自じ旋

在ざい量子力学りょうしりきがく中なか，自じ旋（英語えいご：Spin）是これ粒子りゅうし所ところ具有ぐゆう的てき内うち稟性ひんせい質しつ，其運算うんざん規則きそく類似るいじ於經典きょうてん力學りきがく的てき角すみ動どう量りょう，並なみ因いん此產生せい磁場じば。

首くび先さき對たい基本きほん粒子りゅうし提出ていしゅつ自轉じてん與あずか相應そうおう角かく動どう量りょう概念的がいねんてき是ぜ1925年ねん由ゆかり拉ひしげ尔夫·克かつ勒尼希まれ、喬たかし治ち·烏がらす倫りん貝かい克かつ與あずか塞ふさが缪尔·古德ことく斯米特とく三さん人にん所しょ開ひらき創そう。他た們在處理しょり電子でんし的てき磁場じば理論りろん時じ，把わ電子でんし想そう象ぞう为一いち個こ有ゆう質量しつりょう（因いん帶電たいでん）的てき球體きゅうたい，透過とうか自轉じてん而產生せい一いち個こ方向ほうこう的てき力りょく（磁場じば），並なみ把わ此概念がいねん命名めいめい為ため自じ旋。後來こうらい在ざい量子力學りょうしりきがく中なか，透過とうか理論りろん以及實驗じっけん驗けん證しょう發現はつげん基本きほん粒子りゅうし可視かし為ため是ぜ不可ふか分割ぶんかつ的てき點てん粒子りゅうし，所以ゆえん物體ぶったい自轉じてん無法むほう直接ちょくせつ套用到いた自じ旋角動どう量りょう上じょう來き，因いん此僅能のう將はた自じ旋視為ため一いち種しゅ内ない禀性質しつ，為ため粒子りゅうし與あずか生なま俱來帶たい有ゆう的てき一いち種しゅ角かく動どう量りょう，並なみ且其量りょう值是量子りょうし化か的てき，無む法被はっぴ改變かいへん（但ただし自じ旋角動どう量的りょうてき指向しこう可か以通過つうか操作そうさ來らい改變かいへん）。所以ゆえん，雖然有ゆう時じ會かい與あずか经典力學りきがく中ちゅう的てき自轉じてん（例れい如行星ぼし公轉こうてん時じ同時どうじ進行しんこう的てき自轉じてん）相あい類比るいひ，但ただし實際じっさい上じょう本質ほんしつ是ぜ迥異的てき。經典きょうてん概念がいねん中ちゅう的てき自轉じてん，是ぜ物體ぶったい對たい於其質しつ心こころ的てき旋轉せんてん程度ていど，比ひ如地球ちきゅう每日まいにち的てき自轉じてん是ぜ順じゅん著ちょ一個通過地心的極軸所作的轉動。

自じ旋對原子げんし尺度しゃくど的てき系統けいとう格外かくがい重要じゅうよう，諸しょ如單一いち原子げんし、質しつ子こ、電子でんし甚至是ぜ光子こうし，都と帶たい有正ありまさ半はん奇數きすう（1/2、3/2等とう等とう）或ある含零正せい整數せいすう（0、1、2）的てき自じ旋；半はん整數せいすう自じ旋的粒子りゅうし被ひ稱しょう為ため費ひ米子よなご（如電じょでん子こ），整數せいすう的てき則のり稱たたえ為ため玻色子こ（如光子こうし）。複ふく合あい粒子りゅうし也帶有ゆう自じ旋，其由組成そせい粒子りゅうし（可能かのう是ぜ基本きほん粒子りゅうし）之の自じ旋透過とうか加法かほう所得しょとく；例れい如質子こ的てき自じ旋可以從夸克自じ旋得到いた。

