基もと尔霍夫おっと电路定律ていりつ

  此条目め页的主ぬし题是基もと尔霍夫おっと电路定律ていりつ。关于其他由ゆかり古こ斯塔夫おっと·基もと尔霍夫おっと所ところ命名めいめい的てき定律ていりつ，请见“基もと尔霍夫おっと定律ていりつ”。

古こ斯塔夫おっと·基もと尔霍夫おっと

基もと尔霍夫おっと电路定律ていりつ（Kirchhoff Circuit Laws）简称为基もと尔霍夫おっと定律ていりつ，指ゆび的てき是ぜ两条电路学がく定律ていりつ，基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ与あずか基もと尔霍夫おっと电压定律ていりつ。它们涉わたる及了电荷的てき守恒もりつね及电势的てき保守ほしゅ性せい。1845年ねん，古こ斯塔夫おっと·基もと尔霍夫おっと首くび先さき提出ていしゅつ基もと尔霍夫おっと电路定律ていりつ。现在，这定律ていりつ被ひ广泛地ち应用于电机工程こうてい学がく。

从马克士し威い方かた程ほど组可か以推导出基もと尔霍夫おっと电路定律ていりつ。但ただし是ぜ，基き尔霍夫おっと并不是ぜ依よ循这条じょう思おもえ路ろ发展，而是从格かく奥おく尔格·欧おう姆的てき工作こうさく成果せいか加か以推广得之の。

基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ

所有しょゆう进入节点的てき电流的てき总和等とう于所有しょゆう离开这节点てん的てき电流的てき总和。对于本ほん图案例れい，$i_{1}+i_{4}=i_{2}+i_{3}$ 。

基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ又また称たたえ为基もと尔霍夫おっと第だい一いち定律ていりつ，表明ひょうめい：

所有しょゆう进入某ぼう节点的てき电流的てき总和等とう于所有しょゆう离开这节点てん的てき电流的てき总和。

或ある者もの，更さら详细描述，

假かり设进入いれ某ぼう节点的てき电流为正值，离开这节点てん的てき电流为负值，则所有しょゆう涉わたる及这节点的てき电流的てき代数だいすう和わ等とう于零。

以方程式ほうていしき表ひょう达，对于电路的てき任意にんい节点，

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$ ；

其中，$i_{k}$ 是ぜ第だい $k$ 个进入いれ或ある离开这节点てん的てき电流，是ぜ流りゅう过与这节点てん相しょう连接的てき第だい $k$ 个支ささえ路ろ的てき电流，可か以是实数或ある复数。

由よし于累积的电荷（单位为库仑）是ぜ电流（单位为安やす培つちかえ）与あずか时间（单位为秒）的てき乘じょう积，从电荷守恒もりつね定律ていりつ可か以推导出这条定律ていりつ。其实质是稳恒电流的てき连续性せい方かた程ほど，即そく根ね据すえ电荷守恒もりつね定律ていりつ，流ながれ向こう节点的てき电流之の和かず等ひとし于流出りゅうしゅつ节点的てき电流之の和わ。

导引

思考しこう电路的てき某ぼう节点，跟这节点相しょう连接有ゆう $n$ 个支路ろ。假かり设进入にゅう这节点てん的てき电流为正值，离开这节点てん的てき电流为负值，则经过这节点的てき总电流りゅう $i$ 等とう于流过支路ろ $k$ 的てき电流 $i_{k}$ 的てき代数だいすう和わ：

$i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}$ 。

将はた这方程式ほうていしき积分于时间，可か以得到いた累るい积于这节点てん的てき电荷的てき方程式ほうていしき：

$q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}$ ；

其中，$q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm {d} t'$ 是ぜ累るい积于这节点てん的てき总电荷に，$q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrm {d} t'$ 是ぜ流りゅう过支路ろ $k$ 的てき电荷，$t$ 是ぜ检验时间，$t'$ 是ぜ积分时间变数。

假かり设 $q>0$ ，则正电荷会かい累るい积于节点；否いや则，负电荷に会かい累るい积于节点。根ね据すえ电荷守恒もりつね定律ていりつ， $q$ 是ぜ个常数すう，不能ふのう够随著ちょ时间演えんじ进而改あらため变。由よし于这节点是ぜ个导体，不能ふのう储存任にん何なん电荷。所以ゆえん，$q=0$ 、$i=0$ ，基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ成立せいりつ：

