二 に 個 こ 集合 しゅうごう 交集 的 てき 文 ぶん 氏 し 圖 ず
集合 しゅうごう 論 ろん (英語 えいご :set theory )或 ある 稱 しょう 集 しゅう 論 ろん ,是 ぜ 研究 けんきゅう 集合 しゅうごう (由 よし 一 いち 堆 うずたか 抽象 ちゅうしょう 对象構成 こうせい 的 てき 整體 せいたい )的 てき 數學 すうがく 理論 りろん ,包含 ほうがん 集合 しゅうごう 和 わ 元素 げんそ (或 ある 稱 たたえ 為 ため 成員 せいいん )、關係 かんけい 等 ひとし 最 さい 基本 きほん 數學 すうがく 概念 がいねん 。在 ざい 大 だい 多數 たすう 現代 げんだい 數學 すうがく 的 てき 公式 こうしき 化 か 中 ちゅう ,都 みやこ 是 ただし 在 ざい 集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 語 ご 言下 ごんか 談論 だんろん 各種 かくしゅ 数学 すうがく 对象 。集合 しゅうごう 論 ろん 、命題 めいだい 邏輯與 あずか 謂 いい 詞 し 邏輯共同 きょうどう 構成 こうせい 了 りょう 數學 すうがく 的 てき 公理 こうり 化 か 基礎 きそ ,以未定義 ていぎ 的 てき 「集合 しゅうごう 」與 あずか 「集合 しゅうごう 成員 せいいん 」等 とう 術語 じゅつご 來 らい 形式 けいしき 化 か 地 ち 建 けん 構數學 すうがく 物件 ぶっけん 。
現代 げんだい 集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 研究 けんきゅう 是 ぜ 在 ざい 1870年代 ねんだい 由 ゆかり 俄 にわか 国 こく 数学 すうがく 家 か 康 かん 托 たく 爾 なんじ 及德 とく 國 こく 数学 すうがく 家 か 理 り 察·戴德金 きん 的 てき 樸 しらき 素 す 集合 しゅうごう 論 ろん 開始 かいし 。在 ざい 樸 しらき 素 す 集合 しゅうごう 論 ろん 中 ちゅう ,集合 しゅうごう 是 ぜ 當 とう 做一堆物件構成的整體之類的自證概念,沒 ぼつ 有 ゆう 有 ゆう 關 せき 集合 しゅうごう 的 てき 形式 けいしき 化 か 定義 ていぎ 。在 ざい 發現 はつげん 樸 しらき 素 す 集合 しゅうごう 論 ろん 會 かい 產 さん 生 せい 一 いち 些悖 もと 論 ろん 後 ご ,二 に 十 じゅう 世紀 せいき 初期 しょき 提出 ていしゅつ 了 りょう 許多 きょた 公理 こうり 化 か 集合 しゅうごう 論 ろん ,其中最 さい 著名 ちょめい 的 てき 是 ぜ 包括 ほうかつ 選擇 せんたく 公理 こうり 的 てき 策 さく 梅 うめ 洛 らく -弗 どる 蘭 らん 克 かつ 爾 なんじ 集合 しゅうごう 論 ろん ,簡稱ZFC。公理 こうり 化 か 集合 しゅうごう 論 ろん 不 ふ 直接 ちょくせつ 定義 ていぎ 集合 しゅうごう 和 わ 集合 しゅうごう 成員 せいいん ,而是先 さき 規範 きはん 可 か 以描述 じゅつ 其性質的 しつてき 一 いち 些公理 こうり 。
集合 しゅうごう 論 ろん 常 つね 被 ひ 視 み 為 ため 數學 すうがく 基礎 きそ 之 これ 一 いち ,特別 とくべつ 是 ぜ ZFC 集合 しゅうごう 論 ろん 。除 じょ 了 りょう 其基礎 きそ 的 てき 作用 さよう 外 がい ,集合 しゅうごう 論 ろん 也是數學 すうがく 理論 りろん 中 ちゅう 的 てき 一部 いちぶ 份,當代 とうだい 的 てき 集合 しゅうごう 論 ろん 研究 けんきゅう 有 ゆう 許多 きょた 離散 りさん 的 てき 主題 しゅだい ,從 したがえ 實數 じっすう 線 せん 的 てき 結構 けっこう 到 いた 大 だい 基数 きすう 的 てき 一致 いっち 性 せい 等 ひとし 。
康 かん 托 たく 爾 なんじ
現代 げんだい 集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 研究 けんきゅう 開始 かいし 於1870年代 ねんだい 由 ゆかり 康 かん 托 たく 爾 なんじ 及理 り 察·戴德金 きん 提出 ていしゅつ 的 てき 樸 しらき 素 す 集合 しゅうごう 論 ろん 。一般 いっぱん 數學 すうがく 主題 しゅだい 的 てき 出現 しゅつげん 及發展 はってん 都 と 是 ぜ 由 ゆかり 多 た 名 めい 研究 けんきゅう 者 しゃ 的 てき 互動中產 ちゅうさん 生 せい 的 てき ,但 ただし 樸 しらき 素 す 集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 開始 かいし 是 ぜ 1874年 ねん 康 かん 托 たく 爾 なんじ 的 てき 一 いち 篇 へん 論文 ろんぶん 《On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers》[ 1] [ 2] 。而在稍 やや 早 はや 的 てき 1873年 ねん 12月7日 にち ,康 かん 托 たく 尔写信 しん 给戴德 とく 金 きん ,说他已 やめ 能 のう 成功 せいこう 地 ち 证明实数的 てき “集 あつまり 体 たい ”是 ぜ 不可 ふか 数 すう 的 てき 了 りょう ,这一天也因此成为了集合 しゅうごう 论的 てき 诞生日 び 。
從 したがえ 西元 にしもと 前 ぜん 五 ご 世紀 せいき 時 じ ,數學 すうがく 家 か 們就在 ざい 研究 けんきゅう 有 ゆう 關 せき 無窮 むきゅう 的 てき 性質 せいしつ ,最 さい 早期 そうき 是 ぜ 希 まれ 臘數學 すうがく 家 か 芝 しば 諾 だく 和 かず 印度 いんど 數學 すうがく 家 か ,十 じゅう 九 きゅう 世紀 せいき 時 じ 伯 はく 納 おさめ 德 とく ·波 は 爾 しか 查諾在 ざい 此領域 りょういき 有 ゆう 相當 そうとう 的 てき 進展 しんてん [ 3] 。現在 げんざい 對 たい 於無限 げん 的 てき 了解 りょうかい 是 ぜ 從 したがえ 1867–71年 ねん 康 かん 托 たく 爾 しか 在 ざい 數 すう 論 ろん 上 じょう 的 てき 研究 けんきゅう 開始 かいし ,1872年 ねん 康 かん 托 たく 爾 しか 和 わ 理 り 查德·戴德金 きん 的 てき 一次聚會影響了康托爾的理念,最 さい 後產 あとざん 生 せい 了 りょう 1874年 ねん 的 てき 論文 ろんぶん 。
