基もと爾なんじ霍夫電路でんろ定律ていりつ

  此条目め页的主題しゅだい是ぜ基もと爾なんじ霍夫電路でんろ定律ていりつ。关于其他由ゆかり古こ斯塔夫おっと·基もと爾なんじ霍夫所ところ命名めいめい的てき定律ていりつ，請見「基もと爾なんじ霍夫定律ていりつ」。

古こ斯塔夫おっと·基もと爾なんじ霍夫

基もと爾なんじ霍夫電路でんろ定律ていりつ（Kirchhoff Circuit Laws）簡稱為ため基もと爾なんじ霍夫定律ていりつ，指ゆび的てき是ぜ兩りょう條じょう電路でんろ學がく定律ていりつ，基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ與あずか基もと爾なんじ霍夫電壓でんあつ定律ていりつ。它們涉わたる及了電荷でんか的てき守恆もりつね及電でん勢ぜい的てき保守ほしゅ性せい。1845年ねん，古こ斯塔夫おっと·基もと爾なんじ霍夫首くび先さき提出ていしゅつ基もと爾なんじ霍夫電路でんろ定律ていりつ。現在げんざい，這定律ていりつ被ひ廣こう泛地應用おうよう於電機でんき工程こうてい學がく。

從したがえ馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ可か以推導出どうしゅつ基もと爾なんじ霍夫電路でんろ定律ていりつ。但ただし是ぜ，基き爾しか霍夫並なみ不ふ是ぜ依よ循這條じょう思おもえ路ろ發展はってん，而是從したがえ格かく奧おく爾なんじ格かく·歐おう姆的てき工作こうさく成果せいか加か以推廣こう得とく之の。

基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ

所有しょゆう進入しんにゅう節點せってん的てき電流でんりゅう的てき總和そうわ等とう於所有しょゆう離はなれ開ひらき這節點てん的てき電流でんりゅう的てき總和そうわ。對たい於本圖案ずあん例れい，$i_{1}+i_{4}=i_{2}+i_{3}$ 。

基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ又また稱たたえ為ため基もと爾なんじ霍夫第だい一いち定律ていりつ，表明ひょうめい：

所有しょゆう進入しんにゅう某ぼう節點せってん的てき電流でんりゅう的てき總和そうわ等とう於所有しょゆう離はなれ開ひらき這節點てん的てき電流でんりゅう的てき總和そうわ。

或ある者もの，更さら詳細しょうさい描述，

假設かせつ進入しんにゅう某ぼう節點せってん的てき電流でんりゅう為ため正せい值，離はなれ開ひらき這節點てん的てき電流でんりゅう為ため負ふ值，則のり所有しょゆう涉わたる及這節點せってん的てき電流でんりゅう的てき代數だいすう和わ等とう於零。

以方程式ほうていしき表ひょう達たち，對たい於電路ろ的てき任意にんい節點せってん，

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$ ；

其中，$i_{k}$ 是ぜ第だい $k$ 個こ進入しんにゅう或ある離はなれ開ひらき這節點てん的てき電流でんりゅう，是ぜ流りゅう過か與あずか這節點てん相しょう連接れんせつ的てき第だい $k$ 個こ支ささえ路ろ的てき電流でんりゅう，可か以是實數じっすう或ある複數ふくすう。

由よし於累積るいせき的てき電荷でんか（單位たんい為ため庫くら侖）是ぜ電流でんりゅう（單位たんい為ため安やす培つちかえ）與あずか時間じかん（單位たんい為ため秒びょう）的てき乘じょう積せき，從したがえ電荷でんか守恆もりつね定律ていりつ可か以推導出どうしゅつ這條定律ていりつ。其实质是稳恒电流的てき连续性せい方かた程ほど，即そく根ね据すえ电荷守恒もりつね定律ていりつ，流ながれ向こう节点的てき电流之の和かず等ひとし于流出りゅうしゅつ节点的てき电流之の和わ。

導しるべ引

思考しこう電路でんろ的てき某ぼう節點せってん，跟這節點せってん相しょう連接れんせつ有ゆう $n$ 個こ支ささえ路ろ。假設かせつ進入しんにゅう這節點てん的てき電流でんりゅう為ため正せい值，離はなれ開ひらき這節點てん的てき電流でんりゅう為ため負ふ值，則のり經過けいか這節點てん的てき總そう電流でんりゅう $i$ 等とう於流過か支ささえ路ろ $k$ 的てき電流でんりゅう $i_{k}$ 的てき代數だいすう和わ：

