斯坦豪ごう斯-莫澤表示法ひょうじほう

斯坦豪ごう斯-莫澤表示法ひょうじほう，又また稱たたえ斯坦豪ごう斯-莫澤記號きごう、斯坦豪ごう斯-莫澤多邊形たへんけい記號きごう、多邊形たへんけい記號きごう，為ため利用りよう多邊形たへんけい來らい表示ひょうじ大數たいすう的てき一いち種しゅ表示法ひょうじほう。此表示法ひょうじほう由ゆかり雨あめ果はて·斯坦豪ごう斯發明はつめい，後來こうらい李り奧おく·莫澤擴展了りょう該表示法ひょうじほう。

斯坦豪ごう斯的多邊形たへんけい記號きごう

斯坦豪ごう斯多邊形たへんけい記號きごう的てき定義ていぎ如下：

• = nⁿ
• = 「n放ひ進すすむn個こ三角形さんかっけい中ちゅう」
• = 「n放ひ進すすむn個こ正方形せいほうけい中ちゅう」

斯坦豪ごう斯使用しよう這個符號ふごう定義ていぎ了りょう一いち些數：

• 被ひ稱しょう為ためMega數すう。
• 被ひ稱しょう為ためMegiston數すう。

莫澤的てき多邊形たへんけい記號きごう

莫澤多邊形たへんけい記號きごう是ぜ斯坦豪ごう斯多邊形たへんけい記號きごう的てき擴張かくちょう，這個記號きごう不ふ使用しよう圓形えんけい，而使用しよう一般いっぱん的てき多邊形たへんけい。

• 、與あずか斯坦豪ごう斯的記號きごう相しょう同どう。
• = 「n放ひ進すすむn個こ正方形せいほうけい中ちゅう」（= ）
• 一般いっぱん來らい說せつ，「n放ひ進すすむm邊あたり形がた中ちゅう」=「n放ひ進すすむn個こm - 1邊へん形がた中ちゅう」

而「2放ひ進すすむ邊あたり形がた中ちゅう」則のり被ひ稱しょう為ため莫澤數すう。

中ちゅう括くく號ごう表示法ひょうじほう

紐ひも約やく大學だいがく的てき蘇そ珊·史し蒂芬教授きょうじゅ在ざい自己じこ的てき網もう站中使用しよう以下いか替がえ代だい符號ふごう：

• 「n放ひ進すすむp邊あたり形がた中ちゅう」使用しよう$n[p]\,$來らい表示ひょうじ。（請注意ちゅうい：在ざい本條ほんじょう目め中ちゅう，$[n]$都みやこ是ただし表示ひょうじ某ぼう個こ數字すうじ放ひ進すすむ正ただし$n$邊あたり形がた中ちゅう，並なみ不ふ是ぜ第だい$n$級きゅう的てき超ちょう運算うんざん，為ため了りょう避免搞混，第だい$n$級きゅう的てき超ちょう運算うんざん在ざい本條ほんじょう目め中ちゅう是ぜ使用しよう$n-2$個こ向上こうじょう的てき箭や號ごう表示ひょうじ，請見高德こうとく納おさめ箭や號ごう表示法ひょうじほう）
• $[\ldots ]$可か以重複じゅうふく使用しよう。例れい如，「『n放ひ進すすむq邊あたり形がた中ちゅう』放ひ進すすむp邊あたり形がた中ちゅう」可か以表示ひょうじ為ため$(n[q])[p]\,$。
• 「n放ひ進すすむk個こp邊あたり形がた中ちゅう」表示ひょうじ為ため$n[p]_{k}\,$。換かわ句く話はなし說せつ，$n[p]_{k}$可か以定義ていぎ為ため$n\underbrace {[p][p]...[p]} _{k}$。

