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集合しゅうごう

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集合しゅうごう交集てきぶん

集合しゅうごうろん英語えいごset theoryあるしょうしゅうろん研究けんきゅう集合しゅうごうよしいちうずたか抽象ちゅうしょう对象構成こうせいてき整體せいたいてき數學すうがく理論りろん包含ほうがん集合しゅうごう元素げんそあるたたえため成員せいいん)、關係かんけいひとしさい基本きほん數學すうがく概念がいねんざいだい多數たすう現代げんだい數學すうがくてき公式こうしきちゅうみやこただしざい集合しゅうごうろんてき言下ごんか談論だんろん各種かくしゅ数学すうがく对象集合しゅうごうろん命題めいだい邏輯あずかいい邏輯共同きょうどう構成こうせいりょう數學すうがくてき公理こうり基礎きそ,以未定義ていぎてき集合しゅうごうあずか集合しゅうごう成員せいいんとう術語じゅつごらい形式けいしきけん數學すうがく物件ぶっけん

現代げんだい集合しゅうごうろんてき研究けんきゅうざい1870年代ねんだいゆかりにわかこく数学すうがくかんたくなんじとくこく数学すうがく察·戴德きんてきしらき集合しゅうごうろん開始かいしざいしらき集合しゅうごうろんちゅう集合しゅうごうとう做一堆物件構成的整體之類的自證概念,ぼつゆうゆうせき集合しゅうごうてき形式けいしき定義ていぎざい發現はつげんしらき集合しゅうごうろんかいさんせいいちもとろんえいParadoxes of set theoryじゅう世紀せいき初期しょき提出ていしゅつりょう許多きょた公理こうり集合しゅうごうろん,其中さい著名ちょめいてき包括ほうかつ選擇せんたく公理こうりてきさくうめらく-どるらんかつなんじ集合しゅうごうろん,簡稱ZFC。公理こうり集合しゅうごうろん直接ちょくせつ定義ていぎ集合しゅうごう集合しゅうごう成員せいいん,而是さき規範きはん以描じゅつ其性質的しつてきいち公理こうり

集合しゅうごうろんつねため數學すうがく基礎きそこれいち特別とくべつ ZFC 集合しゅうごうろんじょりょう基礎きそてき作用さようがい集合しゅうごうろん也是數學すうがく理論りろんちゅうてき一部いちぶ份,當代とうだいてき集合しゅうごうろん研究けんきゅうゆう許多きょた離散りさんてき主題しゅだいしたがえ實數じっすうせんてき結構けっこういただい基数きすうてき一致いっちせいひとし

歷史れきし

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かんたくなんじ

現代げんだい集合しゅうごうろんてき研究けんきゅう開始かいし於1870年代ねんだいゆかりかんたくなんじ察·戴德きん提出ていしゅつてきしらき集合しゅうごうろん一般いっぱん數學すうがく主題しゅだいてき出現しゅつげん發展はってんゆかりめい研究けんきゅうしゃてき互動中產ちゅうさんせいてきただししらき集合しゅうごうろんてき開始かいし1874ねんかんたくなんじてきいちへん論文ろんぶん《On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers》[1][2]。而在ややはやてき1873ねん12月7にちかんたく尔写しん给戴とくきん,说他やめのう成功せいこう证明实数てきあつまりたい不可ふかすうてきりょう,这一天也因此成为了集合しゅうごうてき诞生

したがえ西元にしもとぜん世紀せいき數學すうがく們就ざい研究けんきゅうゆうせき無窮むきゅうてき性質せいしつさい早期そうきまれ數學すうがくしばだくかず印度いんど數學すうがくじゅうきゅう世紀せいきはくおさめとく·しか查諾ざい領域りょういきゆう相當そうとうてき進展しんてん[3]現在げんざいたい於無げんてき了解りょうかいしたがえ1867–71ねんかんたくしかざいすうろんじょうてき研究けんきゅう開始かいし,1872ねんかんたくしか查德·戴德きんてき一次聚會影響了康托爾的理念,さい後產あとざんせいりょう1874ねんてき論文ろんぶん

