空間くうかん、に拡張かくちょうできる。|f_n(x) − f(x)| を d(f_n(x), f(x)) に置おき換かえればよい。

最もっとも一般いっぱん的てきな設定せっていは関数かんすう S → X のネットの一様いちよう収束しゅうそくである。ここで X は一様いちよう空間くうかんである。ネット (f_{αあるふぁ}) が極限きょくげん f : S → X に一様いちよう収束しゅうそくするとは、X のすべての近きん縁えん (entourage) V に対たいし、ある αあるふぁ₀ が存在そんざいして、全すべての x ∈ S とすべての αあるふぁ ≥ αあるふぁ₀ に対たいして、(f_{αあるふぁ}(x), f(x)) が V に入はいっていることをいう。上うえに述のべた定理ていり、連続れんぞく関数かんすうの一様いちよう極限きょくげんは連続れんぞく、はこの設定せっていにおいてもなお正ただしい。

超ちょう実数じっすうの設定せっていにおける定義ていぎ

一様いちよう収束しゅうそくは超ちょう実数じっすうの設定せっていにおいて簡易かんい化かされた定義ていぎを持もつ。関数かんすう列れつ f_n が f に一様いちよう収束しゅうそくするとは、f^* の定義ていぎ域いきのすべての x と、すべての無限むげん大だい超自然ちょうしぜん数すう n に対たいして、f *
n  が f^* に無限むげんに近ちかいことをいう（一様いちよう連続れんぞく性せいの類似るいじの定義ていぎはmicrocontinuityを参照さんしょう）。

性質せいしつ

• すべての一様いちよう収束しゅうそく列れつはコンパクト収束しゅうそくである。
• すべての局所きょくしょ一いち様よう収束しゅうそく列れつはコンパクト収束しゅうそくである。
• 局所きょくしょコンパクト空間くうかんに対たいして局所きょくしょ一いち様よう収束しゅうそくとコンパクト収束しゅうそくは同値どうちである。
• 距離きょり空間くうかん上じょうの連続れんぞく関数かんすうの列れつは、終おわり域いきの距離きょり空間くうかんが完備かんびであれば、一様いちよう収束しゅうそくであることと一様いちようコーシー列れつであることは同値どうちである。

応用おうよう

連続れんぞく性せい

定理ていりにおける一様いちよう収束しゅうそくの代かわりに各かく点てん収束しゅうそくを仮定かていした強つよい主張しゅちょうに対たいする反例はんれい。連続れんぞくな緑色みどりいろの関数かんすう $\sin ^{n}(x)$ は非ひ連続れんぞくな赤色あかいろの関数かんすうに収束しゅうそくする。これは収束しゅうそくが一様いちようでないときにしか起おこり得えない。

もし S が実数じっすうにおける区間くかん（より一般いっぱんに位相いそう空間くうかん）ならば、関数かんすう f_n や f の連続れんぞく性せいを考かんがえることができる。次つぎは一様いちよう収束しゅうそくに関かんする重要じゅうような結果けっかである。

定理ていり 区間くかん S 上うえの連続れんぞく関せき数列すうれつ f_n が関数かんすう f に一様いちよう収束しゅうそくするならば、関数かんすう f も S 上うえで連続れんぞくである。

この定理ていりの証明しょうめいは "$\epsilon /3$ trick" の典型てんけい例れいである：目的もくてきの不等式ふとうしき ($<\epsilon$) を証明しょうめいするために、連続れんぞく性せいや一様いちよう収束しゅうそくの定義ていぎから3つの不等式ふとうしき ($<\epsilon /3$) を導みちびき、それらを三角さんかく不等式ふとうしきにより組合くみあわせることで、求もとめる不等式ふとうしきを得える。

連続れんぞく関せき数列すうれつの各かく点てん収束しゅうそく極限きょくげんは連続れんぞくとは限かぎらないので（右みぎ図ず）、この定理ていりは重要じゅうようである。

より精密せいみつにはこの定理ていりは、一様いちよう連続れんぞく関数かんすう列れつの一様いちよう収束しゅうそく極限きょくげんは一様いちよう連続れんぞくであると述のべている。局所きょくしょコンパクト空間くうかんにおいて連続れんぞく性せいは局所きょくしょ一いち様よう連続れんぞく性せいと同値どうちなので、連続れんぞく関せき数列すうれつの一様いちよう収束しゅうそく極限きょくげんは連続れんぞくである。

微分びぶん

区間くかん S 上うえの関数かんすう列れつ f_n が微分びぶん可能かのうで関数かんすう f に収束しゅうそくするとき、f の導しるべ関数かんすうを関数かんすう列れつ f_n の導しるべ関数かんすうの極限きょくげんとして得えたい。ところが、これは一般いっぱんには不可能ふかのうである。たとえ収束しゅうそくが一様いちようであったとしても、極限きょくげん関数かんすうは微分びぶん可能かのうとは限かぎらない。さらに微分びぶん可能かのうであったとしても、極限きょくげん関数かんすうの微分びぶんが関数かんすう列れつの微分びぶんの極限きょくげんと一致いっちするとも限かぎらない。例たとえば $f_{n}(x)={\tfrac {1}{n}}\sin(nx)$ は一様いちよう極限きょくげんが 0 であるが、その微分びぶんは 0 に収束しゅうそくしない。関数かんすう列れつの極限きょくげんと関数かんすう列れつの微分びぶんの極限きょくげんの関係かんけいを保証ほしょうするには、関数かんすう列れつの微分びぶんの一様いちよう収束しゅうそくに加くわえて、 少すくなくとも一いち点てんでの収束しゅうそくが必要ひつようとなる。厳密げんみつな主張しゅちょうは次つぎのようになる。

