愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう理論りろん

愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう理論りろん（英語えいご：Einstein-Cartan theory）是ぜ理論りろん物理ぶつり學がく中將ちゅうじょう廣義こうぎ相對そうたい論ろん延伸えんしん以正確かく處理しょり自じ旋角動どう量りょう。此理論ろん以物理學りがく家か阿おもね爾しか伯はく特とく·愛あい因いん斯坦以及埃ほこり利り·嘉よしみ當とう（Élie Cartan)為ため名めい。

作為さくい古典こてん物理ぶつり中ちゅう的てき主要しゅよう理論りろん，廣義こうぎ相對そうたい論ろん卻有一いち個こ缺點けってん：其無法ほう描述「自じ旋軌道どう耦合」（spin-orbit coupling），亦また即そく內稟角かく動どう量りょう（intrinsic angular momentum）（自じ旋）與あずか軌道きどう角かく動どう量りょう（orbital angular momentum）間あいだ的てき交換こうかん。存在そんざい有ゆう定量ていりょう的てき理論りろん證明しょうめい，其顯示けんじ：當とう物體ぶったい具有ぐゆう自じ旋性質しつ時じ，廣義こうぎ相對そうたい論ろん必須ひっす要よう擴充かくじゅう成なり愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう理論りろん。

實驗じっけん上じょう的てき效こう應おう由よし於太小しょう，目前もくぜん尚ひさし無法むほう觀測かんそく得え到いた。

歷史れきし

該理論ろん最早もはや由ゆかり埃ほこり利り·嘉よしみ當とう(Élie Cartan)於 1922 年ねん提出ていしゅつ，並なみ在ざい隨ずい後ご的てき幾いく年ねん中ちゅう得え到いた了りょう闡述。阿おもね爾しか伯はく特とく愛あい因いん斯坦於 1928 年ねん開始かいし加入かにゅう該理論ろん，當時とうじ他た試ためし圖ず將はた撓たわわ率りつ與あずか電磁場でんじば張はり量りょう匹ひき配はい作為さくい統一とういつ場じょう論ろん的てき一いち部分ぶぶん，但ただし沒ぼっ有ゆう成功せいこう。這一思路引導他得出了相關但不同的遠程並行理論。

Dennis Sciama和わTom Kibble在ざい20世紀せいき60年代ねんだい獨立どくりつ地ち重じゅう新しん審しん視し了りょう該理論ろん，並なみ於1976年ねん發表はっぴょう了りょう一いち篇へん重要じゅうよう評論ひょうろん。

愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう理論りろん在ざい歷史れきし上じょう一直被無扭轉理論和布蘭斯-迪すすむ克かつ理論りろん等とう其他替がえ代理だいり論ろん所しょ掩蓋えんがい，因いん為ため扭轉似に乎以犧牲ぎせい方程式ほうていしき的てき易えき處理しょり性せい為ため代價だいか，幾いく乎沒有ゆう增加ぞうか預あずか測はか的てき好こう處しょ。由よし於愛因いん斯坦-嘉よしみ當とう理論りろん是ぜ純粹じゅんすい經典きょうてん的てき，它也沒ぼつ有ゆう完全かんぜん解決かいけつ量子りょうし重力じゅうりょく問題もんだい。在ざい愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう理論りろん中ちゅう，狄拉克かつ方程式ほうていしき變へん得え非ひ線せん性せい。最近さいきん，人にん們對愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう理論りろん的てき興趣きょうしゅ已やめ經けい轉向てんこう宇宙うちゅう學がく意義いぎ，最さい重要じゅうよう的てき是ぜ，避免了りょう宇宙うちゅう開始かいし時じ的てき引力いんりょく奇き點てん。該理論ろん被ひ認みとめ為ため是ぜ可か行ぎょう的てき，並なみ且仍然しか是ぜ物理ぶつり學界がっかい的てき活躍かつやく話題わだい。

該理論ろん間接かんせつ影響えいきょう了りょう圈けん量子りょうし重力じゅうりょく（並なみ且似乎也影響えいきょう了りょう扭量理論りろん）。

動機どうき

廣義こうぎ相對そうたい論ろん無法むほう描述自じ旋軌道どう耦合的てき理由りゆう根源こんげん於黎はじむ曼幾何なに，而廣義こうぎ相對そうたい論ろん是ぜ建けん構於其上。在ざい黎はじむ曼幾何なん中ちゅう，里さと奇き曲きょく率りつ張はり量りょう（Ricci curvature tensor）$R_{ab}$必須ひっす是ぜa與あずかb對稱たいしょう的てき（亦また即そく，$R_{ab}=R_{ba}$）。因よし此愛因いん斯坦曲きょく率りつ張はり量りょう(Einstein curvature tensor)$G_{ab}$定義ていぎ為ため

