洛らく伦兹力りょく

在ざい這篇文章ぶんしょう內，向むかい量りょう與あずか标量分別ふんべつ用よう粗そ體からだ與あずか斜體しゃたい顯示けんじ。例れい如，位置いち向こう量りょう通どおり常用じょうよう $\mathbf {r} \,\!$ 表示ひょうじ；而其大小だいしょう則そく用よう $r\,\!$ 來らい表示ひょうじ。

不同ふどう電荷でんか量りょう$q$的てき帶電たいでん粒子りゅうし，由ゆかり於磁場じょう$\mathbf {B}$（磁場じば方向ほうこう從したがえ屏へい幕まく內指出來でき）的てき影響えいきょう，感受かんじゅ到いた勞ろう侖茲力りょく的てき作用さよう，所しょ呈てい現げん的てき可能かのう運動うんどう軌道きどう。

由よし於磁場じょう的てき影響えいきょう，電子でんし射しゃ束たば的てき移動いどう路ろ徑みち呈てい圓形えんけい。電子でんし經過けいか的てき路ろ徑みち會かい有ゆう紫色むらさきいろ光こう發射はっしゃ出來でき。這是因いん為ため電子でんし與あずか玻璃はり球だま內的氣體きたい分子ぶんし碰撞而產生せい的てき現象げんしょう。

在ざい電動でんどう力學りきがく裡うら，勞ろう侖茲力りょく（Lorentz force）是ぜ運動うんどう於電磁場でんじば的てき帶電たいでん粒子りゅうし所感しょかん受到的てき作用さよう力りょく。勞ろう侖茲力りょく是ぜ因いん荷に蘭らん物理ぶつり學者がくしゃ亨とおる德とく里さと克かつ·勞ろう侖茲而命名めいめい。根據こんきょ勞ろう侖茲力りょく定律ていりつ，勞ろう侖茲力りょく可か以用方程式ほうていしき，稱たたえ為ため勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき，表ひょう達たち為ため

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$；

其中，$\mathbf {F}$是ぜ勞ろう侖茲力りょく，$q$是ぜ帶電たいでん粒子りゅうし的てき電荷でんか量りょう，$\mathbf {E}$是これ電場でんじょう强度きょうど，$\mathbf {v}$是ぜ帶電たいでん粒子りゅうし的てき速度そくど，$\mathbf {B}$是これ磁感应强度きょうど。

勞ろう侖茲力りょく定律ていりつ是ぜ一いち個こ基本きほん公理こうり，不ふ是ぜ從したがえ別べつ的てき理論りろん推導出來でき的てき定律ていりつ，而是由ゆかり多た次つぎ重複じゅうふく完成かんせい的てき實驗じっけん所得しょとく到いた的てき同樣どうよう的てき結果けっか。

感受かんじゅ到いた電場でんじょう的てき作用さよう，正せい電荷でんか會かい朝あさ著ちょ電場でんじょう的てき方向ほうこう加速かそく；但ただし是ぜ感かん受到磁場じば的てき作用さよう，按照右手みぎて定則ていそく，正せい電荷でんか會かい朝あさ著ちょ垂直すいちょく於速度そくど$\mathbf {v}$和かず磁場じば$\mathbf {B}$的てき方向ほうこう彎曲わんきょく（詳細しょうさい地ち說せつ，假設かせつ右手みぎて的てき大だい拇指ぼし與あずか$\mathbf {v}$同どう向むかい，食指しょくし與あずか$\mathbf {B}$同どう向むかい，則のり掌てのひら心こころ推出的てき方向ほうこう为$\mathbf {F}$的てき方向ほうこう）。

勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき的てき$q\mathbf {E}$項目こうもく是ぜ電場でんじょう力りょく項目こうもく，$q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$項目こうもく是ぜ磁場じば力りょく項目こうもく。處ところ於磁場じょう內的載の電導でんどう線せん感かん受到的てき磁場じば力りょく就是這勞侖茲力りょく的てき磁場じば力りょく分量ぶんりょう。

勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき的てき积分形式けいしき为

$\mathbf {F} =\int _{\mathbb {V} }(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\ \mathrm {d} \tau$。

其中，$\mathbb {V}$是ぜ積分せきぶん的てき體積たいせき，$\rho$是これ電荷でんか密度みつど，$\mathbf {J}$是これ電流でんりゅう密度みつど，$\mathrm {d} \tau$是ぜ微小びしょう體たい元素げんそ。