當時とうじてき數學すうがくたいかんたくなんじてき研究けんきゅうゆうしゅ完全かんぜん不同ふどうてき反應はんのう卡尔·尔斯とくひしげ及理查德·戴德きん支持しじかんたくなんじてき研究けんきゅう,而像おくとく·かつ罗内かつひとし结构ぬし义者のり反對はんたい態度たいどかんたくなんじてき研究けんきゅう後來こうらいひろため流傳りゅうでん原因げんいんとうちゅう概念的がいねんてき實效じっこうせいれい集合しゅうごうあいだてきそうかんたくなんじたい實數じっすう較整數多すうたてき證明しょうめい,以及ゆかりべきしゅう所產しょさんせい無窮むきゅうてき無窮むきゅうてき概念がいねんとうとう。這些概念がいねん最後さいごなりため1898ねんかつ莱因てき百科ひゃっかぜんえいKlein's encyclopediaちゅうてき《Mengenlehre》(集合しゅうごうろん條目じょうもく

ざい1900ねん左右さゆう許多きょた數學すうがく發現はつげんしらき集合しゅうごうろんかいさんせい一些矛盾的情形,しょうため二律背反にりつはいはんあるもとはくとく兰·罗素おん斯特·さくうめらくひとし發現はつげんりょうさい簡單かんたんてきもと论,也就現在げんざいしょしょうてき罗素もと考慮こうりょよし所有しょゆう包含ほうがん集合しゅうごう自身じしんてき集合しゅうごうしょ構成こうせいてき集合しゅうごう」,ため Sかん假設かせつ S ある S 自身じしんてき元素げんそ,按照 S てき定義ていぎ都會とかいしるべ矛盾むじゅん。罗素もと论也造成ぞうせいりょうだいさん數學すうがく危機きき

1899ねんかんたくしか自己じこ提出ていしゅつ一個會產生悖论的問題「いちよし所有しょゆう集合しゅうごう形成けいせいてき集合しゅうごう,其基數きすうためなに?」いん而產せいかんたく尔悖论もとざい1903ねん他所よそちょてき数学すうがく原理げんり中也ちゅうやよう此悖ろんらい評論ひょうろん當時とうじてきおうりく數學すうがく

上述じょうじゅつてき爭論そうろんぼつゆう使數學すうがく放棄ほうき集合しゅうごうろんおん斯特·さくうめらく亚伯ひしげ罕·どる兰克尔分別ふんべつざい1908ねん1922ねんてき研究けんきゅうさい後產あとざんせいりょうさくうめらく-どる兰克尔集合しゅうごうてき許多きょた公理こうりのぼる·勒貝かくとうひとざいじつ分析ぶんせきうえてき研究けんきゅうよういた集合しゅうごうろんちゅうてき許多きょた數學すうがく工具こうぐ後來こうらい集合しゅうごうろん也成ため近代きんだい數學すうがくてき一部いちぶ份。集合しゅうごうろんやめため數學すうがくてき基礎きそ理論りろんざいいち領域りょういきちゅう范畴论みとめためさら適合てきごうてき基礎きそ理論りろん

基礎きそ概念がいねん及符ごう

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集合しゅうごう论是したがえいち对象集合しゅうごうこれあいだてき二元にげん关系開始かいしわかこれてき元素げんそ表示ひょうじためよし集合しゅうごう也是いち对象,いん上述じょうじゅつ關係かんけい也可以用ざい集合しゅうごう集合しゅうごうてき關係かんけい

另外いちしゅ兩個りゃんこ集合しゅうごうあいだてき關係かんけいしょうため包含ほうがん關係かんけいわか集合しゅうごうなかてき所有しょゆう元素げんそ集合しゅうごうなかてき元素げんそのりしょう集合しゅうごうためてきしゅう符號ふごうためれいこれてきしゅうただし就不てきしゅうあきら定義ていぎにん一個集合也是本身的子集,考慮こうりょ本身ほんみてきしゅうしょうため真子しんじしゅう集合しゅうごうため集合しゅうごうてき真子しんじしゅうわか且唯わか集合しゅうごうため集合しゅうごうてきしゅう,且集合しゅうごう集合しゅうごうてきしゅう

かずてき算術さんじゅつ中有ちゅうう許多きょた一元及二元运算,集合しゅうごうろん也有やゆう許多きょたはりたい集合しゅうごうてきいちげんげん运算:

  • 集合しゅうごうてきれんしゅう符號ふごうためざいいたりしょうざい集合しゅうごうあるちゅう出現しゅつげんてき元素げんそ集合しゅうごう集合しゅうごうてきれんしゅうため集合しゅうごう
  • 集合しゅうごうてき交集符號ふごうため同時どうじざい集合しゅうごうちゅう出現しゅつげんてき元素げんそ集合しゅうごう集合しゅうごうてき交集ため集合しゅうごう
  • 集合しゅうごうてき相對そうたいしゅう符號ふごうためざい集合しゅうごうなかただし不在ふざい集合しゅうごうなかてき所有しょゆう元素げんそ相對そうたいしゅうため,而相對そうたいしゅうためとう集合しゅうごう集合しゅうごうてきしゅう相對そうたいしゅう也稱ため集合しゅうごうざい集合しゅうごうなかてきしゅうわか研究けんきゅうぶん集合しゅうごうため全集ぜんしゅう,且可以藉よし上下じょうげぶん找到全集ぜんしゅう定義ていぎかい使用しようらい代替だいたい
  • 集合しゅうごうてき对称符號ふごうためあるゆびただざい集合しゅうごうなかてき其中いち出現しゅつげんぼつゆうざい其交集中しゅうちゅう出現しゅつげんてき元素げんそれい集合しゅうごうてき对称ため,也是其聯しゅう交集てき相對そうたいしゅうある二個相對差集的聯集
  • 集合しゅうごうてきふえ卡儿积符號ふごうためいちよし所有しょゆう可能かのうてきゆうじょ形成けいせいてき集合しゅうごう,其中だいいち物件ぶっけんてきなり员,だい物件ぶっけんてきなり员。てきふえ卡儿积為
  • 集合しゅうごうてきべきしゅうゆびてき全部ぜんぶしゅうため元素げんそてき集合しゅうごうれい集合しゅうごうてきべきしゅうため

一些重要的基本集合包括そらしゅうただいちぼつ有元ありもと素的すてき集合しゅうごう),整數せいすう集合しゅうごう實數じっすう集合しゅうごう。其他ゆうせき初等しょとう集合しゅうごうろんてき基本きほんかい紹,請參考さんこう集合しゅうごう

集合しゅうごうてき本體ほんたいろん

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冯·诺伊曼層ちゅうてき一部いちぶ

わか一個集合的所有元素都是集合,所有しょゆう元素げんそてき元素げんそ集合しゅうごう……,此集合しゅうごうたたえためじゅん集合しゅうごうえいpure setれい如只包括ほうかつそら集合しゅうごうてき集合しゅうごういちそらてきじゅん集合しゅうごうざい當代とうだいてき集合しゅうごうろんちゅう常常つねづね嚴格げんかくげんせいただ考慮こうりょじゅん集合しゅうごうてき馮·だく曼全しゅう許多きょた公理こうり集合しゅうごうろんてき系統けいとう也是ためりょうじゅん集合しゅうごうてき公理こうり。這様てききりせいゆう許多きょた技術ぎじゅつじょうてきゆうてんいんため基本きほんじょう所有しょゆうてき數學すうがく概念がいねん以用じゅん集合しゅうごうらい表示ひょうじ上述じょうじゅつてききりせい影響えいきょう相關そうかんてき應用おうよう。馮·だく曼全集中しゅうちゅうてき集合しゅうごう以以累積るいせきそう(cumulative hierarchy)てき方式ほうしき整理せいり,也就かいもと素的すてき深度しんど元素げんそてき元素げんそてき深度しんど……らい分類ぶんるいそうちゅうてきごといち集合しゅうごう都會とかいちょうきり递归てき方式ほうしき指定していいちじょすうしょうため集合しゅうごうてきかいじゅん集合しゅうごうXてきかい定義ていぎため集合しゅうごう所有しょゆう元素げんそてきかいてききさき继序すうてき最小さいしょううえかいれい如空しゅうてきかい定義ていぎため0,ただ包括ほうかつそらしゅうてき集合しゅうごう定義ていぎため1,はりたいごといちじょすう集合しゅうごう定義ていぎ包含ほうがんりょう所有しょゆう階數かいすうしょうてきじゅん集合しゅうごうせい馮·だく全集ぜんしゅうようらい表示ひょうじ

公理こうり集合しゅうごうろん

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基礎きそ集合しゅうごうろん以用正式せいしきてき直覺ちょっかくてき方式ほうしき學習がくしゅうざい小學しょうがくちゅう就可以用ぶん說明せつめい基礎きそ集合しゅうごうろん直觀ちょっかん假設かせつ集合しゅうごう就是一群符合任意特定條件的物件的組合,ただし假設かせつかい造成ぞうせいもとろんさい簡單かんたん及著めいてきもともとろんぬのひしげ-ぶくなんじ蒂悖ろん公理こうり集合しゅうごうろん的形まとがた成就じょうじゅためりょう避免這些集合しゅうごうろんてきもとろん