$G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}$

也必須是對稱たいしょう的てき。在ざい廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう，愛あい因いん斯坦曲きょく率りつ張はり量りょう為ため局きょく域いき重力じゅうりょく建けん構了模型もけい，且其（透過とうか重力じゅうりょく常數じょうすう的てき聯れん繫）等とう同どう於應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう或ある能のう量りょう-動どう量りょう張はり量りょう$P_{ab}$（此處ここら我わが們將能のう量りょう-動どう量りょう張はり量りょう表示ひょうじ為ためP，是ぜ因いん為ため廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう常用じょうよう來らい表示ひょうじ能のう量りょう-動どう量りょう張ちょう量的りょうてきT在ざい愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう理論りろん留とめ給きゅう仿射扭率(affine torsion)。）愛あい因いん斯坦曲きょく率りつ張ちょう量的りょうてき對稱たいしょう性せい強迫きょうはく動どう量りょう張はり量りょう必須ひっす是ぜ對稱たいしょう的てき。然しか而，當とう自じ旋與軌道きどう角かく動どう量りょう進行しんこう交換こうかん時じ，根據こんきょ角かく動どう量りょう守恆もりつね的てき廣義こうぎ式しき，則のり知ち動どう量りょう張はり量りょう為ため不ふ對稱たいしょう的てき。

自じ旋流(spin current)之の散ち度たび——${\frac {1}{2}}\left(T_{ab}-T_{ba}\right)=0$

細ほそ節ぶし請參考さんこう自じ旋張量りょう(spin tensor)條目じょうもく。

因いん此廣義こうぎ相對そうたい論ろん無法むほう適當てきとう地ち為ため自じ旋軌道どう耦合建けん構模型がた。

於1922年ねん，埃ほこり利り·嘉よしみ當とう提出ていしゅつ猜想認みとめ為ため廣義こうぎ相對そうたい論ろん應おう該被延伸えんしん成なり包括ほうかつ仿射扭率(affine torsion)，其允許いんきょ里さと奇き張はり量りょう可か以是不ふ對稱たいしょう的てき。雖然自じ旋-軌道きどう耦合是ぜ重力じゅうりょく物理ぶつり學がく中ちゅう相對そうたい次じ要よう的てき現象げんしょう，愛あい因いん斯坦–嘉よしみ當とう理論りろん則そく相當そうとう重要じゅうよう，因よし為ため

(1) 其顯示けんじ出で仿射理論りろん，而非度ど規ぶんまわし理論りろん，對たい於重力じゅうりょく能のう提供ていきょう更さら好このみ的てき描述；

(2) 其解釋かいしゃく仿射扭率的てき意義いぎ，在ざい一いち些量子りょうし重力じゅうりょく理論りろん中ちゅう自然しぜん出現しゅつげん；

(3) 其將自じ旋詮かい釋しゃく為ため仿射扭率，在ざい幾何きか意義いぎ上じょう是ぜ時空じくう介かい質しつ(spacetime medium)之これ位い錯場(field of dislocations)的てき一いち項こう連續れんぞく近似きんじ。

將はた黎はじむ曼幾何なん擴充かくじゅう以包含ほうがん了りょう仿射扭率則そく稱たたえ為ため黎はじむ曼-嘉よしみ當とう幾何きか(Riemann–Cartan geometry)。

幾何きか與あずか表示ひょうじ式しき

時空じくう物理ぶつり學がく的てき數學すうがく基礎きそ是ぜ仿射微分びぶん幾何きか(affine differential geometry)，其中我わが們賦予よn維微ほろ分流ぶんりゅう形がたM 一いち項こう沿著M上路あげろ徑みち對向たいこう量りょう作さく平行へいこう移動いどう的てき定律ていりつ。（一微分流形的每個點，我わが們都有ゆう切きり向むこう量りょう所しょ組成そせい的てき一いち個こ線せん性せい空間くうかん，不ふ過か我わが們無法ほう將はた向こう量りょう移動いどう到いた其他點てん，或ある是ぜ去さ比較ひかくM上位じょうい於不同どう兩りょう點てん上じょう的てき向むこう量りょう。）平行へいこう移動いどう保存ほぞん了りょう向むこう量りょう間あいだ的てき線せん性せい關係かんけい；也就是ぜ說せつ，若わか兩りょう向むこう量りょう ${\vec {u}}$ 與あずか ${\vec {v}}$ 在ざいM上うえ同どう一いち點てん，沿著一曲線被平行移動成為向量 ${\vec {u}}^{\prime }$ 與あずか ${\vec {v}}^{\prime }$，則のり兩者りょうしゃ的てき線せん性せい組合くみあい