當時 とうじ 的 てき 數學 すうがく 家 か 對 たい 康 かん 托 たく 爾 なんじ 的 てき 研究 けんきゅう 有 ゆう 二 に 種 しゅ 完全 かんぜん 不同 ふどう 的 てき 反應 はんのう :卡尔·魏 ぎ 尔斯特 とく 拉 ひしげ 斯 及理查德·戴德金 きん 支持 しじ 康 かん 托 たく 爾 なんじ 的 てき 研究 けんきゅう ,而像利 り 奥 おく 波 は 德 とく ·克 かつ 罗内克 かつ 等 ひとし 结构主 ぬし 义者 則 のり 持 じ 反對 はんたい 態度 たいど 。康 かん 托 たく 爾 なんじ 的 てき 研究 けんきゅう 後來 こうらい 廣 ひろ 為 ため 流傳 りゅうでん ,原因 げんいん 是 ぜ 當 とう 中 ちゅう 概念的 がいねんてき 實效 じっこう 性 せい ,例 れい 如集合 しゅうごう 之 の 間 あいだ 的 てき 双 そう 射 い ,康 かん 托 たく 爾 なんじ 對 たい 於實數 じっすう 較整數多 すうた 的 てき 證明 しょうめい ,以及由 ゆかり 冪 べき 集 しゅう 所產 しょさん 生 せい 「無窮 むきゅう 的 てき 無窮 むきゅう 」的 てき 概念 がいねん ,等 とう 等 とう 。這些概念 がいねん 最後 さいご 成 なり 為 ため 1898年 ねん 《克 かつ 莱因的 てき 百科 ひゃっか 全 ぜん 书 》中 ちゅう 的 てき 《Mengenlehre》(集合 しゅうごう 論 ろん )條目 じょうもく 。
在 ざい 1900年 ねん 左右 さゆう 許多 きょた 數學 すうがく 家 か 發現 はつげん 樸 しらき 素 す 集合 しゅうごう 論 ろん 會 かい 產 さん 生 せい 一些矛盾的情形,稱 しょう 為 ため 二律背反 にりつはいはん 或 ある 是 ぜ 悖 もと 论 ,伯 はく 特 とく 兰·罗素和 わ 恩 おん 斯特·策 さく 梅 うめ 洛 らく 均 ひとし 發現 はつげん 了 りょう 最 さい 簡單 かんたん 的 てき 悖 もと 论,也就是 ぜ 現在 げんざい 所 しょ 稱 しょう 的 てき 罗素悖 もと 论 :考慮 こうりょ 「由 よし 所有 しょゆう 不 ふ 包含 ほうがん 集合 しゅうごう 自身 じしん 的 てき 集合 しゅうごう 所 しょ 構成 こうせい 的 てき 集合 しゅうごう 」,記 き 之 の 為 ため S 。不 ふ 管 かん 假設 かせつ S 是 ぜ 或 ある 不 ふ 是 ぜ S 自身 じしん 的 てき 元素 げんそ ,按照 S 的 てき 定義 ていぎ 都會 とかい 導 しるべ 致矛盾 むじゅん 。罗素悖 もと 论也造成 ぞうせい 了 りょう 第 だい 三 さん 次 じ 數學 すうがく 危機 きき 。
1899年 ねん 時 じ 康 かん 托 たく 爾 しか 自己 じこ 也提出 ていしゅつ 一個會產生悖论的問題「一 いち 個 こ 由 よし 所有 しょゆう 集合 しゅうごう 形成 けいせい 的 てき 集合 しゅうごう ,其基數 きすう 為 ため 何 なに ?」因 いん 而產生 せい 康 かん 托 たく 尔悖论 。羅 ら 素 もと 在 ざい 1903年 ねん 他所 よそ 著 ちょ 的 てき 《数学 すうがく 原理 げんり 》中也 ちゅうや 用 よう 此悖論 ろん 來 らい 評論 ひょうろん 當時 とうじ 的 てき 歐 おう 陸 りく 數學 すうがく 。
不 ふ 過 か 上述 じょうじゅつ 的 てき 爭論 そうろん 沒 ぼつ 有 ゆう 使 し 數學 すうがく 家 か 放棄 ほうき 集合 しゅうごう 論 ろん ,恩 おん 斯特·策 さく 梅 うめ 洛 らく 及亚伯拉 ひしげ 罕·弗 どる 兰克尔 分別 ふんべつ 在 ざい 1908年 ねん 和 わ 1922年 ねん 的 てき 研究 けんきゅう .最 さい 後產 あとざん 生 せい 了 りょう 策 さく 梅 うめ 洛 らく -弗 どる 兰克尔集合 しゅうごう 论的 てき 許多 きょた 公理 こうり 。昂 のぼる 利 り ·勒貝格 かく 等 とう 人 ひと 在 ざい 實 じつ 分析 ぶんせき 上 うえ 的 てき 研究 けんきゅう 用 よう 到 いた 集合 しゅうごう 論 ろん 中 ちゅう 的 てき 許多 きょた 數學 すうがく 工具 こうぐ ,後來 こうらい 集合 しゅうごう 論 ろん 也成為 ため 近代 きんだい 數學 すうがく 的 てき 一部 いちぶ 份。集合 しゅうごう 論 ろん 已 やめ 被 ひ 視 し 為 ため 是 ぜ 數學 すうがく 的 てき 基礎 きそ 理論 りろん ,不 ふ 過 か 在 ざい 一 いち 些領域 りょういき 中 ちゅう 范畴论 被 ひ 認 みとめ 為 ため 是 ぜ 更 さら 適合 てきごう 的 てき 基礎 きそ 理論 りろん 。
集合 しゅうごう 论是從 したがえ 一 いち 個 こ 对象
o
{\displaystyle o}
和 わ 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
之 これ 間 あいだ 的 てき 二元 にげん 关系開始 かいし :若 わか
o
{\displaystyle o}
是 これ
A
{\displaystyle A}
的 てき 元素 げんそ ,可 か 表示 ひょうじ 為 ため
o
∈
A
{\displaystyle o\in A}
。由 よし 於集合 しゅうごう 也是一 いち 個 こ 对象,因 いん 此上述 じょうじゅつ 關係 かんけい 也可以用在 ざい 集合 しゅうごう 和 わ 集合 しゅうごう 的 てき 關係 かんけい 。