多邊形たへんけい記號きごう可か以使用しよう這種表示法ひょうじほう來らい定義ていぎ：

• $=n[3]=n^{n}=n\uparrow \uparrow 2\,$
• $=n[4]=n[3]_{n}\,$
• $=\,$ $=n[5]=n[4]_{n}\,$
• 一般いっぱん來らい說せつ，$n[m]=n[m-1]_{n}=n\underbrace {[m-1][m-1]...[m-1]} _{n}\,$。

上面うわつら所しょ使用しよう的てき↑為ため高德こうとく納おさめ箭や號ごう表示法ひょうじほう中なか的てき記號きごう。

其他例れい子こ：

• $=n[3]_{4}$

斯坦豪ごう斯和莫澤所しょ定義ていぎ的てき大數たいすう可か如下表示ひょうじ：

• （Mega數すう）$=2[5]$
• （Megiston數すう）$=10[5]$
• 莫澤數すう = $2[2[5]]$

一いち些例子こ的てき計算けいさん

簡單かんたん的てき例れい子こ

• 2[3] = 2² = 4
• 2[4] = 2[3]₂ = 2[3][3] = 4[3] = 4⁴ = 256

Mega數すう

= 2[5]

= 2[4]₂

= 2[4][4]

= 256[4]

= 256[3]₂₅₆

256[3]_n所ところ代表だいひょう的てき值如下か（n從したがえ1開始かいし）：

$256[3]=256^{256}$

$256[3]_{2}=256[3][3]=\left(256^{256}\right)^{256^{256}}=256^{256}\uparrow \uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}=256^{256^{257}}=(256\uparrow )^{2}257$,

$256[3]_{3}=256[3]_{2}[3]=256[3]_{2}\uparrow \uparrow 2=\left(256^{256^{257}}\right)^{256^{256^{257}}}=256^{\left(256^{257}\times 256^{256^{257}}\right)}=256^{256^{(257+256^{257})}}=(256\uparrow )^{2}\left(257+256^{257}\right)$

這個數字すうじ可か以「近似きんじ」如下：

$256[3]_{3}=256^{256^{257+256^{257}}}\risingdotseq 256^{256^{256^{257}}}=(256\uparrow )^{3}257$

這個近似きんじ值跟$256[3]_{3}$實際じっさい上うえ差さ了りょう非常ひじょう多倍たばい：

$256^{256^{257+256^{257}}}=\left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{257}}\gg 256^{256^{256^{257}}}$

通常つうじょう人じん們會感覺かんかく這兩個數こすう很近，其實差さ很遠。

類似るいじ地ち，

$256[3]_{4}\risingdotseq \left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{256^{256^{257}}}}=256^{\left(256^{256^{257}}\times 256^{256^{256^{257}}}\right)}=256^{256^{(256^{257}+256^{256^{257}})}}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}}=(256\uparrow )^{4}257$

$256[3]_{5}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}=(256\uparrow )^{5}257$

這種「近似きんじ」方法ほうほう也可以推展てん到いた所ところ求もとむ的てきMega數すう：

$=256[3]_{256}\risingdotseq (256\uparrow )^{256}257$

如果再さい採用さいよう更さら簡化的てき「近似きんじ值」，可か以推得とく：

$\risingdotseq 256\uparrow \uparrow 257$

實際じっさい上じょう，

$\gg (256\uparrow )^{256}257\gg 256\uparrow \uparrow 257$

如果以10為ため底そこ，則のり可か表示ひょうじ成なり：

$\approx (10\uparrow )^{255}\left(1.99\times 10^{619}\right)\approx (10\uparrow )^{256}\left(6.19\times 10^{2}\right)\approx (10\uparrow )^{257}\left(2.79\right)$

因いん此Mega數すう的てき範圍はんい為ため：

$10\uparrow \uparrow 257<$ $<10\uparrow \uparrow 258$

Megiston數すう

= 10[5] = 10[4]₁₀ = (10[4]₉)[4]

通過つうか類似るいじ於Mega數すう近似きんじ值的近似きんじ方法ほうほう，可か得とく：

$a[4]=a[3]_{a}\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)$

$a[4]\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)\risingdotseq a\uparrow \uparrow a\quad \mathrm {when} \ a\gg 1$ (*)