勞ろう侖茲力りょく密度みつど$\mathbf {f}$是ぜ單位たんい體積たいせき的てき勞ろう侖茲力りょく，表ひょう達たち為ため：

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B}$。

歷史れきし

亨とおる德とく里さと克かつ·勞ろう侖茲

1892年ねん，荷に兰物理ぶつり学がく家か亨とおる德とく里さと克かつ·勞ろう侖茲提出ていしゅつ勞ろう侖茲力りょく的てき概念がいねん。但ただし是ぜ，在ざい勞ろう侖茲之の前まえ，就已經けい有ゆう發掘はっくつ出で勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき的てき形式けいしき，特別とくべつ是ぜ在ざい詹姆斯·馬うま克かつ士し威たけし的てき1861年ねん論文ろんぶん《論ろん物理ぶつり力りょく線せん》裏うら的てき公式こうしき（77）：

$P=\mu \gamma {\frac {dy}{dt}}-\mu \beta {\frac {dz}{dt}}+{\frac {dF}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dx}}$、

$Q=\mu \alpha {\frac {dz}{dt}}-\mu \gamma {\frac {dx}{dt}}+{\frac {dG}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dy}}$、

$R=\mu \beta {\frac {dx}{dt}}-\mu \alpha {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dz}}$；

其中，$P$、$Q$、$R$分別ふんべつ為ため電場でんじょう的てき三さん個こ分量ぶんりょう，$\mu$是これ磁導率りつ，${\frac {dx}{dt}}$、${\frac {dy}{dt}}$、${\frac {dz}{dt}}$分別ふんべつ為ため導しるべ電でん體からだ的てき移動いどう速度そくど的てき三さん個こ分量ぶんりょう，$\alpha$、$\beta$、$\gamma$分別ふんべつ為ため磁場じば強度きょうど的てき三さん個こ分量ぶんりょう，$F$、$G$、$H$分別ふんべつ為ため磁矢勢ぜい的てき三さん個こ分量ぶんりょう，$\Psi$是これ電でん勢ぜい。

後來こうらい，在ざい他た的てき1864年ねん論文ろんぶん《電磁場でんじば的てき動力どうりょく學理がくり論ろん》裏うら，馬うま克かつ士し威い將はた這公式しき列れつ為ため馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ的てき八はち個こ原本げんぽん方程式ほうていしき中ちゅう的てき方程式ほうていしき（D）:

$\mathbf {E} =\mathbf {v} \times (\mu \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi$；

其中，$\mathbf {v}$是ぜ速度そくど，$\mathbf {H}$是ぜ磁場じば強度きょうど，$\mu$是ぜ磁導率りつ，$\mathbf {A}$是ぜ磁矢勢ぜい，$\phi$是ぜ電でん勢ぜい。

很明顯あらわ地ち，馬うま克かつ士し威い版ばん是ぜ現代げんだい版ばん的てき前ぜん導しるべ。兩個りゃんこ版本はんぽん的てき差別さべつ為ため：

• 馬うま克かつ士し威い版ばん並なみ沒ぼつ有ゆう特とく意地いじ提ひっさげ到いた電荷でんか。馬うま克かつ士し威い稱しょう物理ぶつり量りょう$\mathbf {E}$為ため電動でんどう力りょく（electromotive force）。這英文えいぶん原文げんぶん與あずか電動でんどう勢ぜい的てき英文えいぶん原文げんぶん相しょう同どう。很多物理ぶつり學がく家か都と對たい英文えいぶん原文げんぶん表示ひょうじ意見いけん，認みとめ為ため會かい造成ぞうせい困惑こんわく，是これ個こ相當そうとう不精ぶしょう確かく的てき術語じゅつご。從したがえ方程式ほうていしき形式けいしき和わ單位たんい分析ぶんせき方面ほうめん來らい看み，這物理ぶつり量りょう對應たいおう於現代だい的てき物理ぶつり量りょう單位たんい電荷でんか的てき勞ろう侖茲力りょく。
• 馬うま克かつ士し威い版ばん包つつみ含有がんゆう現在げんざい稱しょう為ため電場でんじょう的てき項目こうもく，以電でん勢ぜい$\phi$和わ磁向量りょう勢ぜい$\mathbf {A}$來らい表ひょう達たち：

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$。

取と旋度於這表ひょう達たち式しき，就可以得到いた法ほう拉ひしげ第だい-馬うま克かつ士し威い方程式ほうていしき：

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$。

因いん此，這表達たち式しき等價とうか於法拉ひしげ第だい-馬うま克かつ士し威い方程式ほうていしき。儘管勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき來き自じ於原本げんぽん的てき一條馬克士威方程式，現在げんざい，經過けいか奧おく利とし弗どる·黑くろ維塞重じゅう新しん表ひょう述じゅつ後ご的てき勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき，不ふ再さい被ひ視し為ため馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ中ちゅう的てき一員いちいん，而成為ため伴とも隨ずい馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ的てき一條獨立基要的定律。