另外一 いち 種 しゅ 兩個 りゃんこ 集合 しゅうごう 之 の 間 あいだ 的 てき 關係 かんけい ,稱 しょう 為 ため 包含 ほうがん 關係 かんけい 。若 わか 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
中 なか 的 てき 所有 しょゆう 元素 げんそ 都 と 是 ぜ 集合 しゅうごう
B
{\displaystyle B}
中 なか 的 てき 元素 げんそ ,則 のり 稱 しょう 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
為 ため
B
{\displaystyle B}
的 てき 子 こ 集 しゅう ,符號 ふごう 為 ため
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
。例 れい 如
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
是 これ
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
的 てき 子 こ 集 しゅう ,但 ただし
{
1
,
4
}
{\displaystyle \{1,4\}}
就不是 ぜ
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
的 てき 子 こ 集 しゅう 。依 よ 照 あきら 定義 ていぎ ,任 にん 一個集合也是本身的子集,不 ふ 考慮 こうりょ 本身 ほんみ 的 てき 子 こ 集 しゅう 稱 しょう 為 ため 真子 しんじ 集 しゅう 。集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
為 ため 集合 しゅうごう
B
{\displaystyle B}
的 てき 真子 しんじ 集 しゅう 若 わか 且唯若 わか 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
為 ため 集合 しゅうごう
B
{\displaystyle B}
的 てき 子 こ 集 しゅう ,且集合 しゅうごう
B
{\displaystyle B}
不 ふ 是 ぜ 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
的 てき 子 こ 集 しゅう 。
数 かず 的 てき 算術 さんじゅつ 中有 ちゅうう 許多 きょた 一元及二元运算,集合 しゅうごう 論 ろん 也有 やゆう 許多 きょた 針 はり 對 たい 集合 しゅうごう 的 てき 一 いち 元 げん 及二 に 元 げん 运算:
集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
和 わ
B
{\displaystyle B}
的 てき 聯 れん 集 しゅう ,符號 ふごう 為 ため
A
∪
B
{\displaystyle A\cup B}
,是 ぜ 在 ざい 至 いたり 少 しょう 在 ざい 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
或 ある
B
{\displaystyle B}
中 ちゅう 出現 しゅつげん 的 てき 元素 げんそ ,集合 しゅうごう
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
和 わ 集合 しゅうごう
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,4\}}
的 てき 聯 れん 集 しゅう 為 ため 集合 しゅうごう
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,2,3,4\}}
。
集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
和 わ
B
{\displaystyle B}
的 てき 交集 ,符號 ふごう 為 ため
A
∩
B
{\displaystyle A\cap B}
,是 ぜ 同時 どうじ 在 ざい 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
及
B
{\displaystyle B}
中 ちゅう 出現 しゅつげん 的 てき 元素 げんそ ,集合 しゅうごう
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
和 わ 集合 しゅうごう
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,4\}}
的 てき 交集為 ため 集合 しゅうごう
{
2
,
3
}
{\displaystyle \{2,3\}}
。
集合 しゅうごう
U
{\displaystyle U}
和 わ
A
{\displaystyle A}
的 てき 相對 そうたい 差 さ 集 しゅう ,符號 ふごう 為 ため
U
∖
A
{\displaystyle U\backslash A}
,是 ぜ 在 ざい 集合 しゅうごう
U
{\displaystyle U}
中 なか ,但 ただし 不在 ふざい 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
中 なか 的 てき 所有 しょゆう 元素 げんそ ,相對 そうたい 差 さ 集 しゅう
{
1
,
2
,
3
}
∖
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,2,3\}\backslash \{2,3,4\}}
為 ため
{
1
}
{\displaystyle \{1\}}
,而相對 そうたい 差 さ 集 しゅう
{
2
,
3
,
4
}
∖
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{2,3,4\}\backslash \{1,2,3\}}
為 ため
4
