複ふく分析ぶんせき

複ふく分析ぶんせき（英語えいご：Complex analysis）是ぜ研究けんきゅう複ふく變へん的てき函數かんすう，特別とくべつ是ぜ亞あ純じゅん函數かんすう和かず複ふく變へん解析かいせき函數かんすう的てき數學すうがく理論りろん。

研究けんきゅう中ちゅう常用じょうよう的てき理り论、公式こうしき以及方法ほうほう包括ほうかつ柯西积分定理ていり、柯西积分公式こうしき、留とめ数すう定理ていり、洛らく朗ろう级数展てん开等。複ふく變へん分析ぶんせき的てき应用领域较为广泛，在ざい其它数学すうがく分ぶん支ささえ和わ物理ぶつり学がく中也ちゅうや起おこり着ぎ重要じゅうよう的てき作用さよう。包括ほうかつ数かず论、应用数学すうがく、流体りゅうたい力学りきがく、热力学がく和わ电动力学りきがく。

复变函数かんすう

曼德博はく集合しゅうごう，分ぶん形かたち

複ふく变函数すう，是ぜ自じ变量和わ因いん变量皆みな为複数すう的てき函数かんすう。更さら确切的てき说，複ふく變へん函数かんすう的てき值域与あずか定てい义域都と是ぜ複數ふくすう平面へいめん的てき子こ集しゅう。在ざい複ふく變へん分析ぶんせき中ちゅう，自じ变量又また称しょう为函数すう的てき“宗むね量りょう”。

对于複ふく變へん函数かんすう，自じ变量和わ应变量りょう可分かぶん成なり实部和わ虚きょ部ぶ:

$z=x+iy\,$

$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,$

其中$x,y\in \mathbb {R} \,$和わ$u(x,y),v(x,y)\,$是ぜ实數函数かんすう。

用よう另一いち句く话说，就是函数かんすう$f(z)$的てき成分せいぶん,

$u=u(x,y)\,$

$v=v(x,y),\,$

可か以理解りかい成なり变量$x$和わ$y$的てき二に元げん实函数すう。

全ぜん纯函数すう

主しゅ条目じょうもく：全ぜん纯函数すう

参まいり见：解析かいせき函数かんすう

全ぜん纯函数すう（holomorphic function）是ぜ定てい义在複數ふくすう平面へいめん$\mathbb {C}$的てき开子集しゅう上じょう的てき，在ざい複數ふくすう平面へいめん$\mathbb {C}$中ちゅう取と值的，在ざい每ごと点てん上じょう皆みな可か微ほろ的てき函数かんすう。

复变函数かんすう为全纯函数すう的てき充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん是ぜ复变函数かんすう的てき实部和わ虚きょ部ぶ同どう时满足あし柯西-黎はじむ曼方程ほど：

${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}$

和わ

${\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.$

通つう过上面めん的てき这个方かた程ほど组也可か以由全ぜん纯函数すう的てき实部或ある者もの虚きょ部ぶ之の一来求解另一个。

柯西积分定理ていり

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柯西积分定理ていり指出さしで，如果全ぜん纯函数すう的てき封ふう閉积分ぶん路ろ径みち没ぼつ有ゆう包括ほうかつ奇き点てん，那な么其积分值为0；如果包含ほうがん奇き点てん，则外部ぶ闭合路ろ径みち正せい向むかい积分的てき值等于包围这个奇点てん的てき内ない环上闭合路ろ径みち的てき正ただし向こう积分值。

柯西积分公式こうしき

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假かり设$U$是これ複數ふくすう平面へいめん$\mathbb {C}$的てき一いち个开子集しゅう，$f:U\rightarrow \mathbb {C}$是ぜ一个在闭圆盘$D$上うえ複ふく可か微ほろ的まと方かた程ほど，
并且闭圆盘$D=\left\{z:\left\vert z-z_{0}\right\vert \leq r\right\}$是これ$U$的てき子こ集しゅう。 设$C$为$D$的てき边界。则可以推得とく每ごと个在$D$内部ないぶ的まと点てん$a$：

$f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz$

其中的てき积分为逆时针方向ほうこう沿着$C$的てき积分。

亚纯函数かんすう

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在ざい複ふく變へん分析ぶんせき中ちゅう，一个複數平面的开子集$D$上うえ的てき亚纯函数かんすう是ぜ一いち个在$D$上除かみのぞき一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那な些孤立こりつ点てん称しょう为该函数かんすう的てき极点。

复变函数かんすう的てき级数展てん开

参まいり见：幂级数すう

複ふく函數かんすう的てき可か微ほろ性せい有ゆう比ひ實じつ函數かんすう的てき可か微ほろ性せい更さら強的ごうてき性質せいしつ。例れい如：每まい一個正則函數在其定義域中的每個開圓盤都可以冪べき級數きゅうすう來らい表示ひょうじ：

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+a_{3}(z-z_{0})^{3}+\cdots$。

特別とくべつ地ち，全ぜん纯函數すう都と是ぜ無限むげん次じ可か微ほろ的てき，性質せいしつ對たい實可みか微ほろ函數かんすう而言普遍ふへん不成立ふせいりつ。大だい部分ぶぶん初等しょとう函數かんすう（多項式たこうしき、指數しすう函數かんすう、三角さんかく函數かんすう）都みやこ是ただし全ぜん纯函數すう。常用じょうよう的てき方法ほうほう有ゆう泰たい勒级数すう展てん开等。