許多きょた數學すうがく研究けんきゅうてき公理こうり集合しゅうごうろん系統けいとう假設かせつ所有しょゆうてき集合しゅうごう形成けいせいるい计层。這類てき系統けいとう可分かぶんためるい

以修あらため上述じょうじゅつ系統けいとう允許いんきょ基本きほん元素げんそ(urelement)てき存在そんざい基本きほん元素げんそ集合しゅうごういん本身ほんみ也沒ゆう成員せいいんただし基本きほん元素げんそ以是其他集合しゅうごうちゅうてき成員せいいん

しんもと集合しゅうごうてき系統けいとうNFU(允許いんきょ基本きほん元素げんそ)及NF(允許いんきょ基本きほん元素げんそ以累计层ため基礎きそ,NFUNFゆういち包括ほうかつ所有しょゆう物件ぶっけんてき集合しゅうごう」,此外,まい集合しゅうごうゆう其補しゅう。這裡基本きほん元素げんそ存在そんざいあずかいやこれせきかぎ問題もんだいいんためNFきゅうりょう選擇せんたく公理こうりてき反例はんれい,而NFUそくかいしん基礎きそ集合しゅうごうろんせい集合しゅうごうろんやめ提出ていしゅつてきがえだいてき集合しゅうごうろんこれちゅうてき一部いちぶ份。

けん構式集合しゅうごうろんえいconstructive set theoryてき系統けいとうぞうCST(けん構式集合しゅうごうろん)、CZF(けん構式さくうめらく-どるらんかつなんじ集合しゅうごうろん)及IZF(直覺ちょっかくしきさくうめらく-どるらんかつなんじ集合しゅうごうろんとうはた集合しゅうごう公理こうりちょく觉主义逻辑らい表示ひょうじ,而不使用しよういちかい邏輯。其他てき一些系統接受標準的一階邏輯,ただし允許いんきょ標準ひょうじゅんてき隸屬れいぞく關係かんけい包括ほうかつ集合しゅうごう模糊もこしゅう,其中表示ひょうじ隸屬れいぞく關係かんけいてき原子げんし公式こうしきかず值不ただ單純たんじゅんてきしんあるかり」。ZFCちゅうてきぬのりん值模がた也是類似るいじてき概念がいねん

集合しゅうごうろんえいInternal set theoryZFC集合しゅうごうろんてき擴張かくちょう允許いんきょ無窮むきゅう小量しょうりょうかず其他「標準ひょうじゅんてき數字すうじ存在そんざいゆかり爱德华·あま尔森えいEdward Nelsonざい1977ねん提出ていしゅつ

應用おうよう

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許多きょた數學すうがく概念がいねん以只よう集合しゅうごうろんてき概念がいねんじゅんかく定義ていぎれい如像ながれがたたまきむかいりょうそらとう數學すうがく結構けっこう以用滿足まんぞく特定とくてい公理こうり性質せいしつてき集合しゅうごうらい定義ていぎざい數學すうがく領域りょういきちゅうとう价关けいじょ关系しょ不在ふざい,而數がく关系てき理論りろん也可以用集合しゅうごうろんらい描述。

たい許多きょた數學すうがく理論りろん而言,集合しゅうごうろん也是很有發展はってんせいてき基礎きそ系統けいとうしたがえ集合しゅうごうろんかんざい數學すうがく原理げんりてきだいいちかんおこり許多きょた數學すうがくごえしょう大部たいぶ份甚いたり全部ぜんぶてき數學すうがく定理ていり以用恰當設計せっけいてき一些集合論公理來證明,其中可能かのうかい配合はいごう許多きょた定義ていぎてききょう可能かのう使用しよういちかい邏輯あるかい邏輯れい如有せき自然しぜんすうある實數じっすうてき性質せいしつ就可以用集合しゅうごうろんらい推導,まい個數こすうけいとうどうためぼうゆかり等價とうかるい組成そせいてき集合しゅうごうしたがえざいぼう無限むげんしゅううえてきとう价关けい所得しょとく)。

