有ゆう序じょ对

在ざい数学すうがく中なか，有ゆう序じょ对是ぜ两个对象的てき搜さがせ集しゅう，使つかい得とく可か以区分くぶん出で其中一いち个是“第だい一いち个元素げんそ”而另一いち个是“第だい二に个元素げんそ”（第だい一个元素和第二个元素也叫做左ひだり投影とうえい和わ右みぎ投影とうえい）。带有第だい一いち个元素げんそa和わ第だい二に个元素げんそb的てき有ゆう序じょ对通常つうじょう写うつし为(a, b)。

符号ふごう(a, b)也表示ひょうじ在ざい实数轴上うえ的てき开区间；在ざい有ゆう歧义的てき场合可か使用しよう符号ふごう $\langle a,b\rangle$ 。

一般いっぱん性せい

设(a₁, b₁)和かず(a₂, b₂)是ぜ两个有ゆう序じょ对。则有序じょ对的特とく征せい或ある定てい义性质为：

(a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})\leftrightarrow (a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2})

有ゆう序じょ对可以有其他有ゆう序じょ对作为投影とうえい。所以ゆえん有ゆう序じょ对使得能とくのう够递归定义有序じょn-元もと组（n项的列れつ表ひょう）。例れい如，有ゆう序じょ三さん元げん组 (a,b,c)可か以定义为(a, (b,c))，一个对嵌入了另一个对。这种方法ほうほう也反映はんえい在ざい计算机つくえ编程语言中ちゅう，就是从嵌套的有ゆう序じょ对构造づくり元素げんそ的てき列れつ表ひょう。例れい如，列れつ表ひょう (1 2 3 4 5)变成了りょう(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用しよう这种列れつ表作おもてさく为基本数ほんすう据すえ结构。

有ゆう序じょ对的概念がいねん对于定てい义笛ふえ卡尔积和わ关系是ぜ至いたり关重要じゅうよう的てき。

有ゆう序じょ对的集合しゅうごう论定义

诺伯特とく·维纳在ざい1914年ねん提ひさげ议了有ゆう序じょ对的第だい一个集合论定义：

(x,y)\equiv _{def}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}

他た注意ちゅうい到いた这个定てい义将允まこと许《数学すうがく原理げんり》中ちゅう所有しょゆう类型只ただ透過とうか集合しゅうごう便びん能のう表ひょう达。（在ざい《数学すうがく原理げんり》中ちゅう，所有しょゆう元もと数かず的てき关系都みやこ是ただし原始げんし概念がいねん。）

标准Kuratowski定てい义

在ざい公理こうり化か集合しゅうごう论中なか，有ゆう序じょ对(a,b)通常つうじょう定てい义为库拉托たく夫おっと斯基对：

(a,b)_{K}\equiv _{def}\{\{a\},\{a,b\}\}

陈述“x是ぜ有ゆう序じょ对p的てき第だい一いち个元素げんそ”可か以公式こうしき化か为

\forall \ Y\in p:x\in Y

而陳述ちんじゅつ“x是これp的てき第だい二に个元素げんそ”为

(\exists \ Y\in p:x\in Y)\land (\forall \ Y_{1}\in p,\forall \ Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))

注意ちゅうい这个定てい义对于有序じょ对p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效ゆうこう的てき；在ざい这种情じょう况下陈述(∀ Y₁ ∈ p, ∀ Y₂ ∈ p : Y₁ ≠ Y₂ → (x ∉ Y₁ ∨ x ∉ Y₂))顯然けんぜん是ぜ真しん的てき，因いん为不会かい有ゆうY₁ ≠ Y₂的てき情じょう况。

变体定てい义

上述じょうじゅつ有ゆう序じょ对的定てい义是“充足じゅうそく”的てき，在ざい它满足あし有ゆう序じょ对必须有的てき特とく征せい性せい质（也就是ぜ：如果(a,b)=(x,y)则a=x且b=y）的てき意い义上，但ただし也是任意にんい性せい的てき，因いん为有很多其他定てい义也是ぜ不ふ更さら加か复杂并且也是充足じゅうそく的てき。例れい如下列れつ可能かのう的てき定てい义

(a,b)_reverse:= { {b}, {a,b} }
(a,b)_short:= { a, {a,b} }
(a, b)₀₁:= { {0,a}, {1,b} }

“逆ぎゃく”（reverse）对基本きほん不ふ使用しよう，因いん为它比ひ通用つうよう的てきKuratowski对没有明ありあけ显的优点（或ある缺点けってん）。“短たん”（short）对有一いち個こ缺點けってん，它的特とく征せい性せい质的证明會かい比ひKuratowski对的证明更さら加か复杂（要よう使用しよう正せい规公理こうり）；此外，因いん为在集合しゅうごう论中数すう2有ゆう时定义为集合しゅうごう{ 0, 1 } = { {}, {0} }，这将意味いみ着ぎ2是ぜ对 (0,0)_short。

证明有ゆう序じょ对的特とく征せい性せい质

Kuratowski对：证明：(a,b)_K = (c,d)_K当とう且仅当とうa=c且b=d。

僅當：

如果a=b，则 (a,b)_K = {{a}, {a,a}} = { {a} }，且 (c,d)_K = {{c},{c,d}} = { {a} }。所以ゆえん{c} = {a} = {c,d}，或あるc=d=a=b。