勞ろう侖茲力りょく定律ていりつ的てき重要じゅうよう意義いぎ

當とう馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ描繪帶電たいでん粒子りゅうし怎樣產さん生せい電磁場でんじば的てき同時どうじ，勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき描繪了りょう移動いどう於電磁場でんじば的てき帶電たいでん粒子りゅうし所感しょかん受到的てき電磁でんじ力りょく。這使得とく整せい個こ電磁でんじ動力どうりょく的てき圖畫ずが得とく以完整せい。在ざい一いち個こ複雜ふくざつ的てき物理ぶつり系統けいとう裏うら，帶電たいでん粒子りゅうし可能かのう還かえ會かい感かん受到別種べっしゅ作用さよう力りょく，像ぞう萬有引力ばんゆういんりょく或ある核かく力りょく。馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ並なみ非ひ與あずか這些作用さよう力りょく完全かんぜん無關むせき；而是通過つうか帶電たいでん粒子りゅうし或ある電流でんりゅう密度みつど與あずか這些作用さよう力りょく耦合。

對たい於實際ぎわ的てき物質ぶっしつ，在ざい原則げんそく上じょう和わ計算けいさん的てき複雜ふくざつ程度ていど上じょう，勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき都と不足ふそく以描述じゅつ一いち群ぐん粒子りゅうし的てき物理ぶつり行為こうい。在ざい物質ぶっしつ介かい質しつ裏うら的てき帶電たいでん粒子りゅうし，必須ひっす同時どうじ地ち響ひびき應おう和わ生成せいせい電磁場でんじば。除じょ此以外がい，還かえ必須ひっす考慮こうりょ到いた描述這一群粒子的運動的傳輸方程式，例れい如，波なみ茲曼傳でん輸方程式ほうていしき（Boltzmann equation）、福ぶく克かつ-普ひろし朗ろう克かつ方程式ほうていしき（Fokker–Planck equation）、納おさめ維-斯托克かつ斯方程式ほうていしき、等ひとし等とう。請參閱磁流體力たいりょく學がく、超ちょう導しるべ現象げんしょう、恆星こうせい演えんじ化か、等ひとし等とう。在ざい這些學術がくじゅつ領域りょういき研究けんきゅう的てき科學かがく家か必須ひっす解析かいせき複雜ふくざつ的てき傳つて輸方程式ほうていしき，求もとめ得とく帶電たいでん粒子りゅうし在ざい時間じかん和わ空間くうかん方面ほうめん的てき響ひびき應おう。

或ある許もと有ゆう些讀者しゃ會かい認みとめ為ため這些理論りろん只ただ是ぜ靠もたれ著ちょ近似きんじ來らい處理しょり一いち個こ大だい系けい綜的てき帶電たいでん粒子りゅうし。從したがえ更さら深ふか的てき層そう面めん來らい看み，帶電たいでん粒子りゅうし也會對たい非ひ電磁でんじ力りょく，像ぞう萬有引力ばんゆういんりょく，核かく力りょく或ある邊あたり界かい條件じょうけん等ひとし等とう，產さん生せい響ひびき應おう。

粒子りゅうし的てき運動うんどう軌道きどう

給きゅう予よ作用さよう於粒子りゅうし的てき勞ろう侖茲力りょく的てき公式こうしき，將はた這公式しき代入だいにゅう牛うし頓ひたぶる第だい二に運動うんどう定律ていりつ，可か以得到いた粒子りゅうし的てき運動うんどう方程式ほうていしき。解析かいせき這運動うんどう方程式ほうていしき，就可以找到粒子りゅうし的てき運動うんどう軌道きどう。

範はん例れい：回旋かいせん加速器かそくき

移動いどう於均勻磁場じょう$\mathbf {B}$（從したがえ顯示けんじ螢ぼたる幕まく外がい，指ゆび入にゅう顯示けんじ螢ぼたる幕まく），正せい電荷でんか的てき圓周えんしゅう運動うんどう軌道きどう。

在ざい一いち個こ簡單かんたん的てき迴旋加速器かそくき內，均ひとし勻磁場じょう是ぜ$\mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}$，電場でんじょう是ぜ零れい。那な麼，運動うんどう於xy-平面へいめん的てき帶電たいでん粒子りゅうし$q$所感しょかん受到的てき勞ろう侖茲力りょく$\mathbf {F}$為ため