集合しゅうごうろんざい數學すうがく分析ぶんせきひらけなぐがく抽象ちゅうしょう代数だいすう離散りさん數學すうがくなかてき基礎きそ地位ちい比較ひかくぼつゆう爭議そうぎ數學すうがく接受せつじゅ這些領域りょういきちゅうてき定理ていりある比較ひかく基礎きそてき定理ていり以由集合しゅうごうろんちゅうてき公理こうり適當てきとうてき定義ていぎ推導出來できよしためよう集合しゅうごうろん證明しょうめい複雜ふくざつ理論りろんてき推導過程かてい一般的推導過程長很多,ただゆう少量しょうりょう這種てき證明しょうめい正式せいしきけんしょういちたたえためMetamathてきけんしょうけい劃,以ZFC集合しゅうごう论為起點きてん使用しよういちかい邏輯らい進行しんこう證明しょうめい包括ほうかつりょう超過ちょうかいちまん定理ていり證明しょうめいてき推導。

研究けんきゅう領域りょういき

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集合しゅうごうろん數學すうがくてき主要しゅよう研究けんきゅう領域りょういきいち,其中也有やゆう許多きょた其他領域りょういき相關そうかんてき領域りょういき

組合くみあい集合しゅうごうろん

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組合くみあい集合しゅうごうろん也稱ため無限むげん組合くみあい數學すうがくえいInfinitary combinatoricsはた有限ゆうげんてき組合くみあい數學すうがく延伸えんしんいた無限むげんしゅうなか組合くみあい集合しゅうごうろん包括ほうかつ基數きすう算術さんじゅつてき研究けんきゅう,以及ひしげ姆齐定理ていりてき擴展,れいもぐさ狄胥–ひしげ定理ていりえいErdős–Rado theorem

描述集合しゅうごうろん

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描述集合しゅうごうろんせき實直じっちょくせんあるなみらん空間くうかんうえしゅうてき研究けんきゅう。描述集合しゅうごうろんしたがえたいなみ莱尔层次えいBorel hierarchyなかてんしゅう研究けんきゅう開始かいし後來こうらい延伸えんしんいたさら複雜ふくざつてきそうぞう射影しゃえい层次えいprojective hierarchyきち层次えいWadge hierarchyなみ莱尔しゅうなかてき許多きょた性質せいしつ建立こんりゅうざい包括ほうかつ選擇せんたく公理こうりてきさくうめらく-どるらんかつなんじ集合しゅうごうろんじょうただしよう證明しょうめいさら複雜ふくざつてき集合しゅうごう符合ふごう這些性質せいしつてきばなし,就需ようゆう其他決定けってい公理こうりだい基数きすうゆうせきてき公理こうり

有效ゆうこう描述集合しゅうごうろんえいeffective descriptive set theoryかい集合しゅうごうろん递归论これあいだ包括ほうかつたいあさからだてんしゅうえいlightface pointclassてき研究けんきゅうちょう算術さんじゅつ理論りろんえいhyperarithmetical theory緊密きんみつ相關そうかんもと多情たじょうがた,描述集合しゅうごうろんてき結果けっか也可以用有效ゆうこう描述集合しゅうごうろんらい表示ひょうじゆうかいさき利用りよう有效ゆうこう描述集合しゅうごうろんらい證明しょうめいさいしょう延伸えんしん相對そうたい),使つかい應用おうよう範圍はんいさらひろ

描述集合しゅうごうろんてき當代とうだい研究けんきゅう包括ほうかつなみ萊爾等價とうか關係かんけいえいBorel equivalence relation及一些更複雜的可定義等價とうか關係かんけい。描述集合しゅうごうろんざい許多きょた數學すうがく領域りょういきてき變量へんりょう研究けんきゅう重要じゅうよう

だい基數きすう

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だい基數きすう具有ぐゆう特殊とくしゅ性質せいしつてき基數きすう許多きょた不同ふどうてき性質せいしつ也有やゆう研究けんきゅうれい不可ふかたち基數きすうはか基數きすう。此類性質せいしつ通常つうじょう推出該基すう必定ひつじょう非常ひじょうだい,且其存在そんざいせい不能ふのうざいさくうめらく-どるらんかつなんじ集合しゅうごうろん證明しょうめい

模糊もこしゅう

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ざいかんたく定義ていぎてきしらき集合しゅうごう論及ろんきゅう後來こうらい發展はってんてきZFC集合しゅうごうろんちゅう,一個物件和一個集合的關係只有二種:成員せいいんあるもの成員せいいん菲特·さわいさおざい模糊もこしゅうちゅうひろし上述じょうじゅつてききりせい物件ぶっけんゆうたい集合しゅうごうてき歸屬きぞく(degree of membership),いちかい於0いた1これあいだてき數字すうじれい如有せきいち個人こじんたい於「ざい高大こうだいてきじん集合しゅうごうてき歸屬きぞく簡單かんたんてきある,而是いちすう值,れい如0.75。

