布ぬの朗ろう运动

  此條目め介かい紹的是ぜ布ぬの朗ろう运动。关于随ずい机つくえ的てき过程，请见「维纳过程」。关于热力学がく的てき角度かくど的てき定てい义，请见「热力学がく温度おんど」。关于内部ないぶ能のう量りょう，请见「能のう量りょう均分きんぶん定理ていり」。关于数学すうがく模型もけい，请见「随ずい机つくえ游ゆう走はし」。

模擬もぎ的てき大だい顆粒かりゅう塵埃じんあい粒子りゅうし碰撞到更さら小しょう的てき粒子りゅうし，而其以不同ふどう的てき速度そくど在ざい不同ふどう方向ほうこう移動いどう的てき布ぬの朗ろう運動うんどう。

粒子りゅうし的てき立體りったい空間くうかん進行しんこう布ぬの朗ろう運動うんどう的てき示しめせ意圖いと。

布ぬの朗ろう运动（英語えいご：Brownian motion）是ぜ微小びしょう粒子りゅうし或ある者もの颗粒在ざい流体りゅうたい中ちゅう做的无规则运动。布ぬの朗ろう运动过程是ぜ一いち种正せい态分布ぶんぷ的てき独立どくりつ增量ぞうりょう连续随ずい机つくえ过程。它是随ずい机つくえ分析ぶんせき中ちゅう基本きほん概念がいねん之の一いち。其基本性ほんしょう质为：布ぬの朗ろう运动W(t)是ぜ期き望もち为0、方かた差さ为t（时间）的てき正せい态随机つくえ变量。对于任意にんい的てきr小しょう于等于s，W(t)-W(s)独立どくりつ于的W(r)，且是期き望もち为0、方かた差さ为t-s的てき正せい态随机つくえ变量。可か以证明あかり布ぬの朗ろう运动是ぜ马尔可か夫おっと过程、鞅过程ほど和わ伊藤いとう过程。

它是在ざい西元にしもと1827年ねん英國えいこく植物しょくぶつ學がく家か罗伯特とく·布ぬの朗ろう利用りよう一般いっぱん的てき顯微鏡けんびきょう觀察かんさつ懸かか浮於水中すいちゅう由ゆかり花粉かふん所ところ迸ほとばし裂きれ出で之の微粒びりゅう時じ，發現はつげん微粒びりゅう會かい呈てい現げん不規則ふきそく狀じょう的てき運動うんどう，因いん而稱它布朗ろう運動うんどう。布ぬの朗ろう運動うんどう也能測量そくりょう原子げんし的てき大小だいしょう，因いん為ため就是由ゆかり水みず中なか的てき水分すいぶん子こ對たい微粒びりゅう的てき碰撞產さん生せい的てき，而不規則きそく的てき碰撞越こし明あきら顯あきら，就是原子げんし愈いよいよ小しょう，因いん此根據こんきょ布ぬの朗ろう運動うんどう，定義ていぎ原子げんし的てき直徑ちょっけい為ため10^-8厘りん米まい。

定義ていぎ

自じ1860年ねん以來いらい，許多きょた科學かがく家か都と在ざい研究けんきゅう此種現象げんしょう，後來こうらい發現はつげん布ぬの朗ろう運動うんどう有ゆう下か列れつ的てき主要しゅよう特性とくせい：

1. 粒子りゅうし的てき運動うんどう由よし平ひら移うつり及轉移てんい所ところ構成こうせい，顯あらわ得どく非常ひじょう沒ぼつ規則きそく而且其軌跡あと幾いく乎是處處しょしょ沒ぼつ有ゆう切線せっせん。
2. 粒子りゅうし之の移動いどう顯然けんぜん互不相關そうかん，甚至於當粒子りゅうし互相接近せっきん至いたり比ひ其直徑ちょっけい小しょう的てき距離きょり時じ也是如此。
3. 粒子りゅうし越えつ小しょう或ある液體えきたい粘性ねんせい越こし低てい或ある溫度おんど越えつ高だか時じ，粒子りゅうし的てき運動うんどう越えつ活かつ潑。
4. 粒子りゅうし的てき成分せいぶん及密度みつど對たい其運動うんどう沒ぼつ有ゆう影響えいきょう。
5. 粒子りゅうし的てき運動うんどう永なが不ふ停止ていし。