概論がいろん

自じ旋角動どう量りょう是ぜ系統けいとう的てき一いち個こ可か觀測かんそく量りょう，它在空間くうかん中ちゅう的てき三さん個こ分量ぶんりょう和わ軌道きどう角かく動どう量りょう一樣いちよう滿足まんぞく相しょう同どう的てき对易关系。每まい个粒子りゅうし都と具有ぐゆう特有とくゆう的てき自じ旋。粒子りゅうし自じ旋角动量遵从角かく动量的てき普遍ふへん规律，p=[J(J+1)]^0.5h，此為自じ旋角动量量子りょうし数すう ，J ＝ 0，1/2，1，3/2，……。自じ旋为半はん奇数きすう的てき粒子りゅうし称しょう为费米子よなご，服ふく从費ひ米まい-狄拉克かつ統計とうけい；自じ旋为0或ある整数せいすう的てき粒子りゅうし称しょう为玻色しょく子こ，服ふく从玻色-爱因斯坦统计。复合粒子りゅうし的てき自じ旋是其内部ぶ各かく组成部分ぶぶん之の间相对轨道どう角かく动量和わ各かく组成部分ぶぶん自じ旋的矢や量りょう和わ，即そく按量子力学りょうしりきがく中角なかつの动量相しょう加法かほう则求和わ。已やめ发现的てき粒子りゅうし中ちゅう，自じ旋为整数せいすう的てき，最大さいだい自じ旋为4；自じ旋为半はん奇数きすう的てき，最大さいだい自じ旋为3/2。

自じ旋是微ほろ观粒子りゅうし的てき一いち种性质，没ぼつ有ゆう经典对应，是ぜ一种全新的内禀自由度。自じ旋为半はん奇数きすう的てき物ぶつ质粒子りゅうし服ふく从泡あわ利り不ふ相あい容よう原理げんり。

發展はってん史し

自じ旋的發現はつげん，首しゅ先さき出で現在げんざい鹼金屬きんぞく元素げんそ的てき發射はっしゃ光こう譜ふ課題かだい中ちゅう。於1924年ねん，泡あわ利り首くび先さき引入他稱たしょう為ため是ぜ「雙そう值量子こ自由じゆう度ど」（two-valued quantum degree of freedom），與あずか最さい外そと殼から層そう的てき電子でんし有ゆう關せき。这使他た可か以形式しき化か地表ちひょう述じゅつ泡あわ利り不ふ相あい容よう原理げんり，即そく没ぼつ有ゆう两个电子可か以在同どう一时间共享相同的量子りょうし态。

泡あわ利り的てき“自由じゆう度ど”的てき物ぶつ理解りかい释最初はつ是ぜ未み知的ちてき。拉ひしげ尔夫·克かつ勒尼希まれ，朗ろう德とく的てき一いち位い助手じょしゅ，于1925年初ねんしょ提出ていしゅつ它是由よし电子的てき自じ转产生せい的てき。当とう泡あわ利り听到这个想そう法ほう时，他た予よ以严厉的批驳，他た指出さしで为了产生足あし够的角かく动量，电子的てき假想かそう表面ひょうめん必须以超过光速こうそく运动。这将违反相あい对论。很大程度ていど上じょう由よし于泡利り的てき批评，克かつ勒尼希まれ决定不ふ发表他た的てき想そう法ほう。

当年とうねん秋あき天たかし，两个年ねん轻的荷に兰物理学りがく家か产生同どう样的想そう法ほう，它们是ぜ乌伦贝克和わ塞ふさが缪尔·古德ことく斯米特とく。在ざい保ほ羅ら·埃ほこり倫りん費ひ斯特的てき建けん议下，他た们以一个小篇幅发表了他们的结果。它得到いた了りょう正面しょうめん的てき反はん应，特とく别是在ざい雷かみなり沃林·托たく马斯消しょう除じょ了りょう实验结果与あずか乌伦贝克和わ古德ことく施ほどこせ密みつ特とく的てき（以及克かつ勒尼希まれ未み发表的てき）计算之の间的两个矛盾むじゅん的てき系けい数すう之の后きさき。这个矛盾むじゅん是ぜ由よし于电子こ指向しこう的てき切きり向こう结构必须纳入计算，附加ふか到いた它的位置いち上じょう；以数学がく语言来らい说，需要じゅよう一いち个纤维丛描述。切きり向こう丛效应是相しょう加か性せい的てき和わ相しょう对论性せい的てき（比ひ如在c趋近于无限げん时它消失しょうしつ了りょう）；在ざい没ぼつ有ゆう考こう虑切向こう空そら间朝向こう时其值只有ゆう一半いっぱん，而且符号ふごう相反あいはん。因よし此这个复合あい效こう应与后きさき来らい的てき相差おうさつ一いち个系数すう2（參まいり見み：湯ゆ瑪斯進しん動どう）。

尽つき管かん他た最初さいしょ反はん对这个想法ほう，泡あわ利り还是在ざい1927年ねん形式けいしき化か自じ旋理论，运用埃ほこり爾なんじ文ぶん·薛丁格かく和わ沃納·海うみ森もり堡发现的てき现代量子力学りょうしりきがく理り论。他た开拓性せい地ち使用しよう泡あわ利り矩のり阵作さく为一个自旋算子的群表述，并且引入一いち个二に元げん旋量波なみ函数かんすう。