$\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$。

將はた這公式しき代入だいにゅう牛うし頓ひたぶる第だい二に運動うんどう定律ていりつ，

$m\mathbf {a} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$；

其中，$m$是ぜ帶電たいでん粒子りゅうし的てき質量しつりょう，$\mathbf {a}$是ぜ帶電たいでん粒子りゅうし的てき加速度かそくど。

由よし於帶電たいでん粒子りゅうし的てき加速度かそくど與あずか速度そくど互相垂直すいちょく，帶電たいでん粒子りゅうし呈てい圓周えんしゅう運動うんどう。假設かせつ粒子りゅうし帶たい有正ありまさ電荷でんか，則のり這公式しき的てき一般いっぱん解答かいとう為ため

$\mathbf {r} =r_{c}(\cos \omega t,\,-\sin \omega t,\,0)$；

其中，$\mathbf {r}$是ぜ帶電たいでん粒子りゅうし的てき圓周えんしゅう運動うんどう軌道きどう，$r_{c}$是ぜ圓周えんしゅう半徑はんけい，$\omega =qB/m$是ぜ旋轉せんてん角速度かくそくど，$t$是ぜ時間じかん。

移動いどう於朝著ちょ正せい上方かみがた的てき均ひとし勻磁場じょう，負ふ電荷でんか的てき等とう速そく螺旋らせん運動うんどう軌道きどう。

朝あさ著ちょ均ひとし勻磁場じょう方向ほうこう看み，帶電たいでん粒子りゅうし會かい以反はん時針じしん方向ほうこう，呈てい等とう速そく圓周えんしゅう運動うんどう。給きゅう予よ初はつ始はじめ速そく率りつ$v_{0}$。那な麼，圓周えんしゅう半徑はんけい為ため

$r_{c}=v_{0}/\omega =mv_{0}/qB$。

這圓周えんしゅう半徑はんけい稱たたえ為ため迴旋半徑はんけい（cyclotron radius）或ある拉ひしげ莫半徑はんけい（Larmor radius）。$\omega =qB/m$稱たたえ為ため迴旋頻率りつ（cyclotron frequency）。

帶電たいでん粒子りゅうし的てき動どう量りょう$p_{0}$為ため

$p_{0}=mv_{0}=qBr_{c}$。

假設かせつ粒子りゅうし帶たい有ゆう負ふ電荷でんか，則のり運動うんどう方向ほうこう會かい逆ぎゃく反はん，改あらため為ため順じゅん時針じしん方向ほうこう。

假設かせつ初はつ始はじめ速度そくど有ゆう一いち個こz-分量ぶんりょう$v_{z0}$，則のり帶電たいでん粒子りゅうし會かい呈てい等とう速そく螺旋らせん運動うんどう。

導みちびけ向こう中心ちゅうしん漂移運動うんどう

主しゅ条目じょうもく：導みちびけ向こう中心ちゅうしん

在ざい均ひとし勻磁場じょう內，帶電たいでん粒子りゅうし的てき漂移運動うんどう。（A）沒ぼつ有ゆう任にん何なん外力がいりょく（B）加入かにゅう外がい電場でんじょう$\mathbf {E}$（C）加入かにゅう獨立どくりつ外力がいりょく$\mathbf {F}$（例れい如，地ち心こころ引力いんりょく，（D））磁場じば改あらため為ため不ふ均ひとし勻，$\nabla \mathbf {B}$

對たい於很多た有ゆう意思いし的てき、比較ひかく複雜ふくざつ的てき實際じっさい案あん例れい，在ざい磁場じば內運動的どうてき帶電たいでん粒子りゅうし（例れい如，電でん漿的てき電子でんし或ある離はなれ子こ），可か以分為ため兩りょう部分ぶぶん處理しょり。這兩部分ぶぶん的てき疊たたみ加か，足あし以描述じゅつ這帶電たいでん粒子りゅうし的てき物理ぶつり行為こうい。第だい一部分是速度比較快的，環たまき繞にょう著ちょ某ぼう一いち點てん的てき圓周えんしゅう運動うんどう。環かん繞にょう之これ點てん稱たたえ為ため導みちびけ向こう中心ちゅうしん（guiding center）。另一部分是導向中心的漂移運動。其速度そくど比ひ較慢，會かい因いん不同ふどう種類しゅるい的てき粒子りゅうし而不同ふどう，又また跟其電荷でんか量りょう、質量しつりょう或ある溫度おんど有ゆう關せき。不同ふどう的てき漂移速度そくど可能かのう會かい造成ぞうせい電流でんりゅう或ある化學かがく分離ぶんり。

電場でんじょう和わ磁場じば的てき定義ていぎ

許多きょた經典きょうてん電磁でんじ學がく教科書きょうかしょ會かい用よう勞ろう侖茲力りょく定律ていりつ來らい定義ていぎ電場でんじょう和わ磁場じば。

電場でんじょう

假設かせつ檢けん驗けん電荷でんか靜止せいし不動ふどう，$\mathbf {v} =0$，則のり勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき變へん為ため