愛あい因いん斯坦的てき理論りろん

在ざい1905年ねん，爱因斯坦提出ていしゅつ了りょう相しょう关理论。他た的てき理論りろん有ゆう兩個りゃんこ部分ぶぶん：第だい一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的てき擴散かくさん係數けいすう與あずか布ぬの朗ろう粒子りゅうし平均へいきん平方へいほう位い移うつり相關そうかん，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式ほうしき，愛あい因いん斯坦的てき理論りろん可か決定けってい原子げんし的てき大小だいしょう，一いち莫耳有ゆう多少たしょう原子げんし，或ある氣體きたい的てき克かつ分子ぶんし量りょう。根據こんきょ阿おもね伏ふく伽とぎ德とく罗定律ていりつ，所有しょゆう理想りそう氣體きたい在ざい標準ひょうじゅん溫度おんど和わ壓力あつりょく下か體積たいせき為ため22.414升しょう，其中包含ほうがん的てき原子げんし的てき數すう目もく被ひ稱しょう為ため「阿おもね伏ふく伽とぎ德とく罗常数すう」。由よし氣體きたい的てき莫耳質量しつりょう除じょ以阿伏ふく伽とぎ德とく罗常数等すうとう同どう原子げんし量りょう。

爱因斯坦论证的てき第だい一いち部分ぶぶん是ぜ，确定布ぬの朗ろう粒子りゅうし在ざい一定的时间内运动的距离。 经典力学りきがく无法确定这个距离，因いん为布朗ろう粒子りゅうし将しょう会かい受到大量たいりょう的てき撞击，每秒まいびょう大だい约发生せい 10¹⁴ 次じ撞击。 因いん此，爱因斯坦将之まさゆき简化，即そく讨论一个布朗粒子团的运动。

他た把わ粒子りゅうし在ざい一个的空间中，把わ布ぬの朗ろう粒子りゅうし在ざい一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（$\Delta$ 或ある者もの x，并对其坐标进行ぎょう变换，让原点てん成なり为粒子りゅうし运动的てき初はつ始はじめ位置いち）并给出で概がい率りつ密度みつど函数かんすう $\varphi (\Delta )$。另外，他た假かり设粒子りゅうし的てき数量すうりょう有限ゆうげん，并扩大だい了りょう密度みつど（单位体たい积内粒子りゅうし数量すうりょう)，展てん开成泰たい勒级数すう 。

${\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}$

第だい一行中的第二个等式是被 $\varphi$ 这个函数かんすう定てい义的。第だい一项中的积分等于一个由概率定义函数，第だい二项和其他偶数项（即そく第だい一项和其他奇数项）由ゆかり于空间对称しょう性せい而消失しょうしつ。化か简可以得到いた以下いか关系关系：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{($更さら 高だか 阶 的てき 项 )}}}

拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯算子こ之の前まえ的てき系けい数すう，是ぜ下か一刻的随机位移量 $\Delta$，让 D 为质量りょう扩散系けい数すう：

$D=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta$

那な么在 t 时刻 x 处的布ぬの朗ろう粒子りゅうし密度みつど ρろー 满足扩散方かた程ほど：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},$

假設かせつ在ざい初はつ始はじめ時刻じこくt = 0時じ，所有しょゆう的てき粒子りゅうし從したがえ原點げんてん開始かいし運動うんどう，擴散かくさん方かた程ほど的てき解かい

$\rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.$

数学すうがく模型もけい

定てい义

满足下か列れつ条件じょうけん的てき鞅我わが们称之の为布朗ろう运动

1. 这个鞅是关于时间连续的てき。
2. 他た的てき平方へいほう减去时间项也是ぜ一いち个鞅。

$(M_{t})$是ぜ一个布朗运动当且仅当$(M_{t})$为鞅，且$(M_{t}^{2}-t)$也为鞅.