泡あわ利り的てき自じ旋理论是非ぜひ相しょう对论性せい的てき。然しか而，在ざい1928年ねん，保ほ羅ら·狄拉克かつ发表狄拉克かつ方程式ほうていしき，描述相しょう对论性せい的てき电子。在ざい狄拉克かつ方かた程ほど中ちゅう，一いち个四元もと旋量（所ところ谓的“狄拉克かつ旋量”）被ひ用よう于电子こ波なみ函数かんすう。在ざい1940年ねん，泡あわ利り证明“自じ旋统计定理ていり”，它表述じゅつ费米子こ具有ぐゆう半はん整数せいすう自じ旋，玻色子こ具有ぐゆう整数せいすう自じ旋。

自じ旋量子りょうし数すう

基本きほん粒子りゅうし的てき自じ旋

对于像ぞう光子こうし、电子、各かく种夸克かつ这样的てき基本きほん粒子りゅうし，理り论和实验研究けんきゅう都と已やめ经发现它们所具有ぐゆう的てき自じ旋无法ほう解かい释为它们所しょ包含ほうがん的てき更さら小しょう单元围绕质心的てき自じ转（即そく使つかい使用しよう經典きょうてん电子半径はんけい，电子“赤道せきどう”处的速度そくど也需要じゅよう超ちょう光速こうそく才能さいのう解かい释其自じ旋角动量）。由よし于这些不可ふか再さい分ぶん的てき基本きほん粒子りゅうし可か以认为是真正しんせい的てき点てん粒子りゅうし，因いん此自旋与质量、电量一いち样，是ぜ基本きほん粒子りゅうし的てき内ない禀性质。

在ざい量子力学りょうしりきがく中なか，任にん何なん体系たいけい的てき角すみ动量都みやこ是ただし量子りょうし化か的てき，其值只ただ能のう为：

$S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}},$

其中$\hbar$是これ约化普ひろし朗ろう克かつ常数じょうすう，而自旋量子りょうし数すう是ぜ整数せいすう或ある者もの半はん整数せいすう（0, 1/2, 1, 3/2, 2,……），自じ旋量子りょうし数すう可か以取半はん整数せいすう的てき值，这是自じ旋量子りょうし数すう与あずか轨道量子りょうし数すう的てき主要しゅよう区く别，后きさき者しゃ的てき量子りょうし数すう取と值只能のう为整数すう。自じ旋量子りょうし数すう的てき取と值只依よ赖于粒子りゅうし的てき种类，无法用よう现有的てき手段しゅだん去さ改あらため变其取值（不要ふよう与あずか自じ旋的方向ほうこう混淆こんこう，见下文ぶん）。

例れい如，所有しょゆう电子具有ぐゆう$s=1/2$的てき自じ旋，自じ旋为1/2的てき基本きほん粒子りゅうし还包括ほうかつ正せい电子、中ちゅう微ほろ子こ和かず夸克，光子こうし是ぜ自じ旋为1的てき粒子りゅうし，理り论假设的引力いんりょく子こ是ぜ自じ旋为2的てき粒子りゅうし，希まれ格かく斯玻色しょく子こ在ざい基本きほん粒つぶ子中こなか比ひ较特殊とくしゅ，它的自じ旋为0。

亚原子げんし粒子りゅうし的てき自じ旋

对于像ぞう质子、中子なかご及原子核げんしかく这样的てき亚原子げんし粒子りゅうし，自じ旋通常つうじょう是ぜ指ゆび总的角かく动量，即そく亚原子げんし粒子りゅうし的てき自じ旋角动量和わ轨道角かく动量的てき总和。亚原子げんし粒子りゅうし的てき自じ旋与其它角かく动量都と遵循同どう样的量子りょうし化か条件じょうけん。

通常つうじょう认为亚原子げんし粒子りゅうし与あずか基本きほん粒子りゅうし一样具有确定的自旋，例れい如，质子是ぜ自じ旋为1/2的てき粒子りゅうし，可か以理解りかい为这是ぜ该亚原子げんし粒子りゅうし能のう量りょう量りょう低てい的てき自じ旋态，该自旋态由よし亚原子げんし粒子りゅうし内部ないぶ自じ旋角动量和わ轨道角かく动量的てき结构决定。

