Метризовний простір
Метризовний простір — топологічний простір, що є гомеоморфним деякому метричному простору. Інакше кажучи, простір, топологія якого породжується деякою метрикою. Якщо така метрика існує, то вона не є єдиною за винятком тривіальних випадків: коли простір є порожнім або складається лише з однієї точки. Наприклад, топологія кожного метризовного простору породжується деякою обмеженою метрикою.
- У метризовних просторах виконуються сильні аксіоми віддільності: такі простори є нормальними і навіть колективно нормальними.
- Усі метризовні простори є паракомпактними.
- Всі метризовні простори задовольняють першу аксіому зліченності.
Теорема Урисона. Усі гаусдорфові нормальні простори (і, більш загально, гаусдорфові регулярні простори) зі зліченною базою є метризовними.
- Простір є метризовним в тому і тільки в тому випадку, коли він є колективно нормальним і має зліченну множину відкритих покриттів, що подрібнюються;
- Критерій Стоуна — Архангельського: простір є метризовним у тому і тільки в тому випадку, коли він має зліченну фундаментальну множину відкритих покриттів і задовольняє -аксіому віддільності. Множина відкритих покриттів простору називається фундаментальною, якщо для кожної точки і кожного її околу існує покриття і окіл точки такі, що кожен елемент покриття , що перетинається з , міститься в .
На іншій важливій концепції — локальній скінченності, засновані інші загальні критерії.
- Критерій Нагати — Смирнова: простір є метризовним в тому і тільки в тому випадку, якщо він є регулярним і має базу, що розпадається на зліченну множину локально скінченних сімей множин.
- Критерій Бінга є аналогічним але в ньому замість локально скінченних сімей розглядають дискретні сім'ї множин.
Зручні варіанти наведених вище основних критеріїв метризовності пов'язані з поняттями рівномірної бази і регулярної бази. База простору називається регулярною (рівномірною), якщо для будь-якої точки і будь-якого її околу існує окіл цієї точки такий, що кількість елементів бази , які перетинають одночасно і доповнення до , є скінченною (відповідно, якщо множина елементів таких що , є скінченною).
- Простір є метризовним тоді і тільки тоді, коли він є колективно нормальним і має рівномірну базу.
- Для метризовності -простору необхідно і достатньо, щоб він мав регулярну базу.
- По теоремі Ковальського, зліченний степінь їжака колючості (при ) є універсальним простором для всіх метризовних просторів ваги . Таким чином, простір є метризовним тоді і тільки тоді, коли він є гомеоморфним підпростору зліченного степеня їжака деякої колючості . [1]
Для деяких спеціальних класів просторів критерії метризовності є простішими.
Так, для метризовності компактного простору необхідно і достатньо виконання одної із умов:
Для метризовності простору топологічної групи необхідно і достатньо, щоб в останньому виконувалася перша аксіома зліченності і аксіома віддільності ; також тоді простір є метризовним інваріантною метрикою (наприклад, по відношенню до множення зліва).
Простір із хемікомпактного простору у метризовний простір із компактно-відкритою топологією є метризовним.
Не всі метризовні простори можна метризувати повною метрикою; прикладом метризовного простору на якому це неможливо є простір раціональних чисел.
Простір є метризовним повною метрикою в тому і тільки в тому випадку, якщо він є метризовним і повно за Чехом, тобто є множиною типу G
Важливою топологічною властивістю просторів, що метризуються повною метрикою, є властивість Бера: перетин будь-якої зліченної сім'ї усюди щільних відкритих множин є всюди щільною множиною.
До метризовних просторів найбільш близькі за властивостями морівські простори — цілком регулярні простори, що мають зліченну множину відкритих покриттів, що подрібнюються і мереживні простори.
Широкий спектр узагальнень поняття метризовності простору одержується послабленням аксіом метрики і розглядом породжених такими «метриками» топологій. Таким прикладом є симетризовні простори, які одержуються відмовою від аксіоми нерівності трикутника. У цю схему вкладаються і морівські простори.
Інші важливі узагальнення поняття метризовності пов'язані з розглядом «метрик» зі значеннями в напівполі та інших алгебричних структурах.
- ↑ Swardson, M. A. (1 июня 1979). A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem (PDF). американское математическое общество. Архів оригіналу (PDF) за 14 липня 2014. Процитовано 31 січня 2020.
- Александров, Павел Сергеевич, Борис Алексеевич Пасынков. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Москва : Наука, 1973.