傑すぐる斐緬柯方程式ほうていしき

在ざい這篇文章ぶんしょう內，向むかい量りょう與あずか标量分別ふんべつ用よう粗そ體からだ與あずか斜體しゃたい顯示けんじ。例れい如，位置いち向こう量りょう通どおり常用じょうよう $\mathbf {r} \,\!$ 表示ひょうじ；而其大小だいしょう則そく用よう $r\,\!$ 來らい表示ひょうじ。檢けん驗けん變數へんすう或ある場ば變數へんすう的てき標記ひょうき的てき後ご面めん沒ぼつ有ゆう單たん撇號「$'\,\!$」；源げん變數へんすう的てき標記ひょうき的てき後ご面めん有ゆう單たん撇號「$'\,\!$」。

在ざい電磁でんじ學がく裏うら，給きゅう予よ含時電荷でんか密度みつど分ぶん佈和電流でんりゅう密度みつど分ぶん佈，可か以使用しよう傑すぐる斐緬柯方程式ほうていしき（Jefimenko equation）來らい計算けいさん電場でんじょう和わ磁場じば。這方程式ほうていしき因いん其發現はつげん者しゃ物理ぶつり學がく家か歐おう雷かみなり格かく·傑すぐる斐緬柯而命名めいめい。傑すぐる斐緬柯方程式ほうていしき是ぜ馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ對たい於這些電荷でんか密度みつど分ぶん佈和電流でんりゅう密度みつど分ぶん佈的解答かいとう。

在ざい真空しんくう內的電磁場でんじば

給きゅう予よ在ざい源みなもと位置いち$\mathbf {r} '$的てき電流でんりゅう或ある電荷でんか分ぶん佈，計算けいさん在ざい場じょう位置いち$\mathbf {r}$產さん生せい的てき電でん勢いきおい或ある磁向量りょう勢ぜい。

在ざい真空しんくう內，電場でんじょう$\mathbf {E}$和かず磁場じば$\mathbf {B}$可か以用傑すぐる斐緬柯方程式ほうていしき表ひょう達たち為ため：

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\left[\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r}){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]d^{3}\mathbf {r} '$、

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {V}}'}\left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ d^{3}\mathbf {r} '$ ;

其中，$\mathbf {r}$是ぜ場じょう位置いち，$\mathbf {r} '$是ぜ源げん位置いち，$t$是ぜ現在げんざい時間じかん，$t_{r}$是これ推遲時間じかん，$\epsilon _{0}$是これ電でん常數じょうすう，$\mu _{0}$是これ磁常數すう，$\rho$是これ電荷でんか密度みつど，${\dot {\rho }}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}$定義ていぎ為ため電荷でんか密度みつど對たい於時間あいだ的てき偏へん導しるべ數すう，$\mathbf {J}$是これ電流でんりゅう密度みつど，${\dot {\mathbf {J} }}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}$定義ていぎ為ため電流でんりゅう密度みつど對たい於時間あいだ的てき偏へん導しるべ數すう，${\mathcal {V}}'$是ぜ體積たいせき分ぶん的てき空間くうかん，$d^{3}\mathbf {r} '$是ぜ微小びしょう體たい元素げんそ。

推導

給きゅう予よ電荷でんか密度みつど分ぶん佈$\rho (\mathbf {r} ',\,t)$和かず電流でんりゅう密度みつど分ぶん佈$\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t)$，推遲純量じゅんりょう勢ぜい$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$和かず推遲向むこう量りょう勢ぜい$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$分別ふんべつ用よう方程式ほうていしき定義ていぎ為ため（參まいり閱推遲勢ぜい）

$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$、

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$。

推遲時間じかん$t_{r}$定義ていぎ為ため現在げんざい時間じかん$t$減へ去ざ光波こうは傳播でんぱ的てき時間じかん：

$t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$；

其中，$c$是これ光速こうそく。

在ざい這兩個りゃんこ非ひ靜態せいたい的てき推遲勢ぜい方程式ほうていしき內，源みなもと電荷でんか密度みつど和わ源げん電流でんりゅう密度みつど都と跟推遲おそ時間じかん$t_{r}$有ゆう關せき，而不是ぜ跟時間あいだ無關むせき。

推遲勢いきおい與あずか電場でんじょう$\mathbf {E}$、磁場じば$\mathbf {B}$的てき關係かんけい分別ふんべつ為ため

$\mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$、

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$。

設定せってい${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$為ため從したがえ源げん位置いち到いた場じょう位置いち的てき分離ぶんり向こう量りょう：