利用りよう第だい一性原理推导出亚原子粒子的自旋是比较困难的，例れい如，尽つき管かん我わが们知道どう质子是ぜ自じ旋为1/2的てき粒子りゅうし，但ただし是ぜ原子核げんしかく自じ旋结构的问题仍然是ぜ一个活跃的研究领域。

原子はらこ和かず分子ぶんし的てき自じ旋

原子げんし的てき自じ旋是原子核げんしかく自じ旋与核かく外がい电子自じ旋的叠加。分子ぶんし的てき自じ旋是分ぶん子中こなか未成みせい对电子こ自じ旋之和わ，未成みせい对电子こ的てき自じ旋导致原子げんし和わ分子ぶんし具有ぐゆう顺磁性せい。

自じ旋与统计

粒子りゅうし的てき自じ旋对于其在ざい统计力学りきがく中なか的てき性せい质具有ぐゆう深刻しんこく的てき影かげ响，具有ぐゆう半はん整数せいすう自じ旋的粒子りゅうし遵循費ひ米まい-狄拉克かつ統計とうけい，称しょう为费米子こ，它们必须占うらない据すえ反はん对称的てき量子りょうし态（参まいり阅全ぜん同どう粒子りゅうし），这种性せい质要求ようきゅう费米子こ不能ふのう占うらない据すえ相しょう同どう的てき量子りょうし态，这被称しょう为泡あわ利り不ふ相あい容よう原理げんり。另一方面ほうめん，具有ぐゆう整数せいすう自じ旋的粒子りゅうし遵循玻色-愛あい因いん斯坦統計とうけい，称しょう为玻色子こ，这些粒子りゅうし可か以占据すえ对称的てき量子りょうし态，因いん此可以占据すえ相しょう同どう的てき量子りょうし态。对此的てき证明称しょう为自じ旋統計けい定理ていり，依よ据すえ的てき是ぜ量子力学りょうしりきがく以及狭せま义相对论。事こと实上，自じ旋与统计的てき联系是ぜ狭せま义相对论的てき一いち个重要よう结论。

自じ旋的方向ほうこう

自じ旋投影とうえい量子りょうし数すう与あずか自じ旋多重じゅう态

在ざい经典力学りきがく中ちゅう，一个粒子的角动量不仅有大小（取と决于粒子りゅうし转动的てき快かい慢），而且有ゆう方向ほうこう（取と决于粒子りゅうし的てき旋转轴）。量子力学りょうしりきがく中ちゅう的てき自じ旋同样有方向ほうこう，但ただし是ぜ是ぜ以一种更加微妙的形式出现的。

在ざい量子力学りょうしりきがく中ちゅう，对任意にんい方向ほうこう的てき角かく动量分量ぶんりょう的てき测量只ただ能取のとろ$S_{i}=\hbar s_{i}$，其中

$s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},$

s是ぜ之の前章ぜんしょう节讨论过的てき自じ旋量子りょうし数すう。可か以看出で对于给定的てきs，$s_{z}$可か以取“2s+1”个不同ふどう的てき值，此即为自旋多重じゅう态。例れい如：对于自じ旋为1/2的てき粒子りゅうし，"s_z"只ただ能取のとろ两个不同ふどう的てき值，+1/2或ある-1/2。相あい应的量子りょうし态为粒子りゅうし自じ旋分别指向しこう+z或ある-z方向ほうこう，一般我们把这两个量子态叫做"spin-up"和わ"spin-down"。 对于一个给定的量子态，可か以给出で一いち个自旋矢量りょう$\langle S\rangle$，它的各かく个分量りょう是ぜ自じ旋沿着ぎ各かく坐すわ标轴分量ぶんりょう的てき数学すうがく期き望もち值，即そく$\langle S\rangle =[\langle s_{x}\rangle ,\langle s_{y}\rangle ,\langle s_{z}\rangle ]$.这个矢や量りょう描述自じ旋所指ゆび的てき“方向ほうこう”，对应于经典てん物理ぶつり下か旋转轴的概念がいねん。这个矢や量りょう在ざい实际做量子力学りょうしりきがく计算时并不十分ふじゅうぶん有用ゆうよう，因いん为它不能ふのう被ひ直接ちょくせつ精しらげ準じゅん测量：根ね据すえ不ふ确定性せい原理げんり，s_x、s_y和わs_z不能ふのう同どう时有确定值。但ただし是ぜ对于被ひ置おけ于同一个量子态的大量粒子，例れい如使用しよう施ほどこせ特とく恩おん－格かく拉ひしげ赫仪器得え到いた的てき粒子りゅうし，自じ旋矢量りょう确实有良ありら好こう定てい义的实验意い义。