{\displaystyle {4}}
。當 とう 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
是 ぜ 集合 しゅうごう
U
{\displaystyle U}
的 てき 子 こ 集 しゅう 時 じ ,相對 そうたい 差 さ 集 しゅう
U
∖
A
{\displaystyle U\backslash A}
也稱為 ため 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
在 ざい 集合 しゅうごう
U
{\displaystyle U}
中 なか 的 てき 補 ほ 集 しゅう 。若 わか 是 ぜ 研究 けんきゅう 文 ぶん 氏 し 圖 ず ,集合 しゅうごう
U
{\displaystyle U}
為 ため 全集 ぜんしゅう ,且可以藉由 よし 上下 じょうげ 文 ぶん 找到全集 ぜんしゅう 定義 ていぎ 時 じ ,會 かい 使用 しよう
A
c
{\displaystyle A^{c}}
來 らい 代替 だいたい
U
∖
A
{\displaystyle U\backslash A}
。
集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
和 わ
B
{\displaystyle B}
的 てき 对称差 さ ,符號 ふごう 為 ため
A
△
B
{\displaystyle A\triangle B}
或 ある
A
⊖
B
{\displaystyle A\ominus B}
,是 ぜ 指 ゆび 只 ただ 在 ざい 集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
及
B
{\displaystyle B}
中 なか 的 てき 其中一 いち 個 こ 出現 しゅつげん ,沒 ぼつ 有 ゆう 在 ざい 其交集中 しゅうちゅう 出現 しゅつげん 的 てき 元素 げんそ 。例 れい 如集合 しゅうごう
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
和 わ
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,4\}}
的 てき 对称差 さ 為 ため
{
1
,
4
}
{\displaystyle \{1,4\}}
,也是其聯集 しゅう 和 わ 交集的 てき 相對 そうたい 差 さ 集 しゅう
(
A
∪
B
)
∖
(
A
∩
B
)
{\displaystyle (A\cup B)\backslash (A\cap B)}
,或 ある 是 ぜ 二個相對差集的聯集
(
A
∖
B
)
∪
(
B
∖
A
)
{\displaystyle (A\backslash B)\cup (B\backslash A)}
。
集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
和 わ
B
{\displaystyle B}
的 てき 笛 ふえ 卡儿积 ,符號 ふごう 為 ため
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
,是 ぜ 一 いち 個 こ 由 よし 所有 しょゆう 可能 かのう 的 てき 有 ゆう 序 じょ 对
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
形成 けいせい 的 てき 集合 しゅうごう ,其中第 だい 一 いち 个物件 ぶっけん 是 ぜ
A
{\displaystyle A}
的 てき 成 なり 员,第 だい 二 に 个物件 ぶっけん 是 ぜ
B
{\displaystyle B}
的 てき 成 なり 员。
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
和 わ
{
red
,
white
}
{\displaystyle \{{\text{red}},{\text{white}}\}}
的 てき 笛 ふえ 卡儿积為
{
(
1
,
red
)
,
(
1
,
white
)
,
(
2
,
red
)
,
(
2
,
white
)
}
{\displaystyle \{(1,{\text{red}}),(1,{\text{white}}),(2,{\text{red}}),(2,{\text{white}})\}}
。
集合 しゅうごう
A
{\displaystyle A}
的 てき 冪 べき 集 しゅう 是 ぜ 指 ゆび 以
A
{\displaystyle A}
的 てき 全部 ぜんぶ 子 こ 集 しゅう 為 ため 元素 げんそ 的 てき 集合 しゅうごう ,例 れい 如集合 しゅうごう
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
的 てき 冪 べき 集 しゅう 為 ため
{
∅
,
{
1
}
,
{
2
}
,
{
1
,
2
}
}
{\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}
。
一些重要的基本集合包括空 そら 集 しゅう (唯 ただ 一 いち 沒 ぼつ 有元 ありもと 素的 すてき 集合 しゅうごう ),整數 せいすう 集合 しゅうごう 及實數 じっすう 集合 しゅうごう 。其他有 ゆう 關 せき 初等 しょとう 集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 基本 きほん 介 かい 紹,請參考 さんこう 集合 しゅうごう 。
冯·诺伊曼層次 じ 中 ちゅう 的 てき 一部 いちぶ 份