如果a≠b，则{{a}, {a,b}} = {{c},{c,d}}。

如果{c,d} = {a}，则c=d=a或ある{{c},{c,d}} = {{a}, {a,a}} = {{a}, {a}} = { {a} }。但ただし這樣{{a}, {a, b}}就會等とう於{{a}}，繼つぎ而b = a，跟先前まえ的てき假設かせつ矛盾むじゅん。

如果{c} = {a,b}，则a=b=c，这矛盾むじゅん于a≠b。所以ゆえん{c} = {a}，即そくc=a，且{c,d} = {a,b}。

并且如果d=a，则{c,d} = {a,a} = {a}≠{a,b}。所以ゆえんd=b。

所以ゆえん同樣どうよう有ゆうa=c且b=d。

當とう：

反はん过来，如果a=c并且b=d，则顯然けんぜん{{a},{a,b}} = {{c},{c,d}}。所以ゆえん (a,b)_K = (c,d)_K。

逆ぎゃく对： (a,b)_reverse = {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)_K。

如果 (a,b)_reverse = (c,d)_reverse，则 (b,a)_K = (d,c)_K。所以ゆえんb=d且a=c。

反はん过来，如果a=c和わb=d，则顯然けんぜん{{b},{a,b}} = {{d},{c,d}}。所以ゆえん (a,b)_reverse = (c,d)_reverse。

Quine-Rosser定てい义

Rosser（1953年ねん）^[1]扩展了りょう蒯因的てき有ゆう序じょ对定义。Quine-Rosser的てき定てい义要求ようきゅう自然しぜん数すう的まと先さき决定义。设 $\mathbb {N}$ 是ぜ自然しぜん数すう的てき集合しゅうごう， $x\setminus \mathbb {N}$ 是これ $\mathbb {N}$ 在ざい $x$ 內的相對そうたい差さ集しゅう，並なみ定義ていぎ：

\varphi (x)=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}

φふぁい(x)包含ほうがん在ざいx中ちゅう所有しょゆう自然しぜん数すう的てき后きさき继，和わx中なか的てき所有しょゆう非ひ数すう成なり员。特とく别是，φふぁい(x)不ふ包含ほうがん数すう0，所以ゆえん对于任にん何なん集合しゅうごうA和わB， $\phi (A)\not =\{0\}\cup \phi (B)$ 。

以下いか是ぜ有ゆう序じょ对 (A,B)的てき定てい义：

(A,B)=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.

提ひっさげ取ど这个对中那な些不包含ほうがん0的てき所有しょゆう元素げんそ，然しか後ご再さい還かえ原はら $\varphi$ 的てき作用さよう，就得出で了りょうA。类似的てき，B可か以通过提取と这个对的包含ほうがん0的てき所有しょゆう元素げんそ来らい復原ふくげん。

有ゆう序じょ对的这个定てい义有个显著ちょ的てき优点。在ざい类型论和かず从类型がた论派生出おいで的てき集合しゅうごう论如新しん基もと础中なか，这个对与它的投影とうえい有ゆう相しょう同どう的てき类型（所以ゆえん术语叫さけべ做“类型齐平”有ゆう序じょ对）。因よし此一いち個こ函数かんすう（定てい义为有ゆう序じょ对的集合しゅうごう），有ゆう只ただ比ひ序じょ對たい的てき投影とうえい的てき类型高だか1的てき类型。对蒯因いん集合しゅうごう论中有ちゅうう序じょ对的广泛的てき讨论请参见Holmes (1998)。^[2]

Morse定てい义

Morse（1965年ねん）^[3]提出ていしゅつ的てきMorse-Kelley集合しゅうごう论可か以自由じゆう的てき使用しよう真ま类。Morse定てい义有序じょ对的方法ほうほう，使つかい得とく它的投影とうえい可か以是真ま类或者しゃ集合しゅうごう。（Kuratowski定てい义不允まこと许这样）。它首先さき像ぞうKuratowski的てき方式ほうしき那な樣さま，定てい义投影とうえい为集合しゅうごう的てき有ゆう序じょ对。接着せっちゃく，他た重定しげさだ义对 (x,y)为

(x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))

这里的てき笛ふえ卡尔积是指ゆび由よしKuratowski对組成そせい的てき集合しゅうごう並なみ且

s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}|t\in x\}

這便允許いんきょ了りょう定義ていぎ以真類るい為ため投影とうえい的てき有ゆう序じょ對たい。

参考さんこう文献ぶんけん

^ J. Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.
^ Holmes, Randall (1998) Elementary Set Theory with a Universal Set （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.
^ Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press

参まいり见

[1] J. Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.

[2] Holmes, Randall (1998) Elementary Set Theory with a Universal Set （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.

[3] Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press

[1]

[2]

[3]

各種かくしゅ函數かんすう
$x \mapsto f (x)$
不同ふどう定義ていぎ域いき和わ陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英えい语：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英えい语：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英えい语：function of several real variables） $X$ $X$ →（英えい语：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英えい语：Function of several complex variables） $X$
函數かんすう類るい/性質せいしつ
常つね值恆等こうとう線せん性せい多項式たこうしき有理ゆうり代數だいすう解析かいせき光ひかり滑すべり連續れんぞく可か測はか單たん射い满射双そう射い
構造こうぞう
限きり制せい複ふく合あい λらむだ逆ぎゃく
推廣
偏へん（英えい语：Partial function）多た值隱かくれ
查论编