曼德博はく集合しゅうごう

如果c点てん属ぞく于曼德とく博はく集合しゅうごうM则为黑色こくしょく，反たん之の为白色しょく

曼德博はく集合しゅうごう（英語えいご：Mandelbrot set，或ある译為曼德布ぬの洛らく特とく复数集合しゅうごう）是ぜ一いち种在复平面めん上うえ组成分ぶん形かたち的まと点てん的てき集合しゅうごう，以數學がく家か本ほん華はな·曼德博はく的てき名字みょうじ命名めいめい。曼德博はく集合しゅうごう與あずか朱しゅ利とし亚集合しゅうごう有ゆう些相似そうじ的てき地方ちほう，例れい如使用しよう相しょう同どう的てき复二次多项式來进行迭代。

定てい义

曼德博はく集合しゅうごう可か以用複ふく二次多项式来定义：

$f_{c}(z)=z^{2}+c\,$

其中 $c$ 是ぜ一いち个复数すう參さん数すう。

从 $z=0$ 开始对 $f_{c}(z)$ 进行迭代：

$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,n=0,1,2,...$

$z_{0}=0\,$

$z_{1}=z_{0}^{2}+c=c\,$

$z_{2}=z_{1}^{2}+c=c^{2}+c\,$

每次まいじ迭代的てき值依序じょ如以下いか序列じょれつ所ところ示しめせ：

$(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )$

不同ふどう的てき参さん数すう $c$ 可能かのう使し序列じょれつ的てき绝对值逐漸發散はっさん到いた无限大だい，也可能かのう收斂しゅうれん在ざい有限ゆうげん的てき區域くいき内ない。

曼德博はく集合しゅうごう $M$ 就是使し序列じょれつ不ふ延伸えんしん至いたり无限大だい的てき所有しょゆう复数 $c$ 的てき集合しゅうごう。

特性とくせい

• 自じ相似そうじ
• 面めん积为1.5065918561

相關そうかん的てき定理ていり

定理ていり一いち

若わか $|c|\leq {\frac {1}{4}}$，則のり $c\in {M}$

證明しょうめい：

假設かせつ $|c|\leq {\frac {1}{4}}$ 為真ためざに

則のり$|z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}$

第一步だいいっぽ：

當とう $n=2\,$ 時とき

$|z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\leq |c^{2}|+|c|=|c|^{2}+|c|$

因よし為ため $|c|\leq {\frac {1}{4}}$

$|c|^{2}+|c|\leq {\frac {1}{16}}+{\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}$

由よし以上いじょう可か得知とくち $|z_{2}|<{\frac {1}{2}}$

第だい二に步ほ：

假設かせつ $|z_{n}|<{\frac {1}{2}}\,$ 成立せいりつ

$|z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\leq |z_{n}|^{2}+|c|<\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}$

由よし上うえ式しき可か得知とくち $|z_{n+1}|<{\frac {1}{2}}$

由よし數學すうがく歸納きのう法ほう可か得知とくち對たい於所有しょゆう的てきn(n=1,2,...)，$|z_{n}|\,$ 皆みな比ひ ${\frac {1}{2}}\,$ 小しょう。

當とうn趨近無限むげん大時おおとき $|z_{n}|\,$ 依然いぜん沒ぼつ有ゆう發散はっさん，所以ゆえん $c\in {M}$，故こ得とく證しょう。

定理ていり二に

若わか $c\in {M}$，則のり $|c|\leq {2}$

證明しょうめい：

假設かせつ $|c|>2\,$

則のり $|z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,$

第一步だいいっぽ：

當とう $n=2\,$ 時とき

$|z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\geq |c^{2}|-|c|=|c|^{2}-|c|$

由ゆかり $|c|>2\,$，左右さゆう同乘どうじょう $|c|\,$ 再さい減げん去さ $|c|\,$ 可か得え到いた下した式しき

$|c|^{2}-|c|>2|c|-|c|=|c|\,$

由よし以上いじょう可か得知とくち $|z_{2}|>|c|\,$

第だい二に步ほ：

假設かせつ $|z_{n}|>|c|\,$ 成立せいりつ，則のり $|z_{n}|>2\,$

$|z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|$

因よし為ため $|z_{n}|>|c|\,$

$|z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,$

由ゆかり $|z_{n}|>2\,$，左右さゆう同乘どうじょう $|z_{n}|\,$ 再さい減げん去さ $|z_{n}|\,$ 可か得え到いた下した式しき

$|z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,$

由よし以上いじょう可か得知とくち $|z_{n+1}|>|z_{n}|\,$

由よし數學すうがく歸納きのう法ほう可か得知とくち $2<|{z_{1}}|<|{z_{2}}|<...<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|\,$，可か看み出で隨ずい著ちょ迭代次數じすう增加ぞうか $|z_{n}|\,$ 逐漸遞增ていぞう並なみ發散はっさん。