若 わか 一個集合的所有元素都是集合,所有 しょゆう 元素 げんそ 的 てき 元素 げんそ 都 と 是 ぜ 集合 しゅうごう ……,此集合 しゅうごう 稱 たたえ 為 ため 純 じゅん 集合 しゅうごう ,例 れい 如只包括 ほうかつ 空 そら 集合 しゅうごう 的 てき 集合 しゅうごう 是 ぜ 一 いち 個 こ 非 ひ 空 そら 的 てき 純 じゅん 集合 しゅうごう 。在 ざい 當代 とうだい 的 てき 集合 しゅうごう 論 ろん 中 ちゅう ,常常 つねづね 嚴格 げんかく 限 げん 制 せい 只 ただ 考慮 こうりょ 純 じゅん 集合 しゅうごう 的 てき 馮·諾 だく 伊 い 曼全集 しゅう ,許多 きょた 公理 こうり 集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 系統 けいとう 也是為 ため 了 りょう 純 じゅん 集合 しゅうごう 的 てき 公理 こうり 化 か 。這様的 てき 限 きり 制 せい 有 ゆう 許多 きょた 技術 ぎじゅつ 上 じょう 的 てき 優 ゆう 點 てん ,因 いん 為 ため 基本 きほん 上 じょう 所有 しょゆう 的 てき 數學 すうがく 概念 がいねん 都 と 可 か 以用純 じゅん 集合 しゅうごう 來 らい 表示 ひょうじ ,上述 じょうじゅつ 的 てき 限 きり 制 せい 不 ふ 影響 えいきょう 相關 そうかん 的 てき 應用 おうよう 。馮·諾 だく 伊 い 曼全集中 しゅうちゅう 的 てき 集合 しゅうごう 可 か 以以累積 るいせき 層 そう 次 じ (cumulative hierarchy)的 てき 方式 ほうしき 整理 せいり ,也就會 かい 依 よ 元 もと 素的 すてき 深度 しんど 、元素 げんそ 的 てき 元素 げんそ 的 てき 深度 しんど ……來 らい 分類 ぶんるい 。層 そう 次 じ 中 ちゅう 的 てき 每 ごと 一 いち 個 こ 集合 しゅうごう 都會 とかい 以超 ちょう 限 きり 递归的 てき 方式 ほうしき 指定 してい 一 いち 個 こ 序 じょ 数 すう ,稱 しょう 為 ため 集合 しゅうごう 的 てき 階 かい 。純 じゅん 集合 しゅうごう X的 てき 階 かい 定義 ていぎ 為 ため 集合 しゅうごう
X
{\displaystyle X}
所有 しょゆう 元素 げんそ 的 てき 階 かい 的 てき 后 きさき 继序数 すう 的 てき 最小 さいしょう 上 うえ 界 かい 。例 れい 如空集 しゅう 的 てき 階 かい 定義 ていぎ 為 ため 0,只 ただ 包括 ほうかつ 空 そら 集 しゅう 的 てき 集合 しゅうごう 定義 ていぎ 為 ため 1,針 はり 對 たい 每 ごと 一 いち 個 こ 序 じょ 数 すう
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
,集合 しゅうごう
V
α あるふぁ
{\displaystyle V_{\alpha }}
按定義 ていぎ 包含 ほうがん 了 りょう 所有 しょゆう 階數 かいすう 小 しょう 於
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
的 てき 純 じゅん 集合 しゅうごう ,整 せい 個 こ 馮·諾 だく 伊 い 曼全集 ぜんしゅう 用 よう
V
{\displaystyle V}
來 らい 表示 ひょうじ 。
基礎 きそ 集合 しゅうごう 論 ろん 可 か 以用非 ひ 正式 せいしき 的 てき 、直覺 ちょっかく 的 てき 方式 ほうしき 學習 がくしゅう ,在 ざい 小學 しょうがく 中 ちゅう 就可以用文 ぶん 氏 し 圖 ず 說明 せつめい 。基礎 きそ 集合 しゅうごう 論 ろん 直觀 ちょっかん 地 ち 假設 かせつ 集合 しゅうごう 就是一群符合任意特定條件的物件的組合,但 ただし 此假設 かせつ 會 かい 造成 ぞうせい 悖 もと 論 ろん 。最 さい 簡單 かんたん 及著名 めい 的 てき 是 ぜ 羅 ら 素 もと 悖 もと 論 ろん 及布 ぬの 拉 ひしげ 利 り -福 ぶく 爾 なんじ 蒂悖論 ろん 。公理 こうり 集合 しゅうごう 論 ろん 的形 まとがた 成就 じょうじゅ 是 ぜ 為 ため 了 りょう 避免這些集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 悖 もと 論 ろん 。
許多 きょた 數學 すうがく 家 か 研究 けんきゅう 的 てき 公理 こうり 集合 しゅうごう 論 ろん 系統 けいとう 假設 かせつ 所有 しょゆう 的 てき 集合 しゅうごう 形成 けいせい 累 るい 计层次 じ 。這類的 てき 系統 けいとう 可分 かぶん 為 ため 二 に 類 るい :
可 か 以修改 あらため 上述 じょうじゅつ 系統 けいとう ,允許 いんきょ 基本 きほん 元素 げんそ (urelement)的 てき 存在 そんざい ,基本 きほん 元素 げんそ 不 ふ 是 ぜ 集合 しゅうごう ,因 いん 此本身 ほんみ 也沒有 ゆう 成員 せいいん ,但 ただし 基本 きほん 元素 げんそ 可 か 以是其他集合 しゅうごう 中 ちゅう 的 てき 成員 せいいん 。
新 しん 基 もと 础集合 しゅうごう 论的 てき 系統 けいとう NFU(允許 いんきょ 基本 きほん 元素 げんそ )及NF(不 ふ 允許 いんきょ 基本 きほん 元素 げんそ )不 ふ 是 ぜ 以累计层次 じ 為 ため 基礎 きそ ,NFU和 わ NF有 ゆう 一 いち 個 こ 「包括 ほうかつ 所有 しょゆう 物件 ぶっけん 的 てき 集合 しゅうごう 」,此外,每 まい 個 こ 集合 しゅうごう 都 と 有 ゆう 其補集 しゅう 。這裡基本 きほん 元素 げんそ 存在 そんざい 與 あずか 否 いや 是 これ 個 こ 關 せき 鍵 かぎ 問題 もんだい ,因 いん 為 ため NF給 きゅう 出 で 了 りょう 選擇 せんたく 公理 こうり 的 てき 反例 はんれい ,而NFU則 そく 不 ふ 會 かい 。新 しん 基礎 きそ 集合 しゅうごう 論 ろん 和 わ 正 せい 集合 しゅうごう 論 ろん 是 ぜ 已 やめ 被 ひ 提出 ていしゅつ 的 てき 可 か 替 がえ 代 だい 的 てき 集合 しゅうごう 論 ろん 之 これ 中 ちゅう 的 てき 一部 いちぶ 份。