$i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}$ 。

將はた這方程式ほうていしき積分せきぶん於時間あいだ，可か以得到いた累積るいせき於這節點せってん的てき電荷でんか的てき方程式ほうていしき：

$q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}$ ；

其中，$q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm {d} t'$ 是ぜ累積るいせき於這節點せってん的てき總そう電荷でんか，$q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrm {d} t'$ 是ぜ流りゅう過か支ささえ路ろ $k$ 的てき電荷でんか，$t$ 是ぜ檢けん驗けん時間じかん，$t'$ 是ぜ積分せきぶん時間じかん變數へんすう。

假設かせつ $q>0$ ，則のり正せい電荷でんか會かい累積るいせき於節點てん；否ひ則そく，負ふ電荷でんか會かい累積るいせき於節點てん。根據こんきょ電荷でんか守恆もりつね定律ていりつ， $q$ 是これ個こ常數じょうすう，不能ふのう夠隨著ちょ時間じかん演えんじ進すすむ而改變かいへん。由よし於這節點せってん是ぜ個こ導體どうたい，不能ふのう儲もうか存そん任にん何なん電荷でんか。所以ゆえん，$q=0$ 、$i=0$ ，基き爾しか霍夫電流でんりゅう定律ていりつ成立せいりつ：

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$ 。

含時電荷でんか密度みつど

從したがえ上述じょうじゅつ推導可か以看到いた，只ただ有ゆう當とう電荷でんか量りょう為ため常つね數すう時じ，基き爾しか霍夫電流でんりゅう定律ていりつ才ざい會かい成立せいりつ。通常つうじょう，這不是ぜ個こ問題もんだい，因よし為ため靜せい電力でんりょく相あい斥作用よう，會かい阻止そし任にん何なん正せい電荷でんか或ある負ふ電荷でんか隨時ずいじ間あいだ演えんじ進すすむ而累積るいせき於節點てん，大だい多た時候じこう，節點せってん的てき淨きよし電荷でんか是ぜ零れい。

不ふ過か，電でん容器ようき的てき兩りょう塊かたまり導しるべ板ばん可能かのう會かい允許いんきょ正せい電荷でんか或ある負ふ電荷でんか的てき累積るいせき。這是因いん為ため電でん容器ようき的てき兩りょう塊かたまり導しるべ板ばん之の間あいだ的てき空隙くうげき，會かい阻止そし分別ふんべつ累積るいせき於兩塊かたまり導しるべ板いた的てき異性いせい電荷でんか相しょう遇ぐう，從したがえ而互相しょう抵消。對たい於這狀況じょうきょう，流ながれ向こう其中任にん何なん一塊導板的電流總和等於電荷累積的速率，而不是ぜ零れい。但ただし是ぜ，若わか將しょう位い移うつり電流でんりゅう $\mathbf {J} _{D}$ 納入のうにゅう考慮こうりょ，則のり基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ依然いぜん有效ゆうこう。詳しょう盡つき細ぼそ節ふし，請參閱條目め位い移うつり電流でんりゅう。只ただ有ゆう當とう應用おうよう基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ於電容器ようき內部的てき導しるべ板ばん時じ，才ざい需要じゅよう這樣思考しこう。若わか應用おうよう於電路でんろ分析ぶんせき（circuit analysis）時じ，電でん容器ようき可か以視為ため一いち個こ整體せいたい元もと件けん，淨きよし電荷でんか是ぜ零れい，所しょ以原先さき的てき電流でんりゅう定律ていりつ仍適用てきよう。

由よし更さら技術ぎじゅつ性的せいてき層そう面めん來らい說せつ，取と散ち度たび於馬克かつ士し威い修正しゅうせい的てき安やす培つちかえ定律ていりつ，然しか後ご與あずか高こう斯定律ていりつ相あい結合けつごう，即そく可か得え到いた基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ：

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-\epsilon _{0}\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ ；

其中，$\mathbf {J}$ 是これ電流でんりゅう密度みつど，$\epsilon _{0}$ 是これ電でん常數じょうすう，$\mathbf {E}$ 是これ電場でんじょう，$\rho$ 是ぜ電荷でんか密度みつど。