自じ旋与磁矩

自じ旋状态

具有ぐゆう自じ旋的粒子りゅうし具有ぐゆう磁偶极矩，就如同どう经典电动力学りきがく中ちゅう转动的てき带电物体ぶったい。磁矩可か以通过多种实验手段しゅだん观察，例れい如，在ざい施ほどこせ特とく恩おん-格かく拉ひしげ赫实验中ちゅう受到不ふ均ひとし匀磁场的てき偏へん转，或ある者もの测量粒子りゅうし自身じしん产生的てき磁场。

一いち个基本きほん粒子りゅうし，电量为q，质量为m，自じ旋为S，则其内ない禀磁矩のり$\mu$为

$\mu =g\,{\frac {q}{2m}}\,S$

其中无量纲量g称たたえ为g-因數いんすう（g-factor），当とう仅有轨道角かく动量时，g=1。

电子是ぜ带电荷に的てき基本きほん粒子りゅうし，具有ぐゆう非ひ零れい磁矩。量子りょうし电动力学りきがく理り论成功せいこう以预测了电子的てきg-因數いんすう，其实验测量りょう值为−2.002 319 304 3622（15），括くく号ごう中ちゅう的てき两位数字すうじ为测量的りょうてき不ふ确定度ど，来らい源みなもと于标准差さ，整数せいすう部分ぶぶん2来らい源みなもと于狄拉克かつ方かた程ほど（狄拉克かつ方かた程ほど是ぜ与あずか将はた电子自じ旋与其电磁性じせい质联系けい起おこり来らい的てき基本きほん方かた程ほど），小数しょうすう部分ぶぶん（0.002 319 304…）来らい源みなもと于电子こ与あずか周しゅう围电磁场的てき相互そうご作用さよう，其中也ちゅうや包括ほうかつ电子自身じしん的てき产生的てき电磁场。

量子力學りょうしりきがく中關なかせき於自旋的數學すうがく表示ひょうじ

自じ旋算符ふ

与あずか角すみ動どう量りょう算さん符ふ类似，自じ旋满足あし对易关系：

$[S_{i},S_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k}$

其中$\epsilon _{ijk}$为列れつ维-奇き维塔符号ふごう。$S^{2}$与あずか$S_{z}$的てき本ほん征せい值（用よう狄拉克かつ符号ふごう表示ひょうじ）为：

$S^{2}|s,m\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)|s,m\rangle$

$S_{z}|s,m\rangle =\hbar m|s,m\rangle .$

自じ旋产生及湮没ぼつ算さん符ふ作用さよう于本ほん征矢そや量りょう上うえ可か以得到いた：

$S_{\pm }|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m\pm 1)}}|s,m\pm 1\rangle ,$

其中$S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}$。

然しか而与轨道角かく动量所しょ不同ふどう的てき是ぜ，自じ旋的本ほん征矢そや量りょう不ふ是ぜ球たま谐函数すう，它们不ふ是ぜ$\theta$和わ$\phi$的てき函数かんすう，而且$s$与あずか$m$不ふ能取のとろ半はん整数せいすう值也只ただ是ぜ一いち种约定じょう，没ぼつ有ゆう具体ぐたい的てき含义。

除じょ了りょう其它性せい质以外がい，量子力学りょうしりきがく描述的てき所有しょゆう粒子りゅうし具有ぐゆう内ない禀自旋（尽つき管かん可能かのう出で现量子りょうし数すう$S=0$的てき情じょう况）。自じ旋量子りょうし数すう的てき取と值为约化普ひろし朗ろう克かつ常数じょうすう$\hbar$的てき整数せいすう倍ばい或ある半はん整数せいすう倍ばい，因いん此波函数かんすう可か以写为$\psi =\psi (\mathbf {r} ,\sigma )\,,$而不是ぜ$\psi =\psi (\mathbf {r} )$，其中$\sigma$可か以取值的集合しゅうごう为：$\sigma \in \{-S\cdot \hbar ,-(S-1)\cdot \hbar ,...,+(S-1)\cdot \hbar ,+S\cdot \hbar \}$，由ゆかり此可以区分くぶん玻色子こ（S=0, 1 , 2 , ...）和わ费米子こ（S=1/2 , 3/2 , 5/2 , ...）。自じ旋角动量与あずか轨道角かく动量之の和わ为总角かく动量，在ざい相互そうご作用さよう过程中ちゅう总角动量守恒もりつね。