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$ 。

含时电荷密度みつど

从上述じょうじゅつ推导可か以看到いた，只ただ有ゆう当とう电荷量りょう为常数すう时，基き尔霍夫おっと电流定律ていりつ才ざい会かい成立せいりつ。通常つうじょう，这不是ぜ个问题，因いん为静せい电力相あい斥作用よう，会かい阻止そし任にん何なん正せい电荷或ある负电荷に随ずい时间演えんじ进而累るい积于节点，大だい多た时候，节点的てき净电荷に是ぜ零れい。

不ふ过，电容器き的てき两块导板可能かのう会かい允まこと许正电荷或ある负电荷に的てき累るい积。这是因いん为电容器ようき的てき两块导板之の间的空隙くうげき，会かい阻止そし分ぶん别累积于两块导板的てき异性电荷相しょう遇ぐう，从而互相抵消。对于这状况，流ながれ向こう其中任にん何なん一块导板的电流总和等于电荷累积的速率，而不是ぜ零れい。但ただし是ぜ，若わか将しょう位い移うつり电流 $\mathbf {J} _{D}$ 纳入考こう虑，则基尔霍夫おっと电流定律ていりつ依然いぜん有效ゆうこう。详尽细节，请参阅条目め位い移うつり电流。只ただ有ゆう当とう应用基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ于电容器ようき内部ないぶ的てき导板时，才さい需要じゅよう这样思考しこう。若わか应用于电路分析ぶんせき（circuit analysis）时，电容器き可か以视为一个整体せいたい元もと件けん，净电荷に是ぜ零れい，所しょ以原先さき的てき电流定律ていりつ仍适用よう。

由よし更さら技わざ术性的てき层面来らい说，取と散ち度たび于马克かつ士し威い修正しゅうせい的てき安やす培つちかえ定律ていりつ，然しか后きさき与あずか高こう斯定律ていりつ相あい结合，即そく可か得え到いた基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ：

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-\epsilon _{0}\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ ；

其中，$\mathbf {J}$ 是これ电流密度みつど，$\epsilon _{0}$ 是これ电常数すう，$\mathbf {E}$ 是これ电场，$\rho$ 是ぜ电荷密度みつど。

这是电荷守恒もりつね的てき微分びぶん方程式ほうていしき。以积分的てき形式けいしき表ひょう述じゅつ，从封闭表面めん流出りゅうしゅつ的てき电流等とう于在这封闭表面めん内部ないぶ的てき电荷 $Q$ 的てき流失りゅうしつ率りつ：

$\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}$ 。

基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ等とう价于电流的てき散ち度たび是ぜ零れい的てき论述。对于不ふ含时电荷密度みつど $\rho$ ，这定律ていりつ成立せいりつ。对于含时电荷密度みつど，则必需将位い移うつり电流纳入考こう虑。

应用

以矩のり阵表おもて达的基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ是ぜ众多电路模も拟软件けん（electronic circuit simulation）的てき理り论基础，例れい如，SPICE或あるNI Multisim。

基もと尔霍夫おっと电压定律ていりつ

沿著闭合回路かいろ所有しょゆう元もと件けん两端的てき电压的てき代数だいすう和わ等とう于零。对于本ほん图案例れい，$v_{1}+v_{2}+v_{3}-v_{4}=0$ 。

基もと尔霍夫おっと电压定律ていりつ又また称たたえ为基もと尔霍夫おっと第だい二に定律ていりつ，表明ひょうめい：

沿著闭合回路かいろ所有しょゆう元もと件けん两端的てき电势差さ（电压）的てき代数だいすう和わ等とう于零。

或ある者もの，换句话说，

沿著闭合回路かいろ的てき所有しょゆう电动势的代数だいすう和わ等とう于所有しょゆう电压降的てき代数だいすう和わ。

以方程式ほうていしき表ひょう达，对于电路的てき任意にんい闭合回路かいろ，

$\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0$ ；

其中，$m$ 是ぜ这闭合あい回路かいろ的てき元もと件数けんすう目め，$v_{k}$ 是ぜ元もと件けん两端的てき电压，可か以是实数或ある复数。

基もと尔霍夫おっと电压定律ていりつ不ふ仅应用よう于闭合あい回路かいろ，也可以把它推广应用よう于回路ろ的てき部分ぶぶん电路。

电场与电势

在ざい静せい电学里さと，电势定てい义为电场的てき负线积分ぶん：

$\phi (\mathbf {r} ){\stackrel {def}{=}}-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!$ ；

其中，$\phi (\mathbf {r} )$ 是ぜ电势，$\mathbf {E}$ 是ぜ电场，$\mathbb {L}$ 是ぜ从参考さんこう位置いち到いた位置いち $\mathbf {r}$ 的まと路ろ径みち，$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ 是ぜ这路径みち的てき微小びしょう线元素げんそ。