建 けん 構式集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 系統 けいとう ,像 ぞう 是 ぜ CST(建 けん 構式集合 しゅうごう 論 ろん )、CZF(建 けん 構式策 さく 梅 うめ 洛 らく -弗 どる 蘭 らん 克 かつ 爾 なんじ 集合 しゅうごう 論 ろん )及IZF(直覺 ちょっかく 式 しき 策 さく 梅 うめ 洛 らく -弗 どる 蘭 らん 克 かつ 爾 なんじ 集合 しゅうごう 論 ろん )等 とう ,將 はた 其集合 しゅうごう 公理 こうり 以直 ちょく 觉主义逻辑來 らい 表示 ひょうじ ,而不是 ぜ 使用 しよう 一 いち 階 かい 邏輯 。其他的 てき 一些系統接受標準的一階邏輯,但 ただし 是 ぜ 允許 いんきょ 非 ひ 標準 ひょうじゅん 的 てき 隸屬 れいぞく 關係 かんけい ,包括 ほうかつ 粗 そ 集合 しゅうごう 及模糊 もこ 集 しゅう ,其中表示 ひょうじ 隸屬 れいぞく 關係 かんけい 的 てき 原子 げんし 公式 こうしき 數 かず 值不只 ただ 是 ぜ 單純 たんじゅん 的 てき 「真 しん 」或 ある 是 ぜ 「假 かり 」。ZFC中 ちゅう 的 てき 布 ぬの 林 りん 值模型 がた 也是類似 るいじ 的 てき 概念 がいねん 。
內集合 しゅうごう 論 ろん 是 ぜ ZFC集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 擴張 かくちょう ,允許 いんきょ 無窮 むきゅう 小量 しょうりょう 和 かず 其他「非 ひ 標準 ひょうじゅん 」的 てき 數字 すうじ 存在 そんざい ,由 ゆかり 爱德华·尼 あま 尔森 在 ざい 1977年 ねん 提出 ていしゅつ 。
許多 きょた 數學 すうがく 概念 がいねん 可 か 以只用 よう 集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 概念 がいねん 來 き 準 じゅん 確 かく 定義 ていぎ 。例 れい 如像圖 ず 、流 ながれ 形 がた 、環 たまき 和 わ 向 むかい 量 りょう 空 そら 间等 とう 數學 すうがく 結構 けっこう 都 と 可 か 以用滿足 まんぞく 特定 とくてい 公理 こうり 性質 せいしつ 的 てき 集合 しゅうごう 來 らい 定義 ていぎ 。在 ざい 數學 すうがく 領域 りょういき 中 ちゅう ,等 とう 价关系 けい 及序 じょ 关系無 む 所 しょ 不在 ふざい ,而數學 がく 关系 的 てき 理論 りろん 也可以用集合 しゅうごう 論 ろん 來 らい 描述。
對 たい 許多 きょた 數學 すうがく 理論 りろん 而言,集合 しゅうごう 論 ろん 也是很有發展 はってん 性 せい 的 てき 基礎 きそ 系統 けいとう 。從 したがえ 集合 しゅうごう 論 ろん 刊 かん 在 ざい 《數學 すうがく 原理 げんり 》的 てき 第 だい 一 いち 卷 かん 起 おこり ,許多 きょた 數學 すうがく 家 か 聲 ごえ 稱 しょう 大部 たいぶ 份甚至 いたり 全部 ぜんぶ 的 てき 數學 すうがく 定理 ていり 都 と 可 か 以用恰當設計 せっけい 的 てき 一些集合論公理來證明,其中可能 かのう 會 かい 配合 はいごう 許多 きょた 定義 ていぎ 的 てき 加 か 強 きょう ,可能 かのう 使用 しよう 一 いち 階 かい 邏輯或 ある 二 に 階 かい 邏輯 。例 れい 如有關 せき 自然 しぜん 數 すう 或 ある 是 ぜ 實數 じっすう 的 てき 性質 せいしつ 就可以用集合 しゅうごう 論 ろん 來 らい 推導,每 まい 個數 こすう 系 けい 都 と 等 とう 同 どう 為 ため 某 ぼう 個 こ 由 ゆかり 等價 とうか 類 るい 組成 そせい 的 てき 集合 しゅうごう (從 したがえ 在 ざい 某 ぼう 個 こ 無限 むげん 集 しゅう 上 うえ 的 てき 等 とう 价关系 けい 所得 しょとく )。
集合 しゅうごう 論 ろん 在 ざい 數學 すうがく 分析 ぶんせき 、拓 ひらけ 撲 なぐ 學 がく 、抽象 ちゅうしょう 代数 だいすう 及離散 りさん 數學 すうがく 中 なか 的 てき 基礎 きそ 地位 ちい 比較 ひかく 沒 ぼつ 有 ゆう 爭議 そうぎ ,數學 すうがく 家 か 接受 せつじゅ 這些領域 りょういき 中 ちゅう 的 てき 定理 ていり (或 ある 是 ぜ 比較 ひかく 基礎 きそ 的 てき 定理 ていり )可 か 以由集合 しゅうごう 論 ろん 中 ちゅう 的 てき 公理 こうり 及適當 てきとう 的 てき 定義 ていぎ 推導出來 でき 。因 よし 為 ため 用 よう 集合 しゅうごう 論 ろん 證明 しょうめい 複雜 ふくざつ 理論 りろん 的 てき 推導過程 かてい 比 ひ 一般的推導過程長很多,只 ただ 有 ゆう 少量 しょうりょう 這種的 てき 證明 しょうめい 被 ひ 正式 せいしき 驗 けん 證 しょう 過 か 。一 いち 個 こ 稱 たたえ 為 ため Metamath 的 てき 驗 けん 證 しょう 計 けい 劃,以ZFC集合 しゅうごう 论為起點 きてん ,使用 しよう 一 いち 階 かい 邏輯來 らい 進行 しんこう 證明 しょうめい ,包括 ほうかつ 了 りょう 超過 ちょうか 一 いち 萬 まん 個 こ 定理 ていり 證明 しょうめい 的 てき 推導。
集合 しゅうごう 論 ろん 是 ぜ 數學 すうがく 的 てき 主要 しゅよう 研究 けんきゅう 領域 りょういき 之 の 一 いち ,其中也有 やゆう 許多 きょた 和 わ 其他領域 りょういき 相關 そうかん 的 てき 子 こ 領域 りょういき 。
組合 くみあい 集合 しゅうごう 論 ろん 也稱為 ため 無限 むげん 組合 くみあい 數學 すうがく ,將 はた 有限 ゆうげん 的 てき 組合 くみあい 數學 すうがく 延伸 えんしん 到 いた 無限 むげん 集 しゅう 中 なか 。組合 くみあい 集合 しゅうごう 論 ろん 包括 ほうかつ 基數 きすう 算術 さんじゅつ 的 てき 研究 けんきゅう ,以及拉 ひしげ 姆齐定理 ていり 的 てき 擴展,例 れい 如艾 もぐさ 狄胥–拉 ひしげ 多 た 定理 ていり 。