這是電荷でんか守恆もりつね的てき微分びぶん方程式ほうていしき。以積分せきぶん的てき形式けいしき表ひょう述じゅつ，從したがえ封ふう閉表面めん流出りゅうしゅつ的てき電流でんりゅう等とう於在這封閉表面めん內部的てき電荷でんか $Q$ 的てき流失りゅうしつ率りつ：

$\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}$ 。

基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ等價とうか於電流りゅう的てき散ち度たび是ぜ零れい的てき論述ろんじゅつ。對たい於不含時電荷でんか密度みつど $\rho$ ，這定律ていりつ成立せいりつ。對たい於含時じ電荷でんか密度みつど，則のり必需ひつじゅ將しょう位い移うつり電流でんりゅう納入のうにゅう考慮こうりょ。

應用おうよう

以矩のり陣じん表ひょう達たち的てき基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ是ぜ眾多電路でんろ模擬もぎ軟件（electronic circuit simulation）的てき理論りろん基礎きそ，例れい如，SPICE或あるNI Multisim。

基もと爾なんじ霍夫電壓でんあつ定律ていりつ

沿著閉合迴路所有しょゆう元もと件けん兩端りょうたん的てき電壓でんあつ的てき代數だいすう和わ等とう於零。對たい於本圖案ずあん例れい，$v_{1}+v_{2}+v_{3}-v_{4}=0$ 。

基もと爾なんじ霍夫電壓でんあつ定律ていりつ又また稱たたえ為ため基もと爾なんじ霍夫第だい二に定律ていりつ，表明ひょうめい：

沿著閉合迴路所有しょゆう元もと件けん兩端りょうたん的てき電でん勢ぜい差さ（電壓でんあつ）的てき代數だいすう和わ等とう於零。

或ある者もの，換かわ句く話はなし說せつ，

沿著閉合迴路的てき所有しょゆう電動でんどう勢ぜい的てき代數だいすう和わ等とう於所有しょゆう電壓でんあつ降くだ的てき代數だいすう和わ。

以方程式ほうていしき表ひょう達たち，對たい於電路ろ的てき任意にんい閉合迴路，

$\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0$ ；

其中，$m$ 是ぜ這閉合あい迴路的てき元もと件數けんすう目め，$v_{k}$ 是ぜ元もと件けん兩端りょうたん的てき電壓でんあつ，可か以是實數じっすう或ある複數ふくすう。

基もと尔霍夫おっと电压定律ていりつ不ふ仅应用よう于闭合あい回路かいろ，也可以把它推广应用よう于回路ろ的てき部分ぶぶん电路。

電場でんじょう與あずか電でん勢ぜい

在ざい靜しずか電でん學がく裏うら，電でん勢ぜい定義ていぎ為ため電場でんじょう的てき負まけ線せん積分せきぶん：

$\phi (\mathbf {r} ){\stackrel {def}{=}}-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!$ ；

其中，$\phi (\mathbf {r} )$ 是ぜ電でん勢ぜい，$\mathbf {E}$ 是ぜ電場でんじょう，$\mathbb {L}$ 是ぜ從したがえ參考さんこう位置いち到いた位置いち $\mathbf {r}$ 的まと路ろ徑みち，$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ 是ぜ這路徑みち的てき微小びしょう線せん元素げんそ。

那な麼，基き爾しか霍夫電壓でんあつ定律ていりつ可か以等價とうか表ひょう達たち為ため：

$\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =0$ ；

其中，$\mathbb {C}$ 是ぜ積分せきぶん的てき閉合迴路。

這方程式ほうていしき乃是法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ對たい於一個特殊狀況的簡化版本。假設かせつ通過つうか閉合迴路 $\mathbb {C}$ 的てき磁通量りょう為ため常數じょうすう，則のり這方程式ほうていしき成立せいりつ。

這方程式ほうていしき指ゆび明あきら，電場でんじょう沿著閉合迴路 $\mathbb {C}$ 的まと線せん積分せきぶん為ため零れい。將はた這線積分せきぶん切きり割わり為ため幾いく段だん支ささえ路ろ，就可以分別べつ計算けいさん每ごと一いち段だん支ささえ路ろ的てき電壓でんあつ。

