高德こうとく納おさめ箭や號ごう表示法ひょうじほう

高德こうとく納おさめ箭や號ごう表示法ひょうじほう（英語えいご：Knuth's up-arrow notation）是ぜ種しゅ用よう來らい表示ひょうじ很大的てき整數せいすう的てき方法ほうほう，由ゆかり高德こうとく納おさめ於1976年ねん設計せっけい。它的概念がいねん來き自じ冪べき是ぜ重複じゅうふく的てき乘法じょうほう，乘法じょうほう是ぜ重複じゅうふく的てき加法かほう。

簡介

乘法じょうほう是ぜ重複じゅうふく的てき加法かほう：$a\times b=a+a+\cdots +a$ （有ゆう$b$個こ$a$）

冪べき是ぜ重複じゅうふく的てき乘法じょうほう：$a^{b}=a\uparrow b=a\times a\times \cdots \times a$（有ゆう$b$個こ$a$）

於是高德こうとく納おさめ定義ていぎ「雙そう箭や號ごう」運算うんざん符ふ，作さく重複じゅうふく的てき冪べき運算うんざん，或ある稱しょう迭代冪べき次じ： $a\uparrow \uparrow b={\begin{matrix}\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} \\b\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \\b\end{matrix}}={^{b}a}$（中ちゅう文ぶん读法為ため「b个a重じゅう幂」）

計算けいさん時じ是ぜ由よし右みぎ至いたり左ひだり計けい的てき。

$3\uparrow \uparrow 2={^{2}3}=3^{3}=27$

$3\uparrow \uparrow 3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$

$3\uparrow \uparrow 4={^{4}3}=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}$

$3\uparrow \uparrow 5={^{5}3}=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}\approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}$

多た於兩個りゃんこ箭や號ごう時じ，

$3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987\,\!$

$3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3={^{^{3}3}3}={^{7625597484987}3}={\begin{matrix}\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} \\7625597484987\end{matrix}}$

使用しよう指數しすう來らい解釋かいしゃく高德こうとく納おさめ箭や號ごう表示法ひょうじほう

$a\uparrow \uparrow b$代表だいひょう重複じゅうふく的てき冪べき，或ある迭代冪べき次じ，例れい如： $a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}$

當とうb為ため變量へんりょう或ある過大かだい時じ，重複じゅうふく的てき冪べき可か以如下か表示ひょうじ：

$a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}$

指數しすう不ふ只ただ能のう解釋かいしゃく兩個りゃんこ箭や號ごう的てき運算うんざん，三さん個こ箭や號ごう也行。

$a\uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}$

$a\uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}$

$a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)]=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}$

再さい次つぎ的てき，當とうb為ため變量へんりょう或ある過大かだい時じ，三個箭號的運算可以如下表示：

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b$

四個箭號可以如下表示：

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow \uparrow a=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a$

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)=\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a$

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)]=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a$

再さい次つぎ的てき一般いっぱん化か：

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}$

這種方法ほうほう可か以用來らい表示ひょうじ任にん何なん能のう夠用高德こうとく納おさめ箭や號ごう表示法ひょうじほう表示ひょうじ的てき數すう，但ただし是ぜ會かい變へん得とく相しょう當麻とうま煩はん。

一般いっぱん化か

若わか要用ようよう多た個こ箭や號ごう時じ，可用かよう↑ⁿ表示ひょうじ，但ただし有ゆう些數還かえ是ぜ大だい得とく連れん這種表示法ひょうじほう也不夠用，例れい如葛かずら立りつ恆つね數すう。

這時可能かのう用ようhyper運算うんざん符ふ或ある康かん威たけし鏈式箭や號ごう表示法ひょうじほう方便ほうべん一いち點てん。

${\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&{\mbox{hyper}}(a,n+2,b)&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}$

定義ていぎ

對たい於整數すう$a$、非負ひふ整數せいすう$b$和かず正ただし整數せいすう$n$：

$a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}1,\\a^{b},\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),\end{matrix}}\right.$	若わか$b=0$；
	若わか$n=1$；
	其他。

這個表示法ひょうじほう符合ふごう向こう右みぎ結合けつごう律りつ。

參考さんこう

• Knuth, Donald E., "Coping With Finiteness", Science vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235-1242.
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Arrow Notation. MathWorld. 
• Robert Munafo, Large Numbers （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）