$\mathbf {F} =q\mathbf {E}$。

採用さいよう國際こくさい單位たんい制せい，假設かせつ檢けん驗けん電荷でんか的てき電でん量りょう為ため1庫くら侖，作用さよう於檢驗けん電荷でんか的てき勞ろう倫りん茲力為ため1牛うし頓とみ，則のり檢けん驗けん電荷でんか感かん受到的てき電場でんじょう為ため1牛うし頓とみ／庫くら侖。

磁場じば

假設かせつ電場でんじょう為ため零れい，則のり作用さよう於電荷でんか$q$的てき勞ろう侖茲力りょく是ぜ

$\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$。

對たい於一いち條じょう線せん電荷でんか密度みつど為ため$\lambda$的てき載の流りゅう導線どうせん，總そう作用さよう力りょく為ため

$\mathbf {F} =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \mathrm {d} q=\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \lambda \mathrm {d} \ell =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {I} \times \mathbf {B} \mathrm {d} \ell$；

其中，$\mathbb {C}$是ぜ積分せきぶん路ろ徑みち，$\mathbf {I} =\lambda \mathbf {v}$是ぜ電流でんりゅう向むこう量りょう。

假設かせつ電流でんりゅう是ぜ穩定電流でんりゅう，則のり可か以將電流でんりゅう從したがえ積分せきぶん內提出ていしゅつ，用向ようむき量りょう$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$來らい表示ひょうじ電流でんりゅう$\mathbf {I}$的てき方向ほうこう：

$\mathbf {F} =I\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}$。

這公式こうしき給きゅう出で了りょう，在ざい磁場じば內，載の流りゅう導線どうせん感かん受到的てき磁場じば力りょく。

使用しよう這公式しき和わ必歐-沙すな伐き定律ていりつ，就可以推導出どうしゅつ安やす培つちかえ力りょく定律ていりつ（詳しょう盡つき細ぼそ節ふし，請參閱安やす培つちかえ力りょく定律ていりつ）。

假設かせつ，磁場じば是ぜ均ひとし勻磁場じょう，積分せきぶん路ろ徑みち是ぜ垂直すいちょく於磁場じょう的てき直線ちょくせん，則のり

$F=ILB$；

其中，$L$是ぜ積分せきぶん路ろ徑みち$\mathbb {C}$的まと長ちょう度ど，

採用さいよう國際こくさい單位たんい制せい，假設かせつ檢けん驗けん電流でんりゅう為ため1安やす培つちかえ，作用さよう於載流りゅう導線どうせん的てき單位たんい長ちょう度ど的てき勞ろう侖茲力りょく為ため1牛うし頓とみ/公おおやけ尺じゃく，則のり檢けん驗けん電流でんりゅう感かん受到的てき磁場じば為ため1特とく斯拉。

動どう生せい電動でんどう勢ぜい

一條いちじょう長ちょう度ど為ため$L$的てき細ほそ直ちょく導線どうせん以速度そくど$\mathbf {v}$移動いどう於磁場じょう$\mathbf {B}$。

許多きょた發電はつでん機き的てき基本きほん運うん作さく原理げんり涉わたる及動どう生せい電動でんどう勢ぜい概念がいねん。將はた導線どうせん移動いどう於磁場じょう，則のり會かい產さん生せい電動でんどう勢ぜい，稱たたえ為ため動どう生せい電動でんどう勢ぜい。如圖右みぎ，假設かせつ一いち條じょう長ちょう度ど為ため$L$的てき細ほそ直ちょく導線どうせん，以速度そくど$\mathbf {v}$移動いどう於磁場じょう$\mathbf {B}$。磁場じば$\mathbf {B}$以箭尾お或ある叉また叉また表示ひょうじ，方向ほうこう由よし銀幕ぎんまく外部がいぶ指ゆび入にゅう銀幕ぎんまく。思考しこう在ざい這導線せん內的電荷でんか$q$，根據こんきょ勞ろう侖茲定律ていりつ，會かい感かん受到勞ろう侖茲力りょく$\mathbf {F} _{lorentz}$：

$\mathbf {F} _{lorentz}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$。

在ざい這裡，勞ろう侖茲力也りきや是これ磁場じば力りょく。因よし為ため這磁場じょう力りょく的てき作用さよう，正せい電荷でんか會かい往導線せん的てき上端じょうたん移動いどう，負ふ電荷でんか會かい往導線せん的てき下端かたん移動いどう。在ざい穩定平衡へいこう狀態じょうたい，這會感應かんおう出で一いち個こ電場でんじょう$\mathbf {E}$：

