距離きょり化か定理ていり

位相いそう幾何きか学がくおよび関連かんれんする数学すうがくの分野ぶんやにおいて、距離きょり化か可能かのう空間くうかん（きょりかかのうくうかん、英えい: metrizable space）とは、距離きょり空間くうかんと位相いそう同型どうけいな位相いそう空間くうかんのことを言いう。すなわち、ある位相いそう空間くうかん $(X,\tau )$ が距離きょり化か可能かのうであるとは、ある距離きょり

$d\colon X\times X\to [0,\infty )$

で、それによって導みちびかれる位相いそうが $\tau$ であるようなものが存在そんざいすることを言いう。距離きょり化か定理ていり（きょりかていり、英えい: metrization theorem）とは、位相いそう空間くうかんが距離きょり化か可能かのうであるための十分じゅうぶん条件じょうけんを与あたえる定理ていりのことを言いう。

性質せいしつ

距離きょり化か可能かのう空間くうかんは、距離きょり空間くうかんのすべての位相いそう的てき性質せいしつを引ひき継ついでいる。例たとえば、それらはハウスドルフパラコンパクト（したがって正規せいきかつチコノフ）かつ第だい一いち可算かさん的てきである。しかし、完備かんび性せいのようないくつかの距離きょりの性質せいしつは引ひき継つがれない。このことはまた距離きょりと関連かんれんする他ほかのいくつかの構造こうぞうに対たいしても真しんとなる。例たとえば、距離きょり化か可能かのうな一様いちよう空間くうかんは、位相いそう同型どうけいとなるような距離きょり空間くうかんよりも、縮小しゅくしょう写像しゃぞうの異ことなる集合しゅうごうを持もつ場合ばあいがある。

様々さまざまな距離きょり化か定理ていり

距離きょり化か定理ていりとして初はじめて広ひろく認識にんしきされたものは、ウリゾーンの距離きょり化か定理ていり（Urysohn's metrization theorem）である。この定理ていりでは、第だい二に可算かさん的てきなすべてのハウスドルフ正則せいそく空間くうかんは距離きょり化か可能かのうであると述のべられている。したがって例たとえば、すべての第だい二に可算かさん的てきな多様たよう体たいは、距離きょり化か可能かのうとなる（歴史れきし的てき観点かんてんからの注意ちゅうい：ここで紹介しょうかいされている形かたちの定理ていりは、実際じっさいは 1926 年ねんにチコノフによって初はじめて示しめされたものである。ウリゾーンが示しめした事実じじつは、すべての第だい二に可算かさん的てきかつ「正規せいき」なハウスドルフ空間くうかんが距離きょり化か可能かのうである、というものであり、これは彼かれの死後しごの 1925 年ねんに出版しゅっぱんされた論文ろんぶんで示しめされている。）。この定理ていりの逆ぎゃくは必かならずしも成立せいりつしない。すなわち、例たとえば離散りさん距離きょりを備そなえる非ひ可算かさん集合しゅうごうなど、第だい二に可算かさん的てきではない距離きょり空間くうかんが存在そんざいする。以下いかで紹介しょうかいする長田ながた＝スミルノフの距離きょり化か定理ていりでは、そのような逆ぎゃくが成立せいりつするような、より特別とくべつな場合ばあいが考かんがえられている。

ウリゾーンの定理ていりに従したがう簡単かんたんな系けいとして、いくつかの他ほかの距離きょり化か定理ていりが知しられている。例たとえば、コンパクトなハウスドルフ空間くうかんが距離きょり化か可能かのうであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それが第だい二に可算かさん的てきであることである。