ちからせり

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·寇恩てき一些工作是尋找一個ZFCてき模型もけい使つかいとく選擇せんたく公理こうりある连续统假设失效しっこうざい過程かていちゅう發明はつめいりょうちからせりちからはさまほういちしゅ擴張かくちょう模型もけいてき方法ほうほうざい集合しゅうごうろんてきぼう模型もけいちゅう加入かにゅういち些額外的がいてき集合しゅうごうらいさんせいいち較大てき模型もけい,這樣てき模型もけいかい具有ぐゆうあずかてき性質せいしつ依賴いらい具體ぐたい構造こうぞう方式ほうしきげん模型もけい)。れい如,ざい罗·寇恩てき構造こうぞうちゅうきゅうげん模型もけい附加ふかりょうがく外的がいてき自然しぜんすうしゅう,而沒ゆう更改こうかいげん模型もけいてきにんなに基數きすうちからはさま也是利用りようゆうきゅう方法ほうほう(finitistic method)證明しょうめい相對そうたい一致いっちせいてきしゅ方法ほうほうちゅうてきいちしゅ,另いち方法ほうほうぬの尔值模型もけい

たい集合しゅうごうろんてき異議いぎ

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いち開始かいしゆう些數がく反對はんたいえいControversy over Cantor's theoryはた集合しゅうごうろんとう數學すうがく基礎きそみとめため這只一場いちじょう含有がんゆうまぼろし元素げんそてき遊戲ゆうぎたい集合しゅうごうろんさい常見つねみてき反對はんたい意見いけんらい數學すうがく結構けっこう主義しゅぎしゃぞうおくとく·かつ罗内かつ),們認ため數學すうがく多少たしょう都和つわ計算けいさんゆう關係かんけいてきただししらき集合しゅうごうろん加入かにゅうりょう計算けいさんせいてき元素げんそ

ほこりさととく·おさむひろしえいErrett Bishop駁斥集合しゅうごうろん上帝じょうていてき數學すうがくおう該留きゅう上帝じょうてい」。而且,みちとく維希·維根斯坦特別とくべつたい無限むげんてき操作そうさゆう疑問ぎもん,這也さくうめ-どるらんかつなんじ集合しゅうごうろんゆうせき。維根斯坦たい於數がく基礎きそてき觀點かんてん曾被·かい奈斯えいPaul Bernaysところ批評ひひょう,且被かつさと斯平·よりゆきとくえいCrispin Wrightとうひとみつきり研究けんきゅう[4]

ひらけなぐ理論りろん曾被みとめため傳統でんとう公理こうり集合しゅうごうろんてきいちしゅ選擇せんたくつぶせしらき斯理ろん以被ようらい解釋かいしゃく集合しゅうごうろんてき各種かくしゅがえだい方案ほうあん,如數學すうがく結構けっこう主義しゅぎ模糊もこ集合しゅうごうろん有限ゆうげん集合しゅうごうろん計算けいさん集合しゅうごうろんとう[5]

相關そうかん條目じょうもく

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參考さんこう資料しりょう

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  1. ^ Milinowski, A.; Cantor, G. Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen.. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1874, 77: 258–262 [2013-05-17]. (原始げんし内容ないようそん于2012-06-04) とく语). 
  2. ^ Johnson, Philip, A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, 1972, ISBN 0-87150-154-6 
  3. ^ Bolzano, Bernard, Berg, Jan , 编, Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., Vol. II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag: 152, 1975, ISBN 3-7728-0466-7 
  4. ^ Francis, John. Philosophy Of Mathematics. Global Vision Publishing House. 2008-08: 86. ISBN 978-81-8220-267-2 えい语). 
  5. ^ Ferro, Alfredo; Omodeo, Eugenio G.; Schwartz, Jacob T. Decision procedures for elementary sublanguages of set theory. I. Multi-level syllogistic and some extensions. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1980-09, 33 (5): 599–608 [2022-03-23]. doi:10.1002/cpa.3160330503. (原始げんし内容ないようそん于2022-01-18) えい语). 

がくがい閱讀

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  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory 1nd, Academic Press, 1977, ISBN 978-0122384400 えい语) ,集合しゅうごうろん入門にゅうもんしょ

外部がいぶ連結れんけつ

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