其他定てい义

3000步ほ的てき2维布朗ろう运动的てき模も拟。

1000步ほ的てき3维布朗ろう运动模も拟。

一维的定义

一维布朗运动$\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$是ぜ关于时间t的てき一个随机过程，他た满足 ：

1. （独立どくりつ增量ぞうりょう）设时间t和わs满足t > s,增量ぞうりょう$\scriptstyle B_{t}-B_{s}$独立どくりつ于时间s前まえ的てき过程$\scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}$。
2. （稳定增量ぞうりょう和正かずまさ态性）设时间t和わs满足t > s,增量ぞうりょう$\scriptstyle B_{t}-B_{s}$服ふく从均值为0方ぽう差さ为t−s的てき正せい态分布ぶんぷ。
3. $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$几乎处处连续， 也就是ぜ说在任ざいにん何なん可能かのう性せい下か， 函数かんすう$\scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )$是ぜ连续的てき.
4. 通常つうじょう假かり设$\scriptstyle B_{0}=0$。这种布ぬの朗ろう运动我わが们称它为标准的てき。

等とう价定义

一维布朗运动$\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$是ぜ关于时间t的てき一个随机过程，他た满足 ：

1. $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$是ぜ一いち个高こう斯过程ほど，也就是ぜ说对于所有しょゆう的てき时间列れつ：$\scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}$,随ずい机つくえ向むこう量りょう：$\scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})$服ふく从高维高斯分布ぶんぷ（正せい态分布ぶんぷ）。
2. $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$几乎处处连续。
3. 对于所有しょゆうs和わt,均ひとし值$\scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0$，协方差さ$\scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)$.

高こう维定义

$\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}$是これd维布朗ろう运动，只ただ需满足あし$\scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}$为独立どくりつ的てき布ぬの朗ろう运动。

换句话说，d维布朗ろう运动 取と值于$\scriptstyle \mathbb {R} ^{d}$，而它在ざい$\scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}$空そら间上的てき投影とうえい均ひとし为布朗ろう运动。

Wiener测度的てき定てい义

设$\scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$为从$\scriptstyle \mathbb {R} ^{+}$到いた$\scriptstyle \mathbb {R}$的てき连续函数かんすう空そら间，$\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )$为概率りつ空そら间。布ぬの朗ろう运动为映射しゃ

$B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$

          $\omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)$.

Wiener测度 （或ある称しょう为布朗ろう运动的てき分布ぶんぷ）设为$\scriptstyle W(d\omega )$,是ぜ映うつ射いB关于$\scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )$的てき图测度ど。

换句话说， W是これ$\scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$上うえ的てき一いち个概率りつ测度，满足对于任にん何なに$\scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$，有ゆう

$W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)$。

备忘

• 布ぬの朗ろう运动是ぜ一种增量服从正态分布的萊維過程かてい。
• 这个定てい义可以帮助すけ我わが们证明あかり布ぬの朗ろう运动的てき很多特性とくせい，比ひ如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可ふか微ほろ等とう等とう。
• 我わが们可以利用りよう二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定てい义由Levy定理ていり演えんじ化か而来， 即そく： 轨迹连续且二に次じ变差为$t$的てき随ずい机つくえ过程为布朗ろう运动。

