下限かげん拓つぶせ扑

數學すうがく上うえ，下限かげん拓ひらけ撲なぐ是ぜ定義ていぎ在ざい實數じっすう集しゅう $\mathbb {R}$ 上うえ的てき拓ひらけ撲なぐ。其不同どう於 $\mathbb {R}$ 上うえ的てき標準ひょうじゅん拓ひらけ撲なぐ（由ゆかり開ひらき區間くかん生成せいせい），且具有ぐゆう若干じゃっかん有ゆう趣おもむき的てき性質せいしつ。其為全體ぜんたい半開はんかい區間くかん [a,b) 組成そせい的てき基もと生成せいせい的てき拓ひらけ撲なぐ，其中 a 和わ b 取と遍あまね任意にんい實數じっすう。

這樣得え到いた的てき拓ひらけ撲なぐ空間くうかん稱たたえ為ためSorgenfrey直線ちょくせん（得とく名めい自じ Robert Sorgenfrey（英えい语：Robert Sorgenfrey））或ある箭や頭あたま，有ゆう時じ記き為ため $\mathbb {R} _{l}$ . 與あずか康かん托たく集しゅう和わ長ちょう直線ちょくせん類似るいじ，Sorgenfrey 直線ちょくせん也經常つね作為さくい點てん集しゅう拓ひらけ撲なぐ學がく中ちゅう不ふ少しょう似に是ぜ而非的てき命題めいだい的てき反例はんれい。

$\mathbb {R} _{l}$ 與あずか自身じしん的てき積せき也是有用ゆうよう的てき反例はんれい，稱たたえ為ためSorgenfrey平面へいめん。

類似るいじ地ち，可か以定義ていぎ $\mathbb {R}$ 上うえ的てき上限じょうげん拓ひらけ撲なぐ，其性質せいしつ與あずか下限かげん拓ひらけ撲なぐ完全かんぜん相しょう同どう。

性質せいしつ[编辑]

下限かげん拓ひらけ撲なぐ比ひ實數じっすう集しゅう的てき標準ひょうじゅん拓ひらけ撲なぐ更さら精細せいさい（具有ぐゆう更さら多た開ひらき集しゅう）。原因げんいん是ぜ每ごと個こ開ひらき區間くかん都と可か寫うつし成なり半開はんかい區間くかん的てき可か數すう並なみ，故こ在ざい下限かげん拓ひらけ撲なぐ中ちゅう也是開ひらき集しゅう。
對たい任意にんい實數じっすう $a$ 和わ $b$ , 區間くかん $[a,b)$ 都みやこ是ただし $\mathbb {R} _{l}$ 的てき闭开集しゅう（既すんで是ぜ开集，也是闭集）。而且，對たい任意にんい實數じっすう $a$ , 集合しゅうごう $\{x\in \mathbb {R} :x<a\}$ 和わ $\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}$ 皆みな為ため閉開集しゅう。故こ $\mathbb {R} _{l}$ 為ため完全かんぜん不ふ连通空そら间。
$\mathbb {R} _{l}$ 的てき緊子集しゅう只ただ能のう是ぜ可か數すう集しゅう（允許いんきょ是ぜ有限ゆうげん集しゅう）。要よう證明しょうめい此結論けつろん，考慮こうりょ非ひ空そら緊集 $C\subseteq \mathbb {R} _{l}$ . 取と定じょう $x\in C$ , 考慮こうりょ $C$ 的てき開ひらけ覆くつがえ蓋ぶた：

{\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.

由よし於

C

為ため緊，此開覆くつがえ蓋ぶた具有ぐゆう有限ゆうげん子こ覆くつがえ蓋ぶた，故こ存在そんざい實數じっすう

a(x)

使つかい得とく區間くかん

(a(x),x]

不ふ含

C

除じょ

x

以外いがい的てき點てん。這對任意にんい

x\in C

為真ためざに。現げん選えらべ取ど有理數ゆうりすう

q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q}

. 對たい不同ふどう的てき

x\in C

, 區間くかん

(a(x),x]

兩兩りょうりょう不ふ交，故こ函數かんすう

q:C\to \mathbb {Q}

為ため單たん射い，故こ

C

至いたり多可たか數すう。

「下限かげん拓ひらけ撲なぐ」得とく名めい自じ以下いか性質せいしつ： $\mathbb {R} _{l}$ 中なか的てき序列じょれつ（或ある網あみ） $(x_{\alpha })$ 收斂しゅうれん到いた $L$ 当とう且仅当とう其「從したがえ右みぎ接近せっきん $L$ 」，即そく對たい任意にんい的てき $\epsilon >0$ ，均ひとし存在そんざい下か標しるべ $\alpha _{0}$ 使つかい得とく $\forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon$ . $\mathbb {R} _{l}$ 因いん此可用よう於研究けんきゅう單たん側がわ極限きょくげん：對たい函數かんすう $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $f$ 於 $x$ 之これ右みぎ極限きょくげん（假定かてい陪域具有ぐゆう標準ひょうじゅん拓ひらけ撲なぐ），等とう於定義ていぎ域いき在ざい下限かげん拓ひらけ撲なぐ下した $f$ 於 $x$ 之これ一般いっぱん極限きょくげん。
就分ぶん离公理こうり而言， $\mathbb {R} _{l}$ 是これ完かん美び正せい规豪斯多夫おっと空間くうかん（T₆ 空間くうかん）。
就可か數すう性せい公理こうり而言， $\mathbb {R} _{l}$ 是これ第だい一いち可か數すう空間くうかん和わ可分かぶん空そら间，但ただし並なみ非ひ第だい二に可か數すう空間くうかん。
就緊緻性而言， $\mathbb {R} _{l}$ 是これ林はやし德いさお勒夫空間くうかん和わ仿紧空そら间，但ただし並なみ非ひσしぐま-緊空間あいだ（英えい语：σしぐま-compact space），也不是ぜ局部きょくぶ紧空間くうかん。
$\mathbb {R} _{l}$ 不ふ可か度量どりょう化か，因いん為ため可分かぶん的てき度量どりょう空間くうかん必為第だい二に可か數すう。然しか而， $\mathbb {R} _{l}$ 的てき拓ひらけ撲なぐ是ぜ由よし一いち個こ預あずか度量どりょう給きゅう出で。
$\mathbb {R} _{l}$ 是ぜ一いち個こ贝尔空そら间 ^[1]。