洛らく朗ろう级数

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复变函数かんすう$f(z)$的てき洛らく朗ろう级数，是ぜ幂级数すう的てき一いち种，它不仅包含ほうがん了りょう正数せいすう次数じすう的てき项，也包含ほうがん了りょう负数次数じすう的てき项。有ゆう时无法ほう把わ函数かんすう表示ひょうじ为泰たい勒级数すう，但ただし可か以表示ひょうじ为洛朗ろう级数。

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

奇き点てん的てき情じょう况

主しゅ条目じょうもく：孤立こりつ奇き点てん

对于复变函数かんすう的てき孤立こりつ奇き点てん，有ゆう如下三さん类。

本ほん质奇点てん

主しゅ条目じょうもく：本ほん质奇点てん

复变函数かんすう在ざい某ぼう孤立こりつ奇き点てん邻域的てき洛らく朗ろう级数展てん开，如果存在そんざい无穷个负幂项，那な么这个点称しょう为“本ほん质奇点てん”。

对复平面へいめん$C$上うえ的てき给定的てき开子集しゅう$U$，以及$U$中なか的てき一いち点てん$a$，亚纯函数かんすう$f:U\setminus \left\{a\right\}\rightarrow C$在ざい$a$处有本ほん质奇点てん当とう且仅当とう它不是ぜ极点也不是ぜ可か去さ奇き点てん。

极点

主しゅ条目じょうもく：极点 (代数だいすう)

复变函数かんすう在ざい某ぼう孤立こりつ奇き点てん邻域的てき洛らく朗ろう级数展てん开，如果存在そんざい有限ゆうげん个负幂项，那な么这个点称しょう为“极点”。

亚纯函数かんすう的てき极点是ぜ一いち种特殊こと的てき奇き点てん，它的表ひょう现如同どう$z-a=0$时${\frac {1}{\left(z-a\right)^{n}}}$的てき奇き点てん。这就是ぜ说，如果当とう$z$趋于$a$时，函数かんすう$f(z)$趋于无穷大だい，那な么$f(z)$在ざい$z=a$处便具有ぐゆう极点。

可か去さ奇き点てん

主しゅ条目じょうもく：可か去さ奇き点てん

复变函数かんすう在ざい某ぼう孤立こりつ奇き点てん邻域的てき洛らく朗ろう级数展てん开，如果没ぼつ有ゆう负幂项，那な么这个点称しょう为“可か去さ奇き点てん”。

如果$U$是ぜ复平面めん$C$的てき一いち个开集しゅう，$a$是これ$U$中ちゅう一いち点てん，$f:U-\left\{a\right\}\rightarrow C$是ぜ一いち个全纯函数すう，如果存在そんざい一いち个在$U-\left\{a\right\}$与あずか$f$相等そうとう的てき全ぜん纯函数すう$g:U\rightarrow C$，则$a$称しょう为$f$的てき一いち个可か去さ奇き点てん。如果这样的てき$g$存在そんざい，我わが们说$f$在ざい$a$是ぜ可か全ぜん纯延拓つぶせ的てき。

留とめ数すう

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定てい义

在ざい复分析ぶんせき中ちゅう，留とめ数すう是ぜ一いち个复数すう，描述亚纯函数かんすう在ざい奇き点てん周しゅう围的路ろ径みち积分的てき表ひょう现。

亚纯函数かんすう$f$在ざい孤立こりつ奇き点てん$a$的てき留とめ数すう，通常つうじょう记为$Res(f,a)$，是ぜ使し

$f(z)-{R \over (z-a)}$

在ざい圆盘$0<|z-a|<\delta$内うち具有ぐゆう解析かいせき原はら函数かんすう的てき唯ただ一いち值$R$

留とめ数すう定理ていり

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在ざい复分析ぶんせき中なか，留とめ数すう定理ていり是ぜ用よう来らい计算解析かいせき函数かんすう沿着闭曲线的路みち径みち积分的てき一いち个有力りょく的てき工具こうぐ，也可以用来らい计算实函数すう的てき积分。它是柯西积分定理ていり和わ柯西积分公式こうしき的てき推广。

假かり设U是これ复平面めん上うえ的てき一いち个单连通どおり开子集しゅう，a₁、……、a_n是ぜ复平面めん上じょう有限ゆうげん个点，f是ぜ定てい义在U \ {a₁、……、a_n}的てき全ぜん纯函数すう。如果γがんま是ぜ一いち条じょう把わa₁、……、a_n包つつみ围起来らい的てき可か求もとめ长曲线，但ただし不ふ经过任にん何なん一いち个a_k，并且其起点てん与あずか终点重合じゅうごう，那な么：

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$

一些难于计算的实函数的积分可以通过转化为复变函数，然しか后きさき利用りよう留とめ数すう定理ていり来らい进行计算。

参考さんこう书目

• （美よし）布ぬの朗ろう 等とう. 复变函数かんすう及应用よう. 机つくえ械工业出版しゅっぱん社しゃ. 2005. ISBN 978-7-11-115830-1.