性せい质

• 布ぬの朗ろう运动的てき轨道几乎处处不可ふか微ほろ：对于任にん何なに$\scriptstyle \omega \in \Omega$,轨道$\scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )$为一个连续但是零可微的函数。
• 协方差さ$\scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)$。
• 布ぬの朗ろう运动具有ぐゆう强つよ马氏性せい： 对于停とま时T,取と条件じょうけん$\scriptstyle [T<\infty ]$,过程$\scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}$为一个独立どくりつ于$\scriptstyle (B_{s})_{0\leq s<T}$的てき布ぬの朗ろう运动。
• 它的Fourier变换或ある特とく征せい函数かんすう为$\scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}$。可か见，布ぬの朗ろう运动是ぜ一いち个无偏へん，无跳跃，二项系数为1/2的てきLevy过程。
• 布ぬの朗ろう运动关于时间是ぜ齐次的てき： 对于s > 0, $\scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}$是ぜ一いち个独立どくりつ于$\scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}$的てき布ぬの朗ろう运动。
• -B是ぜ一个布朗运动。
• （稳定性せい） 对于c > 0， $\scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}$是ぜ布ぬの朗ろう运动。
• （时间可逆かぎゃく性せい）$\scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}$在ざいt=0之これ外がい是ぜ布ぬの朗ろう运动。
• （常つね返かえし性せい）只ただ有ゆう1维和2维布朗ろう运动是ぜ常つね返かえし的てき：

      如果$\scriptstyle d\in \{1,2\}$,集合しゅうごう$\scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}$不ふ是ぜ有界ゆうかい的てき，对于任にん何なに$\scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}$，

      如果$\scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty$（几乎处处）。

• （反射はんしゃ原理げんり）

$\mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].$

布ぬの朗ろう运动的てき数学すうがく构造

利用りようKolmogorov一致いっち性せい定理ていり

设$(f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}$为$L^{2}({\mathbb {R} }_{+})$空そら间中一いち列れつ实值函数かんすう。设：

$\forall (u,v)\in {\mathbb {R} }_{+}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx$

这列函数かんすう满足：

$\forall k\in \mathbb {N} ^{*}$，任意にんい的てき$t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}$,矩のり阵$\left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}$为对称たたえ半はん正せい定じょう的てき。

利用りようKolmogorov一致いっち性せい定理ていり，我わが们可以构造づくり高だか斯过程ほど$\{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}$，它的均ひとし值$m$任意にんい， 协方差さ为上面めん定てい义的$s$。

当とう$(f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}$，$c>0$为不依よ赖于t的てき常数じょうすう，$1\!\!1_{[0,t]}$为$[0,t]$上うえ的てき示しめせ性せい函数かんすう。则：

$s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)$

在ざい这个情じょう况下，矩のり阵$\left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}$是ぜ对称且正定じょう的てき。

我わが们称一个高斯过程为 布ぬの朗ろう运动当とう且仅当とう均ひとし值为0，协方差さ为s。$c=Var(B_{1})$，当とう$c=1$时， 称しょう之の为 标准的てき布ぬの朗ろう运动.

利用りよう随ずい机つくえ过程

Donsker定理ていり（1951）证明了りょう逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

$\left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}$

其中（U_n, n ≥ 1） 独立どくりつ同どう分布ぶんぷ， 均ひとし值为0,方かた差さ为σしぐま的てき随ずい机つくえ变量序列じょれつ。

利用りよう傅でん立たて叶かのう级数

设2列れつ独立どくりつ的てき正せい态$\scriptstyle {\mathcal {N}}(0,1)$随ずい机つくえ变量序列じょれつ$\scriptstyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )$和わ$\scriptstyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )$。定てい义$\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$：

$B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)$

为布朗ろう运动。

争そう议

對たい於布朗ろう運動うんどう之の誤解ごかい

值得注意ちゅうい的てき是ぜ，布ぬの朗ろう运动指ゆび的てき是ぜ花粉かふん迸出へいしゅつ的てき微粒びりゅう的てき随ずい机つくえ运动，而不是ぜ分子ぶんし的てき随ずい机つくえ运动。但ただし是ぜ通どおり过布朗ろう运动的てき现象可か以间接せっ证明分子ぶんし的てき无规则运动。