將はたa換かわ成なり10，可か得とく：

$10[4]=10[3]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 11$

$10[4]_{2}=10[4][4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow 11)\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)$

下した式しき為ため把わ開ひらけ頭あたま的てき10換かわ成なりa，11換かわ成なりb，後こう面めん的てき$10\uparrow \uparrow 11$換かわ成なりn之これ後ご的てき計算けいさん（其中a↑b = a^b）：

${\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&=(a\uparrow \uparrow b)\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=(a\uparrow (a\uparrow \uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=a\uparrow ((a\uparrow \uparrow (b-1))\times (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\\end{aligned}}$

當とうa, b皆みな足あし夠大時じ：

$a\uparrow \uparrow (b-1)\ll (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1)$

所以ゆえん

$(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))$

這是一いち個こ近似きんじ值。

此時重複じゅうふく上面うわつら的てき操作そうさ，直ちょく到いたn = 1為ため止どめ：

${\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&\risingdotseq \underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow 1)\\&=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow (a\uparrow \uparrow b)\\&\risingdotseq a\uparrow \uparrow ((n-1)+b)\end{aligned}}$

因いん此，當とう$n\gg b$時とき

$(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow \uparrow n$ (**)

這是一いち個こ近似きんじ值。

使用しよう(**)式しき，可か得とく$10[4]_{2}$的てき近似きんじ值：

$10[4]_{2}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)$

以下いか的てき近似きんじ值使用しよう(*)和かず(**)式しき：

$10[4]_{3}=10[4]_{2}[4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))=10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{3}11$

$10[4]_{4}=10[4]_{3}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{4}11$

$10[4]_{5}=10[4]_{4}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{5}11$

因いん此，

$10[4]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{10}11$

所以ゆえんMegiston數すう大だい致等於：

$\risingdotseq 10\uparrow \uparrow \uparrow 11$

然しか而，實際じっさい上じょう近似きんじ值遠小しょう於真正しんせい的てきMegiston數すう：

$\gg (10\uparrow \uparrow )^{10}11\gg 10\uparrow \uparrow \uparrow 11$

莫澤數すう

莫澤數すう代表だいひょう$2[$$]=2[2[5]]$。由よし於是これ相當そうとう巨大きょだい的てき數字すうじ，邊あたり形がた幾いく乎跟圓えん沒ぼつ有ゆう差別さべつ，因いん此採用さいよう莫澤多邊形たへんけい記號きごう是ぜ不可能ふかのう畫が出で莫澤數すう的てき。

儘管是非ぜひ常つね巨大きょだい的てき，跟相そう比ひ來らい說せつ仍是微ほろ不足ふそく道どう的てき。

提ひさげ姆·周しゅう在ざい1998年ねん證明しょうめい了りょう下か式しき[1] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆），可か見み莫澤數すう遠とお遠とお小しょう於葛かずら立りつ恆つね數すう（因いん為ため下か式しき中ちゅう後者こうしゃ還かえ比ひ葛かずら立りつ恆つね數すう小しょう很多）：

$M<3\rightarrow 3\rightarrow ((3\rightarrow 3\rightarrow 5)\times 2-1)$

利用りよう高德こうとく納おさめ箭や號ごう表示法ひょうじほう來き準じゅん確かく表示ひょうじ莫澤數すう幾いく乎是不可能ふかのう的てき，但ただし是ぜ可か以用近似きんじ值來表示ひょうじ。莫澤數すう近似きんじ於$3\uparrow \uparrow \!\cdots \!\uparrow 3$（-2個こ箭や號ごう）。

參まいり見み

• 高德こうとく納おさめ箭や號ごう表示法ひょうじほう
• 康かん威たけし鏈式箭や號ごう表示法ひょうじほう

外部がいぶ連結れんけつ

• Susan Stepney's Big Numbers （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Steinhaus-Moser notation. MathWorld.