$a{\vec {u}}$ + $b{\vec {v}}$

也平行へいこう移動いどう為ため

$a{\vec {u}}^{\prime }$ + $b{\vec {v}}^{\prime }$。

仿射微分びぶん幾何きか中ちゅう的てき平行へいこう性せい(Parallelism)是ぜ路ろ徑みち相しょう依よ(path-dependent)的てき；也就是ぜ說せつ，如果沿著同どう起點きてん與あずか同どう終點しゅうてん之の兩りょう相あい異こと路ろ徑みち平行へいこう移動いどう一向ひたぶる量りょう，在ざい終點しゅうてん所得しょとく的てき結果けっか向むこう量りょう一般來說是相異的。這樣的てき差異さい本質ほんしつ上じょう即そく為ため曲きょく率りつ的てき影響えいきょう，而曲率りつ在ざい微分びぶん幾何きか中ちゅう是これ個こ中心ちゅうしん概念がいねん。

愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう引力いんりょく理り论简介かい

用よう标架场重写うつし愛あい因いん斯坦引力いんりょく理り论

用よう标架场$\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$ 代替だいたい度ど规场${{g}_{\mu \nu }}$ ，我わが们可以得到いた用よう标架场$\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$ （仅考虑内禀坐标系变换是ぜ整体せいたいLorentz变换）表示ひょうじ的てき两种等とう价形式しき的てき推广的てき爱因斯坦引力いんりょく场运动方程ほど为：

• （1）引力いんりょく场运动方程ほど第だい一いち形式けいしき：${\frac {D{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}}{D{{x}^{\nu }}}}={\frac {16\pi G}{{c}^{4}}}{{P}^{(\alpha )\mu }}$
• （2）引力いんりょく场运动方程ほど第だい二に形式けいしき：${{R}^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu \nu }}R+{\frac {1}{2}}\lambda _{(\alpha )}^{\nu }{\frac {DK_{}^{(\alpha )\mu \rho }}{D{{x}^{\rho }}}}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{m}^{\nu \mu }-P_{gk}^{\nu \mu }\right)$

其中：

${{P}^{(\alpha )\mu }}=P_{m}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }$

${\begin{aligned}&{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }+K_{}^{(\alpha )\mu \nu }\\&Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }={{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\left({{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }}\right)-2\left({{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }}\right)\\&K_{}^{(\alpha )\mu \nu }=\beta _{1}^{}{{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\beta _{2}^{}\left({{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }}\right)-2\beta _{3}^{}\left({{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }}\right)\\\end{aligned}}$

$P_{g}^{(\alpha )\mu }={\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}\left(-{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{Q}^{\lambda \mu \sigma }}+{\frac {1}{4}}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{Q}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu }\right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}$

${\begin{aligned}&P_{m}^{(\alpha )\mu }=-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta \left({{L}_{m}}{\sqrt {-g}}\right)}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}}=-{\frac {\delta {{L}_{m}}}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}}-{{L}_{m}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }}\\&\\\end{aligned}}$

$P_{gk}^{(\alpha )\mu }={\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}\left(-{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{K}^{\lambda \mu \sigma }}+{\frac {1}{4}}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{K}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu }\right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}$

当とう ${{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},{{\beta }_{3}}<<1$时，由ゆかり引力いんりょく场运动方程ほど的てき第だい二形式得到爱因斯坦引力场运动方程： ${{R}^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu \nu }}R={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}P_{m}^{\nu \mu }$

愛あい因いん斯坦引力いんりょく理り论与狄拉克かつ电子理り论之间的矛盾むじゅん

考こう虑电子こ与あずか引力いんりょく的てき作用さよう时，我わが们需要よう引入标架仿射联络${\hat {\Gamma }}_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}$ 。在ざい黎はじむ曼时空中くうちゅう，存在そんざい关系式しき：${{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+{\hat {\Gamma }}_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}=0$ ，标架场与标架仿射联络不ふ独立どくりつ。 因よし此，黎はじむ曼时空中くうちゅう的てき电子场、电磁场及引力いんりょく场的运动才ざい方かた程ほど为：

(1)电子场运动方程ほど：

$\left\{{\begin{aligned}&i\hbar {{\gamma }^{\mu }}{{D}_{\mu }}\psi -mc\psi =0\\&i\hbar {{D}_{\mu }}{\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }}+mc{\bar {\psi }}=0\\\end{aligned}}\right.$

(2)电磁场运动方程ほど：

${{D}_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }$

(3)引力いんりょく场运动方程ほど：

${{R}^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu \nu }}R={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{\nu \mu }+P_{\gamma }^{\nu \mu }-{\frac {1}{2}}D_{\sigma }^{}{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\sigma }\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\lambda _{(\beta )}^{\mu }\right)$

