乌雷松まつ度量どりょう化か定理ていり

乌雷松まつ度量どりょう化か定理ていり给出了りょう一个拓扑空间可か度量どりょう化か的てき充分じゅうぶん条件じょうけん。一个拓扑空间 $(X,\tau )$ 上うえ，若わか能のう定義ていぎ一いち个度量りょう $d\colon X\times X\to [0,\infty )$ 使つかい得とく拓つぶせ扑 $\tau$ 由ゆかり d 诱导产生，就稱為ため可か度量どりょう化か。

内容ないよう

定理ていり斷言だんげん如果一いち个拓つぶせ扑空间X是ぜ正せい则的てき，且有一いち组可数すう基き（即そく第だい二に可か數すう），那な么X是ぜ可か度量どりょう化か的てき。 例れい如，由ゆかり定理ていり能のう推論すいろん出で，每まい個こ第だい二に可か數すう的てき流ながれ形がた都と可か度量どりょう化か。

歷史れきし上じょう，安德あんとく烈れつ·尼あま古こ拉ひしげ耶维奇き·吉よし洪ひろし诺夫在ざい 1926 年ねん證明しょうめい了りょう該定理ていり。1925 年ねん，乌雷松まつ在ざい死後しご才ざい發表はっぴょう的てき論文ろんぶん中ちゅう，只ただ證明しょうめい了りょう每まい個こ第だい二に可か數すう的てき正規せいき豪ごう斯多夫おっと空間くうかん都と可か度量どりょう化か。

然しか而，注意ちゅうい定理ていり给出的てき是ぜ充分じゅうぶん条件じょうけん，这意味いみ着ぎ可か度量どりょう化か空そら间的基もと不ふ一定いってい可か数すう，例れい如具有ぐゆう离散拓つぶせ扑的てき实轴R，它的拓つぶせ扑必然ひつぜん包括ほうかつR上うえ所有しょゆう的てき单点集しゅう，而单点てん集しゅう必定ひつじょう都と是ぜ所しょ给拓扑基的てき基もと元素げんそ，并以单点集しゅう形式けいしき出で现，而这些单点てん集しゅう显然是ぜ不可ふか数すう的てき。所以ゆえん具有ぐゆう离散拓つぶせ扑的实轴R尽つき管かん是ぜ可か度量どりょう化か的てき，但ただし它却没ぼつ有ゆう一いち组可数すう基き。

证明的てき想そう法ほう

利用りようX是正ぜせい则的且有一组可数基的假定就可以证明，X能のう嵌入かんにゅう一いち个度量どりょう空そら间之これ中ちゅう。因よし此，X与あずか一个度量空间的子空间同胚。由よし于一个度量空间的子空间是可度量化的，又また由よし于可度量どりょう性せい是ぜ一种拓扑性质，于是得とく出で：X是ぜ可か度量どりょう化か的てき。

例れい子こ

Z上うえ的てき等差とうさ数列すうれつ拓つぶせ扑由所有しょゆう形がた如 A_a,b={...,a-2b,a-b,a,a+b,a+2b,...} 的てき等差とうさ数列すうれつ所しょ组成的てき基もと来き定てい义，其中a,b∈R.b≠0。

诱导Z上うえ的てき度量どりょう

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0\left({\text{$若わか }}\ x=y\right)\\\min \left\{{\frac {1}{n!}}\left\vert {\frac {n!}{\left\vert x-y\right\vert }}\right.\right\}\left({\text{若わか }}\ x\neq y\right)\end{cases}}}

與あずか其他度量どりょう化か定理ていり之の關係かんけい

某ぼう些度量りょう化か定理ていり是ぜ烏がらす雷かみなり松まつ定理ていり的てき簡單かんたん推論すいろん，例れい如，緊的いくわ豪ごう斯多夫おっと空間くうかん可か度量どりょう化か當とう且僅當とう其為第だい二に可か數すう。

烏がらす雷かみなり松まつ定理ていり也可寫うつし成なり以下いか形式けいしき：「一個拓撲空間為可分かぶん和かず可か度量どりょう化か，當とう且僅當とう其為正則せいそく、豪ごう斯多夫おっと，且為第だい二に可か數すう。」長田ながた-斯米爾なんじ諾だく夫おっと度量どりょう化か定理ていり是ぜ對たい不可分ふかぶん空間くうかん的てき推廣。其斷言だんげん一個拓撲空間可度量化，當とう且僅當とう其為正則せいそく、豪ごう斯多夫おっと，且具有ぐゆう一いち組くみ σしぐま-局部きょくぶ有限ゆうげん基もと。一いち組くみ σしぐま-局部きょくぶ有限ゆうげん基もと是ぜ一いち組くみ基もと，其為可か數多あまた個こ局部きょくぶ有限ゆうげん開ひらき集しゅう族ぞく的てき並なみ。相關そうかん的てき還かえ有ゆう賓まろうど度量どりょう化か定理ていり。

若わか一いち個こ拓ひらけ撲なぐ空間くうかん中ちゅう，每まい點てん都と有ゆう一いち個こ鄰域可か度量どりょう化か，則のり稱たたえ為ため局部きょくぶ可か度量どりょう化か。斯米爾なんじ諾だく夫おっと證明しょうめい了りょう一いち個こ局部きょくぶ可か度量どりょう化か空間くうかん為ため可か度量どりょう化か當とう且僅當とう其為豪ごう斯多夫おっと及仿緊。具體ぐたい地ち，一いち個こ流りゅう形がた可か度量どりょう化か，當とう且僅當とう其為仿緊。

参考さんこう文献ぶんけん

• （美よし）亚当斯（Adams, C.）等ひとし 著ちょ；沈以淡あわ 等とう 译.《拓つぶせ扑学基もと础及应用》. 北京ぺきん：机つくえ械工业出版しゅっぱん社しゃ，2010-02. ISBN 978-7-111-28809-1.