理論りろん限げん制せい

由よし於含時じ電流でんりゅう會かい產さん生せい含時磁場じば，通過つうか閉合迴路 $\mathbb {C}$ 的てき磁通量りょう是ぜ時間じかん的てき函數かんすう，根據こんきょ法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ，會かい有ゆう電動でんどう勢ぜい ${\mathcal {E}}$ 出現しゅつげん於閉合あい迴路 $\mathbb {C}$ 。所以ゆえん，電場でんじょう沿著閉合迴路 $\mathbb {C}$ 的まと線せん積分せきぶん不等ふとう於零。這是因いん為ため電流でんりゅう會かい將はた能のう量りょう傳でん遞給磁場じば；反はん之の亦また然しか，磁場じば亦また會かい將はた能のう量りょう傳でん遞給電流でんりゅう。

對たい於含有がんゆう電でん感かん器き的てき電路でんろ，必需ひつじゅ將はた基もと爾なんじ霍夫電壓でんあつ定律ていりつ加か以修正しゅうせい。由よし於含時じ電流でんりゅう的てき作用さよう，電路でんろ的てき每ごと一いち個こ電でん感かん器き都會とかい產さん生せい對應たいおう的てき電動でんどう勢ぜい ${\mathcal {E}}_{k}$ 。必需ひつじゅ將はた這電動でんどう勢ぜい納入のうにゅう基もと爾なんじ霍夫電壓でんあつ定律ていりつ，才能さいのう求もとめ得え正確せいかく答案とうあん。

頻しき域いき

思考しこう單たん頻しき率りつ交流こうりゅう電路でんろ的てき任意にんい節點せってん，應用おうよう基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm {Re} {\Big \{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big \}}=\mathrm {Re} {\Big \{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big \}}=0$ ；

其中，$i_{k}$ 是ぜ第だい $k$ 個こ進入しんにゅう或ある離はなれ開ひらき這節點てん的てき電流でんりゅう，$I_{k}$ 是ぜ其振幅しんぷく，$\theta _{k}$ 是ぜ其相そう位い，$\omega$ 是ぜ角かく頻しき率りつ，$t$ 是ぜ時間じかん。

對たい於任意にんい時間じかん，這方程式ほうていしき成立せいりつ。所以ゆえん，設定せってい相そう量りょう $\mathbb {I} _{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}$ ，則のり可か以得到いた頻しき域いき的てき基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ，以方程式ほうていしき表ひょう達たち，

$\sum _{k=1}^{n}\mathbb {I} _{k}=0$ 。

頻しき域いき的てき基もと爾なんじ霍夫電流でんりゅう定律ていりつ表明ひょうめい：

所有しょゆう進入しんにゅう或ある離はなれ開ひらき節點せってん的てき電流でんりゅう相そう量りょう的てき代數だいすう和わ等とう於零。

這是節點せってん分析ぶんせき的てき基礎きそ定律ていりつ。

類似るいじ地ち，對たい於交流こうりゅう電路でんろ的てき任意にんい閉合迴路，頻しき域いき的てき基もと爾なんじ霍夫電壓でんあつ定律ていりつ表明ひょうめい：

沿著閉合迴路所有しょゆう元もと件けん兩端りょうたん的てき電壓でんあつ相しょう量的りょうてき代數だいすう和わ等とう於零。

以方程式ほうていしき表ひょう達たち，

$\sum _{k=1}^{m}\mathbb {V} _{k}=0$ ；

其中，$\mathbb {V} _{k}$ 是ぜ閉合迴路的てき元もと件けん兩端りょうたん的てき電壓でんあつ相しょう量りょう。

這是網目あみめ分析ぶんせき（mesh analysis）的てき基礎きそ定律ていりつ。

參考さんこう

• Paul, Clayton R. Fundamentals of Electric Circuit Analysis. John Wiley & Sons. 2001. ISBN 978-0-471-37195-3. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. 2004. ISBN 978-0-534-40842-8. 
• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0810-0. 

外部がいぶ連結れんけつ

• 麻あさ省しょう理工りこう學院がくいん電機でんき工程こうてい系けい視聽しちょう教學きょうがく：基もと爾なんじ霍夫定律ていりつ （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）。
• 國立こくりつ交通こうつう大學だいがく物理ぶつり系けい視聽しちょう教學きょうがく：電子でんし學がく。
• Kirchhoff's circuit laws on Khan Academy