${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '$。

場ば位置いち$\mathbf {r}$、源みなもと位置いち$\mathbf {r} '$和わ時間じかん$t$都みやこ是ただし自じ變數へんすう。分離ぶんり向こう量りょう${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$和かず其大小しょう${\mathfrak {R}}$都みやこ是ただし應おう變數へんすう，跟場位置いち$\mathbf {r}$、源みなもと位置いち$\mathbf {r} '$有ゆう關せき。推遲時間じかん$t_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c$也是應おう變數へんすう，跟時間あいだ$t$、分離ぶんり距離きょり${\mathfrak {R}}$有ゆう關せき。

推遲純量じゅんりょう勢ぜい$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$的てき梯はしご度ど是これ

$\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\nabla \left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\right)\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\left[{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}+\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '$。

源みなもと電荷でんか密度みつど$\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$的てき全ぜん微分びぶん是これ

${\begin{aligned}d\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}dt_{r}\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left({\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} +\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} ')\right]\\\end{aligned}}$ 。

注意ちゅうい到いた

${\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}={\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}={\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}$、

$\nabla {\mathfrak {R}}={\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}$。

所以ゆえん，源みなもと電荷でんか密度みつど$\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$的てき梯はしご度ど是ぜ

$\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}$；

其中，${\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})$定義ていぎ為ため${\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}$。

將はた這公式しき代入だいにゅう，推遲純量じゅんりょう勢ぜい$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$的てき梯はしご度ど是ぜ

$\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '$。

推遲向むこう量りょう勢ぜい$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$對たい於時間あいだ的てき偏へん導しるべ數すう為ため：

${\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$。

綜合そうごう前面ぜんめん這兩個りゃんこ公式こうしき，可か以得到いた電場でんじょう的てき傑すぐる斐緬柯方程式ほうていしき。同樣どうよう方法ほうほう，可か以得到いた磁場じば的てき傑すぐる斐緬柯方程式ほうていしき。

在ざい介かい質しつ內的電磁場でんじば

對たい於任意にんい介かい質しつ，將はた前面ぜんめん所しょ述じゅつ電場でんじょう和わ磁場じば的てき方程式ほうていしき加か以延伸えんしん，可か以從電荷でんか密度みつど$\rho$、電流でんりゅう密度みつど$\mathbf {J}$、電極でんきょく化か強度きょうど$\mathbf {P}$、磁化じか强度きょうど$\mathbf {M}$，計けい算出さんしゅつ電場でんじょう$\mathbf {E}$、電位でんい移うつり$\mathbf {D}$、磁感應おう強度きょうど$\mathbf {B}$、磁場じば強度きょうど$\mathbf {H}$。

電場でんじょう和わ磁場じば的てき因果いんが關係かんけい

很多物理ぶつり學がく家か藉著馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ來らい詮かい釋しゃく為ため甚麼いんも含時電場でんじょう與あずか含時磁場じば會かい互相生成せいせい。這詮釋しゃく常つね常會じょうかい被ひ納入のうにゅう電磁波でんじは形成けいせい的てき理論りろん。但ただし是ぜ，傑すぐる斐緬柯方程式ほうていしき顯示けんじ出で，實際じっさい上じょう並なみ不ふ是ぜ這樣。傑すぐる斐緬柯闡明せんめい：

馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ和わ其解答かいとう，都と沒ぼつ有ゆう指ゆび明あかり電場でんじょう和わ磁場じば之の間あいだ的てき因果いんが關係かんけい。因よし此總結ゆい，電磁場でんじば是ぜ一いち個こ對偶たいぐう實體じったい，是ぜ由よし含時電荷でんか分ぶん佈和含時電流でんりゅう分ぶん佈共同どう同時どうじ產さん生せい的てき電場でんじょう和わ磁場じば。
— 歐おう雷かみなり格かく·傑すぐる斐緬柯， Causality Electromagnetic Induction and Gravitation，第だい16頁ぺーじ

參まいり閱

• 電磁波でんじは方程式ほうていしき
• 非ひ齊ひとし次じ的てき電磁波でんじは方程式ほうていしき
• 電磁場でんじば的てき數學すうがく表ひょう述じゅつ
• 黎はじむ納おさめ-維謝勢ぜい
• 拉ひしげ莫方程式ほうていしき
• 阿おもね布ぬの拉ひしげ罕-勞ろう侖茲力りょく
• 狹義きょうぎ相對そうたい論ろん