描述集合 しゅうごう 論 ろん 是 ぜ 關 せき 於實直 じっちょく 線 せん 或 ある 波 なみ 蘭 らん 空間 くうかん 上 うえ 子 こ 集 しゅう 的 てき 研究 けんきゅう 。描述集合 しゅうごう 論 ろん 是 ぜ 從 したがえ 對 たい 波 なみ 莱尔层次中 なか 点 てん 集 しゅう 研究 けんきゅう 開始 かいし ,後來 こうらい 延伸 えんしん 到 いた 更 さら 複雜 ふくざつ 的 てき 層 そう 次 じ ,像 ぞう 是 ぜ 射影 しゃえい 层次 及魏 ぎ 吉 きち 层次 。波 なみ 莱尔集 しゅう 中 なか 的 てき 許多 きょた 性質 せいしつ 可 か 以建立 こんりゅう 在 ざい 包括 ほうかつ 選擇 せんたく 公理 こうり 的 てき 策 さく 梅 うめ 洛 らく -弗 どる 蘭 らん 克 かつ 爾 なんじ 集合 しゅうごう 論 ろん 上 じょう ,但 ただし 要 よう 證明 しょうめい 更 さら 複雜 ふくざつ 的 てき 集合 しゅうごう 也符合 ふごう 這些性質 せいしつ 的 てき 話 ばなし ,就需要 よう 有 ゆう 其他和 わ 決定 けってい 公理 こうり 和 わ 大 だい 基数 きすう 有 ゆう 關 せき 的 てき 公理 こうり 。
有效 ゆうこう 描述集合 しゅうごう 論 ろん 介 かい 於集合 しゅうごう 論 ろん 和 わ 递归论 之 これ 間 あいだ ,包括 ほうかつ 對 たい 淺 あさ 體 からだ 點 てん 集 しゅう 的 てき 研究 けんきゅう ,和 わ 超 ちょう 算術 さんじゅつ 理論 りろん 緊密 きんみつ 相關 そうかん 。許 もと 多情 たじょう 形 がた 下 か ,描述集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 結果 けっか 也可以用有效 ゆうこう 描述集合 しゅうごう 論 ろん 來 らい 表示 ひょうじ 。有 ゆう 時 じ ,會 かい 先 さき 利用 りよう 有效 ゆうこう 描述集合 しゅうごう 論 ろん 來 らい 證明 しょうめい ,再 さい 將 しょう 其延伸 えんしん (相對 そうたい 化 か ),使 つかい 其應用 おうよう 範圍 はんい 更 さら 廣 ひろ 。
描述集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 當代 とうだい 研究 けんきゅう 包括 ほうかつ 波 なみ 萊爾等價 とうか 關係 かんけい 及一些更複雜的可定義等價 とうか 關係 かんけい 。描述集合 しゅうごう 論 ろん 在 ざい 許多 きょた 數學 すうがく 領域 りょういき 的 てき 不 ふ 變量 へんりょう 研究 けんきゅう 都 と 很重要 じゅうよう 。
大 だい 基數 きすう 是 ぜ 具有 ぐゆう 特殊 とくしゅ 性質 せいしつ 的 てき 基數 きすう 。許多 きょた 不同 ふどう 的 てき 性質 せいしつ 也有 やゆう 研究 けんきゅう ,例 れい 如不可 ふか 達 たち 基數 きすう 和 わ 可 か 測 はか 基數 きすう 。此類性質 せいしつ 通常 つうじょう 推出該基數 すう 必定 ひつじょう 非常 ひじょう 大 だい ,且其存在 そんざい 性 せい 不能 ふのう 在 ざい 策 さく 梅 うめ 洛 らく -弗 どる 蘭 らん 克 かつ 爾 なんじ 集合 しゅうごう 論 ろん 證明 しょうめい 。
在 ざい 康 かん 托 たく 尔定義 ていぎ 的 てき 樸 しらき 素 す 集合 しゅうごう 論及 ろんきゅう 後來 こうらい 發展 はってん 的 てき ZFC集合 しゅうごう 論 ろん 中 ちゅう ,一個物件和一個集合的關係只有二種:是 ぜ 成員 せいいん 或 ある 者 もの 不 ふ 是 ぜ 成員 せいいん 。盧 の 菲特·澤 さわ 德 いさお 在 ざい 模糊 もこ 集 しゅう 中 ちゅう 放 ひ 寬 ひろし 上述 じょうじゅつ 的 てき 限 きり 制 せい ,物件 ぶっけん 有 ゆう 對 たい 於集合 しゅうごう 的 てき 歸屬 きぞく 度 ど (degree of membership),是 ぜ 一 いち 個 こ 介 かい 於0到 いた 1之 これ 間 あいだ 的 てき 數字 すうじ 。例 れい 如有關 せき 一 いち 個人 こじん 對 たい 於「身 み 材 ざい 高大 こうだい 的 てき 人 じん 」集合 しゅうごう 的 てき 歸屬 きぞく 度 ど 不 ふ 是 ぜ 簡單 かんたん 的 てき 是 ぜ 或 ある 不 ふ 是 ぜ ,而是一 いち 個 こ 數 すう 值,例 れい 如0.75。
保 ほ 羅 ら ·寇恩的 てき 一些工作是尋找一個ZFC的 てき 模型 もけい ,使 つかい 得 とく 選擇 せんたく 公理 こうり 或 ある 连续统假设 失效 しっこう ,在 ざい 這過程 かてい 中 ちゅう 他 た 發明 はつめい 了 りょう 力 ちから 迫 せり 。力 ちから 迫 はさま 法 ほう 是 ぜ 一 いち 種 しゅ 擴張 かくちょう 模型 もけい 的 てき 方法 ほうほう ,在 ざい 集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 某 ぼう 模型 もけい 中 ちゅう 加入 かにゅう 一 いち 些額外的 がいてき 集合 しゅうごう ,來 らい 產 さん 生 せい 一 いち 個 こ 較大的 てき 模型 もけい ,這樣的 てき 模型 もけい 會 かい 具有 ぐゆう 預 あずか 期 き 的 てき 性質 せいしつ (依賴 いらい 於具體 ぐたい 構造 こうぞう 方式 ほうしき 和 わ 原 げん 模型 もけい )。例 れい 如,在 ざい 保 ほ 罗·寇恩的 てき 構造 こうぞう 中 ちゅう ,他 た 給 きゅう 原 げん 模型 もけい 附加 ふか 了 りょう 額 がく 外的 がいてき 自然 しぜん 數 すう 子 こ 集 しゅう ,而沒有 ゆう 更改 こうかい 原 げん 模型 もけい 的 てき 任 にん 何 なに 基數 きすう 。力 ちから 迫 はさま 也是利用 りよう 有 ゆう 窮 きゅう 方法 ほうほう (finitistic method)證明 しょうめい 相對 そうたい 一致 いっち 性 せい 的 てき 二 に 種 しゅ 方法 ほうほう 中 ちゅう 的 てき 一 いち 種 しゅ ,另一 いち 個 こ 方法 ほうほう 是 ぜ 布 ぬの 尔值模型 もけい 。