定理ていり 区間くかん [a, b] 上うえで微分びぶん可能かのうな関数かんすう列れつ f_n に対たいし、区間くかん [a, b] 上うえのある点てん x₀ において f_n(x₀) は収束しゅうそくし、関数かんすう列れつ (f_n′) は区間くかん [a, b] 上うえで一様いちよう収束しゅうそくすると仮定かていする。このとき関数かんすう列れつ f_n は関数かんすう f に一様いちよう収束しゅうそくし、x ∈ [a, b] に対たいして $f'(x)=\lim _{n\to \infty }{f_{n}}'(x)$ が成なり立たつ。

積分せきぶん

微分びぶんの場合ばあいと同様どうように、積分せきぶんと極限きょくげんの交換こうかんをしたいことがある。リーマン積分せきぶんに対たいしては、一様いちよう収束しゅうそくを仮定かていすればよい：

定理ていり コンパクトな区間くかん I 上うえで定義ていぎされたリーマン可か積分せきぶん関せき数列すうれつ f_n が極限きょくげん f に一様いちよう収束しゅうそくするならば、f もリーマン可か積分せきぶんであり $\textstyle \int _{I}f(x)\,dx=\lim \limits _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}(x)\,dx$ が成なり立たつ。

系けいとして、特とくにコンパクトな区間くかん I 上うえで定義ていぎされたリーマン可か積分せきぶん関せき数列すうれつ f_n に対たいして、部分ぶぶん和わが級数きゅうすう $\textstyle f=\sum \limits _{n=1}^{\infty }f_{n}$ に一様いちよう収束しゅうそくしているならば $\textstyle \int _{I}f(x)\,dx=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\int _{I}f_{n}(x)\,dx$ と項こう別べつ積分せきぶんできる。

解析かいせき性せい

複素ふくそ平面へいめんの領域りょういき S 上うえで定義ていぎされた解析かいせき関数かんすう列れつの一様いちよう収束しゅうそく極限きょくげんもまた S 上うえで解析かいせき的てきである。実数じっすうにおける区間くかん上じょうで定義ていぎされた解析かいせき関せき数列すうれつの一様いちよう収束しゅうそく極限きょくげんは微分びぶん可能かのうとさえ限かぎらないので、これは複素ふくそ関数かんすうは実じつ関数かんすうよりも良よい振ふる舞まいをすることを示しめしている。

概がい一いち様よう収束しゅうそく

関数かんすうの定義ていぎ域いきが測度そくど空間くうかん E であれば、関連かんれん概念がいねんである概がい一いち様よう収束しゅうそく (almost uniform convergence) が定義ていぎできる。関数かんすう列れつ (f_n) が E 上うえ概がい一いち様よう収束しゅうそくするとは、すべての δでるた > 0 に対たいして、測度そくどが δでるた よりも小ちいさい可か測はか集合しゅうごう E_δでるた が存在そんざいして、関数かんすう列れつ (f_n) が E − E_δでるた 上うえ一いち様よう収束しゅうそくすることである。い換いかえれば、概がい一いち様よう収束しゅうそくは、補ほ集合しゅうごう上関かみのせき数列すうれつが一様いちよう収束しゅうそくになるようないくらでも小ちいさい測度そくどの集合しゅうごうが存在そんざいすることを意味いみする。

列れつの概がい一いち様よう収束しゅうそくは、名前なまえから誤あやまって予想よそうされるかもしれないが、列れつがほとんどいたるところ一様いちよう収束しゅうそくすることを意味いみするわけではないことに注意ちゅういする。

エゴロフの定理ていりは測度そくど有限ゆうげんの空間くうかん上じょうほとんどいたるところ収束しゅうそくする関数かんすう列れつは同おなじ集合しゅうごう上じょう概がい一いち様よう収束しゅうそくもすることを保証ほしょうする。

概がい一いち様よう収束しゅうそくならばほとんどいたるところ収束しゅうそくおよび測度そくど収束しゅうそくである。

関連かんれん項目こうもく

• Modes of convergence (annotated index)
• ディニの定理ていり

参考さんこう文献ぶんけん

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
• Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
• William Wade, An Introduction to Analysis , 3rd ed., Pearson, 2005

外部がいぶリンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Uniform convergence”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Uniform_convergence 
• Uniform convergence - PlanetMath.org（英語えいご）
• Limit point of function - PlanetMath.org（英語えいご）
• Converges uniformly - PlanetMath.org（英語えいご）
• Convergent series - PlanetMath.org（英語えいご）
• Graphic examples of uniform convergence of Fourier series from the University of Colorado