假かり如$|z_{n}|\,$不ふ发散，则收敛于某ぼう个常数すう$a>|c|>2$,

由ゆかり$|z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|$ 再さい取と极限得とく $a\geq a^{2}-|c|$ 即そく $a^{2}-a\leq |c|$。

又また $a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|$，矛盾むじゅん，故こ$|z_{n}|\,$发散。

所以ゆえん若わか $|c|>2\,$，則のり $c\notin {M}$，故こ得とく證しょう。

定理ていり三さん

若わか $c\in {M}$，則のり $|z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)$

證明しょうめい：

要よう證明しょうめい若わか $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$，則のり $c\notin {M}$

首くび先さき分別ふんべつ探さがせ討 $|c|>2\,$ 與あずか $|c|\leq 2$ 兩りょう種たね情じょう形がた

由よし定理ていり二に可知かち道みち $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$ 且 $|c|>2\,$ 時とき， $c\notin {M}$。

接せっ著ちょ要よう證明しょうめい $|c|\leq 2$ 時どき的てき情況じょうきょう：

假設かせつ $|z_{n}|>2\,$，因よし為ため $|c|\leq 2$ ，所以ゆえん $|z_{n}|>|c|\,$ ，而

$|z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|$

因よし為ため $|z_{n}|>|c|\,$

$|z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,$

由ゆかり $|z_{n}|>2\,$，左右さゆう同乘どうじょう $|z_{n}|\,$ 再さい減げん去さ $|z_{n}|\,$ 可か得え到いた下した式しき

$|z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,$

由よし以上いじょう可か得知とくち $|z_{n+1}|>|z_{n}|\,$

由よし數學すうがく歸納きのう法ほう可か得知とくち $2<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|<...\,$，可か看み出で隨ずい著ちょ迭代次數じすう增加ぞうか $|z_{n}|\,$ 逐漸遞增ていぞう並なみ發散はっさん。

所以ゆえん在ざい $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$ 且 $|c|\leq 2$ 的てき情況じょうきょう下か也是 $c\notin {M}$。

綜合そうごう上述じょうじゅつ可か得知とくち不ふ論ろん $|c|\,$為ため多少たしょう

若わか $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$，則のり $c\notin {M}$，故こ得とく證しょう。

利用りよう定理ていり三可以在程式計算時快速地判斷 $|z_{n}|\,$是ぜ否ひ會かい發散はっさん。

计算的てき方法ほうほう

曼德博はく集合しゅうごう一般いっぱん用よう计算机つくえ程ほど序じょ计算。对于大だい多数たすう的てき分ぶん形がた软件，例れい如Ultra fractal，内部ないぶ已やめ经有了りょう比ひ较成熟せいじゅく的てき例れい子こ。下面かめん的てき程ほど序じょ是ぜ一いち段だん伪代码，表おもて达了曼德博はく集合しゅうごう的てき计算思おもえ路ろ。

For Each c in Complex
 repeats = 0
 z = 0
 Do
  z = z^2 + c
  repeats = repeats + 1
 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根ね据すえ定理ていり三さん，EscapeRadius可か设置为2。
 If repeats > MaxRepeats Then
  Draw c,Black                                            '如果迭代次数じすう超ちょう过MaxRepeats，就将c认定为属于曼德とく博はく集合しゅうごう，并设置おけ为黑色しょく。
 Else
  Draw c,color(z,c,repeats)                               'color函数かんすう用よう来らい决定颜色。
 End If
Next

決定けってい顏色かおいろ的てき一いち些方法ほう

1. 直接ちょくせつ利用りよう循环终止时的Repeats
2. 综合利用りようz和わRepeats
3. Orbit Traps

Mathematica代だい码

mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}}, 
   Module[{z = z0, i = 1}, 
    While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
 Reverse@Transpose@
   Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]

各種かくしゅ圖示ずし

動畫どうが

點てん擊げき此圖像ぞう可か觀かん看み動態どうたい影像えいぞう。

最さい原始げんし圖ず片へん	放ひ大だい等級とうきゅう1	放ひ大だい等級とうきゅう2	放ひ大だい等級とうきゅう3	放ひ大だい等級とうきゅう4
放ひ大だい等級とうきゅう5	放ひ大だい等級とうきゅう6	放ひ大だい等級とうきゅう7	放ひ大だい等級とうきゅう8	放ひ大だい等級とうきゅう9
放ひ大だい等級とうきゅう10	放ひ大だい等級とうきゅう11	放ひ大だい等級とうきゅう12	放ひ大だい等級とうきゅう13	放ひ大だい等級とうきゅう14