自じ旋與包つつみ立りつ不ふ相あい容よう原理げんり

包つつみ立りつ不ふ相あい容よう原理げんり指出さしで，对于可分かぶん辨べん的てきN粒子りゅうし体系たいけい，交换其中任意にんい两个粒子りゅうし，则有：

：$\psi (\,...\,;\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}\,;\,...\,;\mathbf {r} _{j},\sigma _{j}\,;\,...){\stackrel {!}{=}}(-1)^{2S}\cdot \psi (\,...\,;\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j}\,;\,...\,;\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}\,;\,...)\,.$

因いん此，对于玻色子こ，前ぜん置おけ因子いんし$(-1)^{2S}$可か简化为+1，而对于费米子よなご为-1。在ざい量子力学りょうしりきがく中ちゅう，所有しょゆう的てき粒子りゅうし不ふ是ぜ玻色子こ就是费米子こ，而在相しょう对论量子りょうし场论中ちゅう存在そんざい“超ちょう对称”粒子りゅうし，它们是ぜ玻色子こ成分せいぶん和わ费米子よなご成分せいぶん的てき线性组合。对于二に维体系けい，前ぜん置おけ因子いんし$(-1)^{2S}$可か以取为任何なん模も为1的てき复数。

电子是ぜ自じ旋量子りょうし数すうS=1/2的てき费米子よなご；光子こうし是ぜ自じ旋量子りょうし数すうS=1的てき玻色子こ。这充分ぶん说明自じ旋这一特性无法完全用经典的内禀轨道角动量来解释，也就是ぜ不能ふのう认为自じ旋是像ぞう陀螺一样的自转运动，因いん为轨道どう角かく动量只ただ能のう导致s取と整数せいすう值。电子一般情况下可以不考虑相对论效应，光子こうし必须采さい用よう相しょう对论来らい处理，而用来らい描述这些粒子りゅうし的てき麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组，也是满足相しょう对论关系的てき。

泡あわ利り不ふ相あい容よう原理げんり非常ひじょう重要じゅうよう，例れい如，化学かがく家か和わ生物せいぶつ学がく家か常用じょうよう的てき元素げんそ周期しゅうき表ひょう就是遵循泡あわ利り不ふ相あい容よう原理げんり制せい订的。

自じ旋与旋转

如上じょじょう所しょ述じゅつ，量子力学りょうしりきがく指出さしで角かく动量沿任意にんい方向ほうこう的てき分量ぶんりょう只ただ能取のとろ一系列离散值，量子力学りょうしりきがく中ちゅう最さい普遍ふへん的てき描述粒子りゅうし自じ旋的方法ほうほう是ぜ，用よう一いち个归一いち完かん备的复数集しゅう来らい表示ひょうじ内ない禀角动量在ざい给定坐すわ标轴方向ほうこう投影とうえい出で现的概がい率りつ。例れい如，对于自じ旋1/2的てき粒子りゅうし，用よう$a_{\pm 1/2}$表示ひょうじ角かく动量投影とうえい出で现的概がい率りつ为$\hbar /2$和わ$-\hbar /2$，它们满足：

$|a_{1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}\,=1.$

由よし于这些复数すう的てき取と值依赖于坐标轴的てき选取，坐すわ标轴转动变换可か以是非ぜひ平凡へいぼん的てき，因いん此要求ようきゅう采さい用よう线性的てき变换法ほう则，以便将しょう所有しょゆう的てき转动通どおり过一个矩阵联系起来，这要求ようきゅう变换必须满足乘法じょうほう运算，而且必须保持ほじ内ない积不变，因いん此变换矩阵应当とう满足：

$\sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n})^{*}(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k})$

$\sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.$

用よう数学すうがく语言表ひょう述じゅつ，这些矩のり阵是SO(3)群ぐん的てき幺正表示ひょうじ，每まい一个这样的表示对应于SU(2)群ぐん的てき一いち个表示ひょうじ（SO(3)群ぐん是ぜSU(2)群ぐん的てき子こ群ぐん），SU(2)群ぐん的てき每ごと一个不可约表示对应一个维度。例れい如，自じ旋1/2的てき粒子りゅうし在ざい二维表示下作转动变换，可か以用泡あわ利り矩のり阵表示ひょうじ为：

${\begin{pmatrix}a_{1/2}'\\a_{-1/2}'\end{pmatrix}}=\exp {(i\sigma _{z}\gamma /2)}\exp {(i\sigma _{y}\beta /2)}\exp {(i\sigma _{x}\alpha /2)}{\begin{pmatrix}a_{1/2}\\a_{-1/2}\end{pmatrix}}$