一般いっぱん而言，花粉かふん之これ直徑ちょっけい分布ぶんぷ於30～50μみゅーm、最小さいしょう亦また有ゆう10μみゅーm之の譜ふ，相そう較之下か，水分すいぶん子こ直徑ちょっけい約やく0.3nm（非ひ球形きゅうけい，故こ依よ部位ぶい而有些許差異さい。），略りゃく為ため花粉かふん的てき十じゅう萬まん分ふん之の一いち。因よし此，花粉かふん難なん以產生せい不規則ふきそく振動しんどう，事實じじつ上じょう花粉かふん幾いく乎不受布朗ろう運動うんどう之の影響えいきょう。在ざい罗伯特とく·布ぬの朗ろう的まと手しゅ稿こう中ちゅう，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味いみ著ちょ「自じ花粉かふん粒つぶ中ちゅう迸出へいしゅつ之の微粒子びりゅうし」，而非指ゆび花粉かふん本身ほんみ。然しか而在翻譯ほんやく為ため諸國しょこく語ご言げん時じ，時じ常つね受到誤解ごかい，以為是ぜ「水中すいちゅう的てき花粉かふん受布朗ろう運動うんどう而呈現げん不規則ふきそく運動うんどう」。積せき非ひ成なり是ぜ之の下した，在ざい大だい眾一般いっぱん觀念かんねん中ちゅう，此誤會かい已然いぜん根深ねぶか蒂固。

花粉かふん具備ぐび足あし夠大小しょう，幾いく乎無法ほう觀測かんそく到いた布ぬの朗ろう運動うんどう。

在ざい日本にっぽん，以鶴田つるた憲次けんじ『物理ぶつり学がく叢くさむら話ばなし』為ため濫觴らんしょう，岩波書店いわなみしょてん『岩波いわなみ理科りか辞典じてん』、花輪はなわ重雄しげお『物理ぶつり学がく読本とくほん』、湯川ゆかわ秀樹ひでき『素粒子そりゅうし』、坂田さかた昌一しょういち『物理ぶつり学原がくばら論ろん（上うえ）』、平凡社へいぼんしゃ『理科りか辞典じてん』、福岡ふくおか伸一しんいち著ちょ『生物せいぶつ與あずか無む生物せいぶつ之の間あいだ』，甚至日本にっぽん的てき理科りか課か本ほん等とう等とう，皆みな呈てい現げん錯誤さくご之の敘述。

直ちょく到いた1973年ねん横浜市立大学よこはましりつだいがく名誉めいよ教授きょうじゅ植物しょくぶつ学がく者もの岩波いわなみ洋造ようぞう在ざい著書ちょしょ『植物しょくぶつ之のSEX‐不為ふため人じん知的ちてき性せい之の世界せかい』中ちゅう，點てん出で此誤謬ごびゅう之の前まえ，鮮少せんしょう有人ゆうじん注意ちゅうい。国立こくりつ教育きょういく研究所けんきゅうじょ物理ぶつり研究けんきゅう室長しつちょう板倉いたくら聖きよし宣せん在ざい參與さんよ製作せいさく岩波いわなみ電でん影かげ『迴動粒子りゅうし』（1970年ねん）時じ，實際じっさい攝と影かげ漂浮在ざい水中すいちゅう之の花粉かふん，卻發現はつげん花粉かふん完全かんぜん沒ぼつ有ゆう布ぬの朗ろう運動うんどう。遂とげ於1975年ねん3月がつ，以「外そと行人こうじん與あずか專せん家か之の間あいだ」為ため題だい，解說かいせつ有ゆう關せき布ぬの朗ろう運動うんどう之の誤あやま會かい。

参まいり见

• 维纳过程

外部がいぶ連結れんけつ

• 漫談まんだん布ぬの朗ろう運動うんどう （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Brownian motion - an overview