一 いち 開始 かいし ,有 ゆう 些數學 がく 家 か 反對 はんたい 將 はた 集合 しゅうごう 論 ろん 當 とう 做數學 すうがく 基礎 きそ ,認 みとめ 為 ため 這只是 ぜ 一場 いちじょう 含有 がんゆう 「奇 き 幻 まぼろし 元素 げんそ 」的 てき 遊戲 ゆうぎ 。對 たい 集合 しゅうごう 論 ろん 最 さい 常見 つねみ 的 てき 反對 はんたい 意見 いけん 來 らい 自 じ 數學 すうがく 結構 けっこう 主義 しゅぎ 者 しゃ (像 ぞう 是 ぜ 利 り 奥 おく 波 は 德 とく ·克 かつ 罗内克 かつ ),他 た 們認為 ため 數學 すうがく 多少 たしょう 都和 つわ 計算 けいさん 有 ゆう 些關係 かんけい 的 てき ,但 ただし 樸 しらき 素 す 集合 しゅうごう 論 ろん 卻加入 かにゅう 了 りょう 非 ひ 計算 けいさん 性 せい 的 てき 元素 げんそ 。
埃 ほこり 里 さと 特 とく ·比 ひ 修 おさむ 普 ひろし 駁斥集合 しゅうごう 論 ろん 是 ぜ 「上帝 じょうてい 的 てき 數學 すうがく ,應 おう 該留給 きゅう 上帝 じょうてい 」。而且,路 みち 德 とく 維希·維根斯坦特別 とくべつ 對 たい 無限 むげん 的 てき 操作 そうさ 有 ゆう 疑問 ぎもん ,這也和 わ 策 さく 梅 うめ 羅 ら -弗 どる 蘭 らん 克 かつ 爾 なんじ 集合 しゅうごう 論 ろん 有 ゆう 關 せき 。維根斯坦對 たい 於數學 がく 基礎 きそ 的 てき 觀點 かんてん 曾被保 ほ 羅 ら ·貝 かい 奈斯所 ところ 批評 ひひょう ,且被克 かつ 里 さと 斯平·賴 よりゆき 特 とく 等 とう 人 ひと 密 みつ 切 きり 研究 けんきゅう 過 か [ 4] 。
拓 ひらけ 撲 なぐ 斯理論 りろん 曾被認 みとめ 為 ため 是 ぜ 傳統 でんとう 公理 こうり 化 か 集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 另一 いち 種 しゅ 選擇 せんたく 。拓 つぶせ 樸 しらき 斯理論 ろん 可 か 以被用 よう 來 らい 解釋 かいしゃく 該集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 各種 かくしゅ 替 がえ 代 だい 方案 ほうあん ,如數學 すうがく 結構 けっこう 主義 しゅぎ 、模糊 もこ 集合 しゅうごう 論 ろん 、有限 ゆうげん 集合 しゅうごう 論 ろん 和 わ 可 か 計算 けいさん 集合 しゅうごう 論 ろん 等 とう [ 5] 。
^ Milinowski, A.; Cantor, G. Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen. . Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1874, 77 : 258–262 [2013-05-17 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2012-06-04) (德 とく 语) .
^ Johnson, Philip, A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, 1972, ISBN 0-87150-154-6
^ Bolzano, Bernard , Berg, Jan , 编, Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., Vol. II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag: 152, 1975, ISBN 3-7728-0466-7
^ Francis, John. Philosophy Of Mathematics . Global Vision Publishing House. 2008-08: 86. ISBN 978-81-8220-267-2 (英 えい 语) .
^ Ferro, Alfredo; Omodeo, Eugenio G.; Schwartz, Jacob T. Decision procedures for elementary sublanguages of set theory. I. Multi-level syllogistic and some extensions . Communications on Pure and Applied Mathematics. 1980-09, 33 (5): 599–608 [2022-03-23 ] . doi:10.1002/cpa.3160330503 . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2022-01-18) (英 えい 语) .
Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory 1nd, Academic Press, 1977, ISBN 978-0122384400 (英 えい 语) ,集合 しゅうごう 論 ろん 入門 にゅうもん 書 しょ 。
史 ふみ 丹 たん 佛 ふつ 哲學 てつがく 百科全書 ひゃっかぜんしょ 相關 そうかん 條目 じょうもく :
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