$\mathbf {E} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B}$。

電動でんどう勢ぜい定義ていぎ為ため造成ぞうせい開ひらけ路ろ電路でんろ的てき兩個りゃんこ終端しゅうたん的てき電でん勢ぜい差さ，對たい於每單位たんい電荷でんか所しょ需做的てき功こう。所以ゆえん，動どう生せい電動でんどう勢ぜい${\mathcal {E}}$為ため

${\mathcal {E}}=\int _{L}{\frac {\mathbf {F_{lorentz}} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=vBL$。

在ざい這個例れい子こ裏うら，穩定平衡へいこう狀態じょうたい時じ的てき電流でんりゅう等とう於零。假設かせつ載の流りゅう導線どうせん與あずか其他原げん件けん連結れんけつ成なり一いち個こ電路でんろ，則のり會かい因いん為ため動どう生せい電動でんどう勢ぜい而產生せい電流でんりゅう。例れい如，將はた一いち個こ電でん阻$R$與あずか導線どうせん的てき兩端りょうたん相しょう連結れんけつ，則のり流りゅう過か電でん阻的電流でんりゅう$I$為ため

$I={\mathcal {E}}/R=vBL/R$。

法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ

在ざい時間じかん$t$，以閉迴路$\partial \Sigma (t)$為ため邊べ緣えん的てき曲面きょくめん$\Sigma (t)$，和かず在ざい此曲面めん$\Sigma (t)$某ぼう些位置いち的てき磁場じば$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)$。

一いち個こ以常速度そくど$\mathbf {v}$移動いどう於磁場じょう$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)$的てき閉迴路ろ$\partial \Sigma (t)$。

主しゅ条目じょうもく：法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ

法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ闡明せんめい，穿ほじ過か任意にんい閉迴路ろ的てき磁通量りょう的てき變化へんか率りつ，與あずか這迴路ろ的てき電動でんどう勢ぜい成なり正せい比ひ：

${\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}$；

其中，${\mathcal {E}}$是ぜ電動でんどう勢ぜい，$\Phi _{B}$是ぜ磁通量りょう，$t$是ぜ時間じかん。

在ざい時間じかん$t$通過つうか任意にんい曲面きょくめん$\Sigma (t)$的てき磁通量りょう$\Phi _{B}(t)$定義ていぎ為ため

$\Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a}$；

其中，$\mathbf {r}$是ぜ位置いち，$d\mathbf {a}$是ぜ微小びしょう面めん元素げんそ。

給きゅう予よ一いち個こ以常速度そくど$\mathbf {v}$移動いどう於磁場じょう的てき閉迴路ろ$\partial \Sigma (t)$。那な麼，磁通量りょう對たい於時間あいだ的てき全ぜん微分びぶん是これ

${\begin{aligned}d\Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+dt)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\\end{aligned}}$ ；

其中，$\Sigma (t)$是ぜ邊べ緣えん為ため$\partial \Sigma (t)$的てき曲面きょくめん，$\Sigma _{total}$是ぜ包括ほうかつ$\Sigma (t+dt)$、$-\Sigma (t)$和わ$\Sigma _{ribbon}$的てき閉曲面めん，$\Sigma _{ribbon}$是ぜ邊べ緣えん$\partial \Sigma (t+dt)$和わ$\partial \Sigma (t)$形成けいせい的てき邊あたり緣えん曲面きょくめん。

根據こんきょ散ち度たび定理ていり和わ高こう斯磁定律ていりつ，

$\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} d\tau =0$；

其中，$\mathbb {V} _{total}$是ぜ閉曲面めん$\Sigma _{total}$包含ほうがん的てき空間くうかん，$d\tau$是ぜ微小びしょう體たい元素げんそ。

通過つうか邊べ緣えん曲面きょくめん$\Sigma _{ribbon}$的てき磁通量りょう可か以改變成へんせい一いち個こ線せん積分せきぶん：

$\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}$。

所以ゆえん，磁通量りょう對たい於時間あいだ的てき全ぜん導しるべ數すう，或ある磁通量的りょうてき變化へんか率りつ為ため

${\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}$。

運動うんどう於移動いどう的てき閉迴路ろ$\partial \Sigma (t)$的てき一いち個こ電荷でんか$q$的てき速度そくど$\mathbf {w}$為ため

$\mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v}$；

其中，$\mathbf {u}$是ぜ相對そうたい於閉迴路$\partial \Sigma (t)$的てき電荷でんか運動うんどう速度そくど，$\mathbf {v}$是ぜ閉迴路ろ$\partial \Sigma (t)$的てき移動いどう速度そくど。