那な么，基き尔霍夫おっと电压定律ていりつ可か以等价表达为：

$\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =0$ ；

其中，$\mathbb {C}$ 是ぜ积分的てき闭合回路かいろ。

这方程式ほうていしき乃是法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ对于一个特殊状况的简化版本。假かり设通过闭合あい回路かいろ $\mathbb {C}$ 的てき磁通量りょう为常数すう，则这方程式ほうていしき成立せいりつ。

这方程式ほうていしき指ゆび明あきら，电场沿著闭合回路かいろ $\mathbb {C}$ 的てき线积分ぶん为零。将はた这线积分切きり割わり为几段だん支ささえ路ろ，就可以分别计算さん每ごと一いち段だん支ささえ路ろ的てき电压。

理り论限制せい

由よし于含时电流会りゅうかい产生含时磁场，通つう过闭合あい回路かいろ $\mathbb {C}$ 的てき磁通量りょう是ぜ时间的てき函数かんすう，根ね据すえ法ほう拉ひしげ第だい电磁感かん应定律ていりつ，会かい有ゆう电动势 ${\mathcal {E}}$ 出で现于闭合回路かいろ $\mathbb {C}$ 。所以ゆえん，电场沿著闭合回路かいろ $\mathbb {C}$ 的てき线积分ぶん不等ふとう于零。这是因いん为电流会りゅうかい将はた能のう量りょう传递给磁场；反はん之の亦また然しか，磁场亦また会かい将はた能のう量りょう传递给电流りゅう。

对于含有がんゆう电感器き的てき电路，必需ひつじゅ将はた基もと尔霍夫おっと电压定律ていりつ加か以修正しゅうせい。由よし于含时电流りゅう的てき作用さよう，电路的てき每ごと一いち个电感器き都会とかい产生对应的てき电动势 ${\mathcal {E}}_{k}$ 。必需ひつじゅ将はた这电动势纳入基もと尔霍夫おっと电压定律ていりつ，才能さいのう求もとめ得え正せい确答案あん。

频域

思考しこう单频率りつ交流こうりゅう电路的てき任意にんい节点，应用基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm {Re} {\Big \{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big \}}=\mathrm {Re} {\Big \{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big \}}=0$ ；

其中，$i_{k}$ 是ぜ第だい $k$ 个进入いれ或ある离开这节点てん的てき电流，$I_{k}$ 是ぜ其振幅しんぷく，$\theta _{k}$ 是ぜ其相そう位い，$\omega$ 是ぜ角かく频率，$t$ 是ぜ时间。

对于任意にんい时间，这方程式ほうていしき成立せいりつ。所以ゆえん，设定相そう量りょう $\mathbb {I} _{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}$ ，则可以得到いた频域的てき基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ，以方程式ほうていしき表ひょう达，

$\sum _{k=1}^{n}\mathbb {I} _{k}=0$ 。

频域的てき基もと尔霍夫おっと电流定律ていりつ表明ひょうめい：

所有しょゆう进入或ある离开节点的てき电流相そう量りょう的てき代数だいすう和わ等とう于零。

这是节点分析ぶんせき的てき基もと础定律ていりつ。

类似地ち，对于交流こうりゅう电路的てき任意にんい闭合回路かいろ，频域的てき基もと尔霍夫おっと电压定律ていりつ表明ひょうめい：

沿著闭合回路かいろ所有しょゆう元もと件けん两端的てき电压相しょう量的りょうてき代数だいすう和わ等とう于零。

以方程式ほうていしき表ひょう达，

$\sum _{k=1}^{m}\mathbb {V} _{k}=0$ ；

其中，$\mathbb {V} _{k}$ 是ぜ闭合回路かいろ的てき元もと件けん两端的てき电压相しょう量りょう。

这是网目分析ぶんせき（mesh analysis）的てき基もと础定律ていりつ。

参考さんこう

• Paul, Clayton R. Fundamentals of Electric Circuit Analysis. John Wiley & Sons. 2001. ISBN 978-0-471-37195-3. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. 2004. ISBN 978-0-534-40842-8. 
• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0810-0. 

外部がいぶ链接

• 麻あさ省しょう理工りこう学院がくいん电机工程こうてい系けい视听教学きょうがく：基もと尔霍夫おっと定律ていりつ （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）。
• 国立こくりつ交通こうつう大学だいがく物理ぶつり系けい视听教学きょうがく：电子学がく。
• Kirchhoff's circuit laws on Khan Academy