其中$\alpha ,\beta ,\gamma$为欧おう拉ひしげ角かく。

同どう样地，可か以用高だか维群表示ひょうじ描述粒子りゅうし的てき高だか阶自旋变换，参まいり见泡あわ利り矩のり阵相あい关章节。

自じ旋与洛らく伦兹变换

我わが们可以在洛らく伦兹变换下しも研究けんきゅう自じ旋的行ぎょう为，但ただし与あずかSO(3)群ぐん不同ふどう，洛らく伦兹群ぐんSO(3,1)是非ぜひ紧致的てき，不ふ存在そんざい有限ゆうげん维幺正せい表示ひょうじ。

对于自じ旋1/2的てき粒子りゅうし，有ゆう可能かのう构造出で保持ほじ内ない积不变的有限ゆうげん维表示ひょうじ。将はた每まい个粒子りゅうし用よう一いち个四よん元げん狄拉克かつ自じ旋量$\psi$来らい表示ひょうじ，这些旋量在ざい洛らく伦兹变换下か遵守じゅんしゅ如下规则：

$\psi '=\exp {\left({\frac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi$

其中$\gamma _{\mu }$为伽とぎ马矩阵，$\omega _{\mu \nu }$是ぜ一いち个反对称的てき$4\times 4$矩のり阵，它将洛らく伦兹变换参さん数すう化か。我わが们可以看到いた内うち积表示ひょうじ

$\langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi$

保持ほじ不ふ变。由よし于表示ひょうじ矩のり阵是非ぜひ正せい定じょう的てき，因いん此不是ぜ幺正表示ひょうじ。

泡あわ利り矩のり阵和自じ旋算符ふ

量子力学りょうしりきがく中ちゅう表示ひょうじ自じ旋这个可か观测量りょう的てき算さん符ふ为：

$S_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}$

$S_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}$

$S_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}$

对于自じ旋为-1/2的てき情じょう形がた，$\sigma _{x}$, $\sigma _{y}$和わ$\sigma _{z}$为三さん个泡あわ利り矩のり阵，表示ひょうじ为

$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

沿x, y和わz轴的自じ旋测量りょう

每まい个泡利り矩のり阵的哈密顿量有ゆう两个本ほん征せい值：+1和わ-1。相あい应的归一化本征矢量为：

$\psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},\psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}}$,

$\psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},\psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}}$,

$\psi _{z+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\psi _{z-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

根ね据すえ量子力学りょうしりきがく基本きほん假かり设，测量沿x，y或あるz轴的电子自じ旋的实验只ただ能のう得え到いた相あい应坐标轴上じょう自じ旋算符ふ（$S_{x}$, $S_{y}$, $S_{z}$）的てき本ほん征せい值：${\hbar \over 2}$和わ${-\hbar \over 2}$ 粒子りゅうし的てき量子りょうし态可か以用一个具有两个分量的自じ旋量来らい表示ひょうじ：

$\psi ={\begin{pmatrix}{a+bi}\\{c+di}\end{pmatrix}}$

当とう测量给定坐すわ标轴方向ほうこう（这里取と为x轴）的てき自じ旋时，测量到いた自じ旋为${\hbar \over 2}$的てき概がい率りつ恰好かっこう为$\mid \langle \psi \mid \psi _{x+}\rangle \mid ^{2}$。相あい应的测量到いた自じ旋为${-\hbar \over 2}$的てき概がい率りつ恰好かっこう为$\mid \langle \psi \mid \psi _{x-}\rangle \mid ^{2}$。经过测量，粒子りゅうし的てき自じ旋将坍缩到相しょう应的本ほん征せい态。结果导致，如果粒子りゅうし在ざい给定坐すわ标轴方向ほうこう的てき自じ旋已经被测量出で确定的てき值，所有しょゆう的てき测量将はた得え到いた相あい同どう的てき本ほん征せい值（因いん为$\mid \langle \psi _{x+}\mid \psi _{x+}\rangle \mid ^{2}=1$，依よ此类推），只ただ要よう其它坐标轴方向ほうこう的てき自じ旋还没ぼつ有ゆう被ひ测量。