這電荷でんか會かい感かん受到勞ろう侖茲力りょく

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )$；

電動でんどう勢ぜい${\mathcal {E}}$定義ていぎ為ため

${\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma }{\frac {\mathbf {F} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}$。

根據こんきょ法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ，

${\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}$。

在ざい計算けいさん積分せきぶん時じ，閉迴路ろ$\partial \Sigma (t)$的てき微小びしょう線せん元素げんそ$d{\boldsymbol {\ell }}$與あずか正せい在ざい那な位置いち的てき電荷でんか的てき$\mathbf {u}$平行へいこう。所以ゆえん，

${\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=-\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}$。

令れい兩個りゃんこ磁通量りょう變化へんか率りつ的てき方程式ほうていしき相等そうとう，除去じょきょ同どう有ゆう的てき移動いどう的てき閉迴路ろ項目こうもく，則のり可か得え到いた

$\int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a}$。

應用おうよう斯托克かつ斯定理ていり，$\int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {a}$，可か以得到いた

$\int _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {a} =0$。

由よし於$\Sigma$是ぜ任意にんい取と面めん，可か以將被ひ積せき式しき從したがえ積分せきぶん中ちゅう取出とりで：

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$。

這是馬うま克かつ士し威たけし-法ほう拉ひしげ第だい方程式ほうていしき。由よし於這方程式ほうていしき的てき右手みぎて邊べ是これ個こ對たい於時間あいだ的てき偏へん導しるべ數すう項目こうもく，只ただ涉わたる及固定こてい的てき閉迴路ろ，不能ふのう用よう來らい計算けいさん移動いどう中ちゅう的てき閉迴路ろ。

用もちい馬うま克かつ士し威たけし-法ほう拉ひしげ第だい方程式ほうていしき，通常つうじょう對たい於時間あいだ的てき偏へん導しるべ數すう的てき詮かい釋しゃく只ただ限げん制せい為ため固定こてい邊べ界かい。而在另一方面ほうめん，不ふ論ろん導線どうせん的てき閉迴路ろ是ぜ剛ごう硬かた固定こてい的てき、是ぜ在ざい運動うんどう中ちゅう、是ぜ在ざい形かたち變へん過程かてい中ちゅう，不ふ論ろん磁場じば是ぜ不ふ含時的てき或ある含時的てき，法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ都と成立せいりつ。但ただし是ぜ，對たい於某些案例れい，法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ並なみ不ふ適用てきよう或ある使用しよう起おこり來らい很困難なん。這時候じこう，必須ひっす使用しよう勞ろう侖茲力りょく定律ていりつ。詳しょう盡つき細ぼそ節ふし，請參閱法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ不ふ適用てきよう案あん例れい。

假設かせつ閉迴路ろ移動いどう於不含時間あいだ的てき磁場じば$\mathbf {B}$，通過つうか閉迴路ろ的てき磁通量りょう$\Phi _{B}$會かい因いん為ため幾いく種しゅ因いん素もと而改變かいへん：例れい如，假かり若わか磁場じば$\mathbf {B}$隨ずい著ちょ位置いち改變かいへん，閉迴路ろ移動いどう至いたり不同ふどう磁場じば$\mathbf {B}$的てき位置いち，則のり磁通量りょう$\Phi _{B}$會かい改變かいへん。或ある者もの，假かり若わか相對そうたい於磁場じょう，閉迴路ろ的てき定てい向むかい改變かいへん，由ゆかり於微小びしょう元素げんそ$\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$的てき改變かいへん，磁通量りょう$\Phi _{B}$也會改變かいへん。再さい舉一いち個こ例れい子こ，假かり若わか閉迴路ろ掃掠過か一個均勻的不含時磁場，由よし於閉迴路的てき形がた變へん，磁通量りょう$\Phi _{B}$會かい改變かいへん。對たい於這三さん個こ案あん例れい，法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ正確せいかく地ち計けい算出さんしゅつ磁通量りょう變化へんか率りつ${\frac {d\Phi _{B}}{dt}}$所產しょさん生せい的てき電動でんどう勢ぜい。

對比たいひ前面ぜんめん所しょ述じゅつ狀況じょうきょう，假設かせつ固定こてい的てき閉迴路ろ處しょ於含時じ磁場じば$\mathbf {B}$，馬うま克かつ士し威たけし-法ほう拉ひしげ第だい方程式ほうていしき會かい顯示けんじ出で一いち個こ非ひ保守ほしゅ性せい的てき電場でんじょう$\mathbf {E}$產さん生せい於閉迴路，靠もたれ著ちょ勞ろう侖茲力りょく的てき$q\mathbf {E}$項目こうもく，驅使くし載の電でん粒子りゅうし移動いどう於導線せん。這狀況きょう也會改變かいへん磁通量りょう$\Phi _{B}$，法ほう拉ひしげ第だい電磁でんじ感應かんおう定律ていりつ也會正確せいかく地ち計けい算出さんしゅつ磁通量りょう變化へんか率りつ${\frac {d\Phi _{B}}{dt}}$所產しょさん生せい的てき電動でんどう勢ぜい。