ウリゾーンの定理ていりは次つぎのようにい換いかえることも出来できる：ある位相いそう空間くうかんが可分かぶんかつ距離きょり可能かのうであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それが正則せいそく、ハウスドルフかつ第だい二に可算かさん的てきであることである。長田ながた＝スミルノフの距離きょり化か定理ていりはこの内容ないようを、非ひ可分かぶんであるような場合ばあいに対たいしても拡張かくちょうするものである。その定理ていりによると、位相いそう空間くうかんが距離きょり化か可能かのうであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それが正則せいそくかつハウスドルフであり、σしぐま-局所きょくしょ有界ゆうかいな底そこ空間くうかんを持もつことである。ここで σしぐま-局所きょくしょ有界ゆうかいな底そこ空間くうかんとは、可算かさん個この多おおくの開ひらき集合しゅうごうの局所きょくしょ有界ゆうかい族ぞくである。これに密接みっせつに関連かんれんする定理ていりとして、ビングの距離きょり化か定理ていりがある。

可分かぶんな距離きょり空間くうかんはまた、ヒルベルトの立方体りっぽうたい $\lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} }$、すなわち（実数じっすうからの自然しぜんな部分ぶぶん空間くうかん位相いそうを伴ともなう）単位たんい区間くかんのそれ自身じしんとの可算かさん無限むげん回かいの積せきで、直積ちょくせき位相いそうを伴ともなうような空間くうかんの部分ぶぶん空間くうかんと位相いそう同型どうけいであるようなものとして特徴付とくちょうづけられる。

ある空間くうかんが局所きょくしょ距離きょり化か可能かのう（locally metrizable）であるとは、そのすべての点てんに対たいして距離きょり化か可能かのうな近傍きんぼうが存在そんざいすることを言いう。スミルノフは、局所きょくしょ距離きょり化か可能かのうな空間くうかんが距離きょり化か可能かのうであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それがハウスドルフかつパラコンパクトであることを証明しょうめいした。特とくに、ある多様たよう体たいが距離きょり化か可能かのうであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それがパラコンパクトであることである。

例れい

強つよ作用素さようそ位相いそうを備そなえる可分かぶんヒルベルト空間くうかん ${\mathcal {H}}$ 上うえのユニタリ作用素さようその群ぐん $\mathbb {U} ({\mathcal {H}})$ は、距離きょり化か可能かのうである（参考さんこう文献ぶんけん の Proposition II.1 を参照さんしょうされたい）。

距離きょり化か不可能ふかのう空間くうかんの例れい

非ひ正規せいき空間くうかんは距離きょり化か可能かのうとはならない。重要じゅうような例れいとして、次つぎが挙あげられる。

• 代数だいすう幾何きか学がくで用もちいられる、ある代数だいすう多様たよう体たいあるいは環たまきのスペクトル上うえのザリスキ位相いそう。
• 実数じっすう直線ちょくせん R からそれ自身じしんへのすべての函数かんすうからなるような、各かく点てん収束しゅうそく位相いそうを備そなえる位相いそうベクトル空間くうかん。

下しも極限きょくげん位相いそうを伴ともなう実数じっすう直線ちょくせんは、距離きょり化か可能かのうではない。通常つうじょうの距離きょり函数かんすうは、この空間くうかんの上うえの計量けいりょうとはならない。なぜならば、それが定さだめる位相いそうは通常つうじょうの位相いそうで、下しも極限きょくげん位相いそうではないからである。この空間くうかんはハウスドルフ、パラコンパクトかつ第だい一いち可算かさん的てきである。

長ながい直線ちょくせんは局所きょくしょ距離きょり化か可能かのうであるが、距離きょり化か可能かのうではない。これはすなわち、そのような直線ちょくせんがある意味いみで「長ながすぎる」ということに起因きいんする。

関連かんれん項目こうもく

• 一様いちよう化か可能かのう性せい 一様いちよう空間くうかんあるいは擬なずらえ距離きょりの族ぞくによって定義ていぎされる位相いそうと同型どうけいとなるような位相いそう空間くうかんの性質せいしつ
• ムーア空間くうかん (位相いそう幾何きか学がく)
• アポロン距離きょり

参考さんこう文献ぶんけん

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