沿任意にんい方向ほうこう的てき自じ旋测量りょう

沿任意にんい方向ほうこう的てき自じ旋算符ふ很容易ようい从泡利り矩のり阵导出で，令れい$u=(u_{x},u_{y},u_{z})$为任意にんい单位矢や量りょう，则沿该方向ほうこう的てき自じ旋算符ふ为$\sigma _{u}=\hbar (u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z})/2$，算さん符ふ$\sigma _{u}$具有ぐゆう本ほん征せい值$\pm \hbar /2$。对于高だか自じ旋态，沿任意にんい方向ほうこう的てき自じ旋算符ふ可か以通过它与x,y,z轴三个方向的矢量的内积来确定。

对于自じ旋-1/2的てき粒子りゅうし，一いち个沿$(u_{x},u_{y},u_{z})$方向ほうこう的てき正せい交的自じ旋子为（除じょ了りょう导致0/0的てき自じ旋态）：

${\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{bmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{bmatrix}}.$

确定上述じょうじゅつ自じ旋子的てき一般いっぱん方法ほうほう：将はた矩のり阵$\sigma _{u}$对角化か，求もとめ取ど与本よもと征ただし值相应的本ほん征矢そや量りょう，这样的てき本ほん征矢そや量りょう就可以作为自旋子。

自じ旋测量的りょうてき相しょう容よう性せい

由よし于泡利り矩のり阵是不ふ对易的てき，因いん此沿不同ふどう方向ほうこう测量的てき自じ旋是不ふ相あい容よう的てき，例れい如，在ざい我わが们已知ちx轴方向ほうこう的てき自じ旋的情じょう况下，测量沿y轴方向ほうこう的てき自じ旋，这样会かい将はた我わが们先前ぜん在ざいx轴方向ほうこう的てき测量结果否定ひてい。这可以从泡あわ利り矩のり阵的本ほん征矢そや量りょう（本ほん征せい态）中ちゅう看み出来でき：

$\mid \langle \psi _{x+/-}\mid \psi _{y+/-}\rangle \mid ^{2}=\mid \langle \psi _{x+/-}\mid \psi _{z+/-}\rangle \mid ^{2}=\mid \langle \psi _{y+/-}\mid \psi _{z+/-}\rangle \mid ^{2}={\frac {1}{2}}$

因いん此，假かり如我们测量りょう到いた沿x轴方向ほうこう的てき自じ旋是${\hbar \over 2}$，这个粒子りゅうし的てき自じ旋将坍缩为本征せい态$\mid \psi _{x+}\rangle$；当とう我わが们接着せっちゃく测量y轴方向ほうこう的てき自じ旋时，自じ旋本征せい态将坍缩到$\mid \psi _{y+}\rangle$或ある者もの$\mid \psi _{y-}\rangle$，坍缩到这两个本征せい态的概がい率りつ都みやこ是ただし${\frac {1}{2}}$，可か以认为这是ぜ测量到いた了りょう${-\hbar \over 2}$。当とう我わが们再次じ测量沿x轴的自じ旋，测量到いた${\hbar \over 2}$或ある者もの${-\hbar \over 2}$的てき概がい率りつ各かく为${\frac {1}{2}}$（$\mid \langle \psi _{x+}\mid \psi _{y-}\rangle \mid ^{2}$和わ$\mid \langle \psi _{x-}\mid \psi _{y-}\rangle \mid ^{2}$），这说明あきら我わが们最初はつ沿x轴方向ほうこう的てき测量不ふ再さい正せい确，因いん为此时沿x轴方向ほうこう测量的てき自じ旋得到いた两种本ほん征せい值的概がい率りつ是ぜ相等そうとう的てき。

应用

自じ旋的直接的ちょくせつてき应用包括ほうかつ：核かく磁共振きょうしん谱、电子顺磁共振きょうしん谱、质子密度みつど的てき磁共振きょうしん成なり像ぞう，以及巨きょ磁电阻硬盘磁头。自じ旋可能かのう的てき应用有ゆう自じ旋场效こう应晶体からだ管かん等とう。以电子こ自じ旋为研究けんきゅう对象，发展创新磁性じせい材料ざいりょう和わ器き件けん的てき学科がっか分ぶん支ささえ称しょう为自じ旋电子こ学がく。

• 旋磁共振きょうしん
• 核かく磁共振きょうしん
• 电子顺磁共振きょうしん

相關そうかん條目じょうもく

• 自じ旋½
• 泡あわ利り矩のり阵
• 反はん常つね塞ふさが曼效应
• 自轉じてん
• 進すすむ動どう
• 章あきら動どう
• 自じ旋-軌道きどう作用さよう

外部がいぶ連結れんけつ

• 聖地せいち牙きば哥加州かしゅう大學だいがく物理ぶつり系けい視聽しちょう教學きょうがく：自じ旋。