用よう位い勢ぜい來らい表ひょう達たち勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき

参まいり见：电磁场的数学すうがく表ひょう述じゅつ、麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组和わ亥い姆霍兹分解ぶんかい

根據こんきょ亥い姆霍兹分解ぶんかい（Helmholtz decomposition），電場でんじょう和わ磁場じば可か以用電でん勢ぜい$\phi$和わ磁向量りょう勢ぜい$\mathbf {A}$來らい表ひょう達たち：

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

其中∇为梯度ど，∇⋅ 为散度ど，∇× 为旋度。

將はた這兩個りゃんこ公式こうしき代入だいにゅう勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき，則のり可か得え到いた

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]$

可か以化简为

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]$

勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき的てき協きょう變形へんけい式しき

定義ていぎ粒子りゅうし的てき四よん維速度そくど$u_{\beta }$為ため

$u_{\beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})$；

其中，$\gamma$是これ勞ろう侖茲因子いんし，$c$是ぜ光速こうそく，$\mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})$是ぜ粒子りゅうし的てき速度そくど向むこう量りょう。

定義ていぎ電磁場でんじば張はり量りょう$F^{\alpha \beta }$為ため

$F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}$；

其中，$\mathbf {E}$是ぜ電場でんじょう向むこう量りょう，$\mathbf {B}$是ぜ磁場じば向むこう量りょう。

結合けつごう牛うし頓ひたぶる運動うんどう定律ていりつ與あずか勞ろう侖茲力りょく定律ていりつ在ざい一起かずき，以電磁場でんじば張はり量りょう寫うつし為ため反はん變形へんけい式しき（contravariant form）：

${\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{\alpha \beta }$；

其中，$p^{\alpha }$是これ四よん維動量りょう，$\tau$是ぜ粒子りゅうし的てき固有こゆう時じ。

應用おうよう勞ろう侖茲變換へんかん，電磁場でんじば張はり量りょう可か以從一いち個こ參考さんこう系けい$S$轉換てんかん到いた另一いち個こ參考さんこう系けい${\bar {S}}$：

${\bar {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }$；

其中，${\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }$和わ${\Lambda ^{\nu }}_{\beta }$是ぜ勞ろう侖茲變換へんかん矩のり陣じん。

換かわ另一いち種しゅ方法ほうほう，定義ていぎ四よん維勢$A^{\alpha }$為ため

$A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})$；

其中，$\phi$是これ電でん勢ぜい，$\mathbf {A}$是これ磁向量りょう勢ぜい。

定義ていぎ四よん維坐標しるべ $x_{\alpha }$為ため

$x_{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,-x,\,-y,\,-z)$。

那な麼，電磁場でんじば張はり量りょう為ため

$F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}$。

從したがえ勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき的てき張はり量りょう形式けいしき計算けいさん向こう量りょう形式けいしき

先さき計算けいさん四よん維力（four-force）的てき$\mu =1$分量ぶんりょう（x-分量ぶんりょう）：

$\gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}={\frac {dp^{1}}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{1\beta }=q\left(u_{0}F^{10}+u_{1}F^{11}+u_{2}F^{12}+u_{3}F^{13}\right)$。

將はた電磁場でんじば張ちょう量的りょうてき分量ぶんりょう代入だいにゅう，可か以得到いた

$\gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\left(u_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+u_{2}(-B_{z})+u_{3}(B_{y})\right)$。

再さい將しょう四維速度的分量代入，則のり會得えとく到いた

$\gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]$。

類似るいじ地ち，可か以計算出さんしゅつ四よん維力的てき$\mu =2$和わ$\mu =3$分量ぶんりょう。所以ゆえん，

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$。

參まいり閱

• 回旋かいせん加速器かそくき
• 質しつ譜ふ儀ぎ
• 電動でんどう機き
• 移動いどう中ちゅう的てき磁鐵與あずか導體どうたい問題もんだい

• 磁軌砲ほう
• 發電はつでん機き
• 直線ちょくせん電動でんどう機き

• 霍爾效こう應おう
• 阿おもね布ぬの拉ひしげ罕-勞ろう侖茲力りょく
• 磁流體力たいりょく學がく

外部がいぶ連結れんけつ

• National High Magnetic Field Laboratory的てきJava互動教學きょうがく網もう頁ぺーじ：勞ろう侖茲力りょく。