四よん维动量りょう

狭せま义相对论和わ广义相しょう对论中なか，四よん维动量りょう（英文えいぶん：four-momentum）是ぜ经典的てき三さん维动量在ざい四よん维时空中なか的てき相しょう对论化か形式けいしき。动量是ぜ三维空间中的矢量，而类似に地ち四维动量是时空中的四维矢量。引入四维动量的原因是它在洛らく伦兹变换下しも是ぜ協きょう變性へんせい的てき。对于一个具有三维动量 ${\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})$ 和わ能のう量りょう $E$ 的てき粒子りゅうし，其逆ぎゃく變へん四维动量表示为

\mathbf {P} \equiv P^{\alpha }={\begin{pmatrix}P^{0}\\P^{1}\\P^{2}\\P^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}

利用りよう四元数可以通过全新的角度来理解和诠释物理运动，并采用よう以下いか四维表达式对动量进行定义（详见链接文ぶん档第6页）关于四元数的几何意义和物理应用（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

闵可夫おっと斯基模も： p²

对一个粒子的四维动量在闵可夫おっと斯基时空下しも计算它的模も的てき平方へいほう，能のう够得到いた一いち个洛らく伦兹不ふ变量，这个量りょう等とう于这个粒子りゅうし的てき固有こゆう质量（内うち秉质量りょう）的てき平方へいほう（乘の以系数すう光速こうそく的てき平方へいほう）：

-|p|^{2}=-\eta ^{\mu \nu }p_{\mu }p_{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}

这里我わが们使用しよう的てき是ぜ传统的てき国くに际单位い制せい下した的てき闵可夫おっと斯基度ど规：

\eta ^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1/c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

由よし于 $|p|^{2}\!$ 是ぜ一个洛伦兹不变量，它的值不随ふずい洛らく伦兹变换（例れい如不同どう参考さんこう系けい间的旋转和わ递升）发生变化。

与あずか四维速度的关系

对于一个有非零静止质量的粒子，四维动量等于粒子的内秉质量乘以粒子的四よん维速度そくど：

p_{\mu }=m\,\eta _{\mu \nu }U^{\nu }\!

四维速度的定义是

{\begin{pmatrix}U^{0}\\U^{1}\\U^{2}\\U^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma c\\\gamma v_{x}\\\gamma v_{y}\\\gamma v_{z}\end{pmatrix}}

其中 $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}$ 是これ洛らく伦兹因子いんし， $c\,$ 是ぜ真空しんくう中ちゅう的てき光速こうそく。

四维动量的守恒律

四维动量的守恒律能够给出两个“经典的てき”守恒もりつね律りつ：

总能量りょう $E=-p_{0}\,$ 是ぜ守恒もりつね的てき。
经典的てき三さん维动量りょう ${\vec {p}}$ 是ぜ守恒もりつね的てき。

需要じゅよう注意ちゅうい的てき是ぜ，一いち个多粒子りゅうし系けい统的不ふ变质量りょう可能かのう会かい大だい于这个系统中每ごと个粒子りゅうし的てき静止せいし质量的てき总和，这是因いん为在系けい统的质心系けい中なか的てき动能以及粒子りゅうし间相互そうご作用さよう力りょく产生的てき势能都と对系统的不ふ变质量りょう有ゆう贡献。举例来らい说，两个粒つぶ子分こぶん别具有ぐゆう四よん维动量りょう $\left(-5\mathrm {GeV} ,4\mathrm {GeV} /c,0,0\right)$ 和わ $\left(-5\mathrm {GeV} ,-4\mathrm {GeV} /c,0,0\right)$ ，则可知かち它们都と分ぶん别具有ぐゆう静止せいし质量 $3\mathrm {GeV} /c^{2}\,$ ，但ただし系けい统的静止せいし质量是ぜ $10\mathrm {GeV} /c^{2}\,$ 。也就是ぜ说，如果这两个粒子りゅうし碰撞后きさき合成ごうせい在ざい一いち起おこり，得とく到いた的てき粒子りゅうし具有ぐゆう的てき静止せいし质量为 $10\mathrm {GeV} /c^{2}\,$ 。

粒子りゅうし物理ぶつり学がく中ちゅう应用系けい统不变质量的りょうてき守恒もりつね律りつ的てき实例之の一いち是ぜ，一いち个原本ほん在ざい实验室しつ参考さんこう系けい中ちゅう具有ぐゆう四よん维动量りょう $q\,$ 的てき较重粒子りゅうし发生衰おとろえ变后成なり为两个分别具有ぐゆう四よん维动量りょう $p^{A}\,$ 和わ $p^{B}\,$ 的てき粒子りゅうし，通つう过对这两个动量りょう进行测量能のう够得到いた原げん先さき粒子りゅうし的てき静止せいし质量。根ね据すえ四维动量的守恒律有

q_{\mu }=p_{\mu }^{A}+p_{\mu }^{B}\,

而较重じゅう粒子りゅうし的てき质量又また满足

-|q|^{2}=M^{2}c^{2}\,

通つう过对产生的てき两个粒子りゅうし的てき能のう量りょう和わ三维动量进行测量就能得到这个二粒子系统的不变质量，这个不ふ变质量りょう必然ひつぜん等とう于原先さき粒子りゅうし的てき不ふ变质量りょう。这个原理げんり的てき实验应用如在高だか能のう粒子りゅうし对撞机つくえ中ちゅう寻找Z玻色子こ，理り论上认为Z玻色子こ会かい在ざい电子-反はん电子对或μみゅー子こ-反はんμみゅー子こ对的不ふ变质量りょう能のう谱上表ひょう现为一いち个峰值。

如果一个物体的质量不发生变化，在ざい闵可夫おっと斯基时空中ちゅう它的四よん维动量りょう和わ四よん维加速度そくど彼此ひし正せい交（即そく内ない积为零れい）。这是由よし于加速度そくど和わ动量对时间的导数成なり正せい比ひ，从而有ゆう

p_{\mu }A^{\mu }=p_{\mu }{\frac {d}{dt}}{\frac {\eta ^{\mu \nu }p_{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}|p|^{2}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}(-m^{2}c^{2})=0.

存在そんざい电磁场时的てき正せい则动量りょう

在ざい相あい对论量子力学りょうしりきがく中なか，常常つねづね需要じゅよう定てい义一个“正せい则”的てき四よん维动量りょう $P_{\mu }\,$ ，它被定てい义为四よん维动量りょう和わ电荷与あずか四よん维势乘の积的和わ：

P_{\mu }=p_{\mu }+qA_{\mu }\!

电磁场的てき四よん维势是ぜ电场标势与あずか磁场矢や势的てき组合：

{\begin{pmatrix}A_{0}\\A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\phi \\A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}

这样做的目的もくてき是ぜ使し一个电磁场中的带电粒子所具有的势能和受到的洛らく伦兹力りょく能のう够简明地めいち耦合入いれ薛定谔方程ほど。

参まいり见

参考さんこう资料

Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.
John David Jackson. Classical Electrodynamics Third Edition (Hardcover). Wiley. 1998-08-10. ISBN 978-0471309321.

闵可夫おっと斯基模も： p2