根ね据すえ电子场运动方程ほど得え到いた能のう量りょう-动量流りゅう运动方かた程ほど为：

${{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }+{\frac {1}{2}}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }s_{e}^{(\alpha \beta )\nu }$

根ね据すえ引力いんりょく场运动方程ほど得え到いた能のう量りょう-动量流りゅう运动方かた程ほど为：

${{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }-{\frac {1}{4}}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\nu }$

上述じょうじゅつ结果表明ひょうめい，从电子こ场运动方程ほど得え到いた的てき能のう量りょう-动量流りゅう运动方かた程ほど与あずか从引力りょく场运动方程ほど得え到いた的てき能のう量りょう-动量流りゅう运动方かた程ほど是ぜ不ふ相あい容よう的てき。

有ゆう挠时空そら引力いんりょく理り论（愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう理り论）

在ざい有ゆう挠时空中くうちゅう，标架场 $\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$与あずか标架仿射联络${\hat {\Gamma }}_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}$ 是ぜ独立どくりつ的てき，标架场$\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$ 描述时空的てき弯曲，标架仿射联络${\hat {\Gamma }}_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}$ 描述时空的てき扭曲，并且有ゆう：

${{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+{\hat {\Gamma }}_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}\neq 0$

有ゆう挠时空中くうちゅう的てき引力いんりょく场推广为引力いんりょく-自じ旋场，因いん此简化か形式けいしき的てき愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう引力いんりょく-自じ旋场的てき运动方かた程ほど：

(1)电子场运动方程ほど：

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\left(i\hbar {{\gamma }^{\mu }}D_{\mu }^{}\psi +i\hbar D_{\mu }^{}({{\gamma }^{\mu }}\psi )\right)-mc\psi =0\\&{\frac {1}{2}}\left(i\hbar D_{\mu }^{}{\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }}+i\hbar D_{\mu }^{}({\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }})\right)+mc{\bar {\psi }}=0\\\end{aligned}}\right.$

(2)电磁场运动方程ほど：

$D_{\nu }^{}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }$

(3)自じ旋场运动方かた程ほど：

$D_{\nu }^{}{{R}^{(\alpha \beta )\mu \nu }}={\frac {8\pi \kappa }{{c}^{4}}}\left(s_{e}^{(\alpha \beta )\mu }+s_{g}^{(\alpha \beta )\mu }\right)$

(4)引力いんりょく场运动方程ほど：

a. 第だい一いち形式けいしき：

$D_{\nu }^{}{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}={\frac {16\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }-{\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}{\bar {\beta }}\left(2{{\hat {R}}^{\mu (\alpha )}}-{\hat {R}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }}\right)\right)$

b. 第だい二に形式けいしき：

${\bar {\beta }}\left(R_{\nu }^{\mu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\nu }^{\mu }R\right)\lambda _{}^{(\alpha )\nu }+{\frac {1}{2}}\beta D_{\nu }^{}{{\bar {K}}^{(\alpha )\mu \nu }}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{gk}^{(\alpha )\mu }\right)$

可か以证明あかり上述じょうじゅつ运动方かた程ほど是ぜ相しょう容よう的てき，因いん此有挠时空そら的てき愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう引力いんりょく-自じ旋场理り论消除じょ了りょう爱因斯坦引力いんりょく理り论与狄拉克かつ电子理り论之间的矛盾むじゅん。

应用

• 解かい释宇宙うちゅう加速かそく膨胀
• 解かい释先锋异常つね
• 解かい释星系けい转动曲きょく线
• 预言带电物体ぶったい周しゅう围的引力いんりょく异常
• 预言日び月食げっしょく的てき引力いんりょく异常

參まいり見み

• ECT理り论-牛うし顿引力りょく理り论

参考さんこう文献ぶんけん

• Tang, Feilin. The New Vierbein Form of Gravitational Equations and Localized Energy-Momentum Tensors of Gravitational Field. Frontier Science. 2010, (04): 47–65. ISSN 1673-8128 （中ちゅう文ぶん）. 

• Tang, Feilin. Contradiction Between Einstein Gravitational Theory and Dirac Electron Theory in Riemann Space-Time. Frontier Science. 2011, (03): 56–68. ISSN 1673-8128. 

• Tang, Feilin. A Localized Lorentz Gauge Invariant Gravitational Theory In Space-Time With Torsion. Frontier Science. 2012, 6 (01): 65–87. ISSN 1673-8128. （原始げんし内容ないよう存そん档于2016-01-11） （英えい语）. 
• Will, C.M. The Confrontation between General Relativity and Experiment. Living Rev. Relativity. 2009. （原始げんし内容ないよう存そん档于2019-12-10） （英えい语）.