电磁四よん维势

电磁四よん维势（英文えいぶん：Electromagnetic four-potential）是これ电磁理り论中なか的てき一いち个协变四よん维矢量りょう，它在国くに际单位い制せい中なか的てき单位是ぜ伏ふく特とく·秒びょう/米べい（在ざい厘りん米まい-克かつ-秒びょう制せい中なか的てき单位是ぜ馬うま克かつ士し威たけし/厘りん米まい），它的定てい义为（括くく号ごう中ちゅう表示ひょうじ在ざい厘りん米まい-克かつ-秒びょう制せい中ちゅう的てき形式けいしき，下しも同どう）

$A_{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},-{\vec {A}}\right)\qquad \left(A_{\alpha }=(\phi ,-{\vec {A}})\right)$

其中$\phi \,$是これ电势，${\vec {A}}\,$是これ磁矢势。

在ざい本ほん篇へん文章ぶんしょう裏うら，閔可夫おっと斯基度ど規ぶんまわし的てき形式けいしき被ひ規定きてい為ため $diag(1,-1,-1,-1)$ ，這是参考さんこう了りょう約やく翰·傑すぐる克かつ森もり（John D. Jackson）的てき著作ちょさく《經典きょうてん電動でんどう力學りきがく》中ちゅう所しょ採用さいよう的てき形式けいしき；並なみ且使用よう了りょう經典きょうてん的てき張ちょう量りょう代数だいすう以及愛あい因いん斯坦求もとめ和わ約定やくじょう。

电场与磁场和わ相しょう应的标势与矢や势的对应关系分ぶん别为

${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\qquad \left(-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)$

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$

将はた这两个势写うつし在ざい一いち起おこり的てき原因げんいん是ぜ$A_{\alpha }$是ぜ协变的てき，这意味いみ着ぎ它在任意にんい的てき曲面きょくめん坐すわ标变换下和わ一いち个标量的りょうてき梯はしご度ど变换方式ほうしき相しょう同どう，即そく如${\frac {\partial \psi }{\partial x^{\alpha }}}\,,$的てき变换形式けいしき。这样四よん维势的てき内うち积

$A_{\alpha }g^{\alpha \beta }A_{\beta }={\frac {\phi ^{2}}{c^{2}}}-|{\vec {A}}|^{2}\qquad \left(A_{\alpha }g^{\alpha \beta }A_{\beta }\,=\phi ^{2}-|{\vec {A}}|^{2}\right)$

在ざい任意にんい惯性系けい下した都と是ぜ一いち个不变量。

不ふ过，电场与磁场和わ相しょう应的标势与矢や势的对应关系并不是ぜ唯一ゆいいつ的てき，通常つうじょう可か以对这两个势做如下か的てき变换：

$\phi \qquad \rightarrow \qquad \phi +{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}\,$

${\vec {A}}\qquad \rightarrow \qquad {\vec {A}}-\nabla \lambda \,$

这组变换称しょう作さく规范变换，在ざい规范变换下か电场和わ磁场仍然保持ほじ不ふ变，因いん此相应的电标势和磁矢势并没ぼつ有ゆう确定下か来らい。

人ひと们习惯在惯性参考さんこう系けい中ちゅう采さい用よう洛らく伦茨规范条件じょうけん$\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$，实际上じょう加か上じょう这组规范条件じょうけん也并不能ふのう完全かんぜん确定四よん维势（规范变换依然いぜん成立せいりつ），但ただし这样做的好こう处是这组规范条件じょうけん具有ぐゆう洛らく伦兹不ふ变性。

此时电磁场的麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组可か化か简为下面かめん的てき形式けいしき：

$\Box A_{\alpha }=\mu _{0}\eta _{\alpha \beta }J^{\beta }\qquad \left(\Box A_{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\eta _{\alpha \beta }J^{\beta }\right)$

其中$J^{\beta }\,$是これ四よん维电流矢ながれや量りょう，

而

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$是これ达朗贝尔算さん符ふ。

如果写うつし成なり电标势和磁矢势，则有

$\Box \phi ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \left(\Box \phi =4\pi \rho \right)$

$\Box {\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}\qquad \left(\Box {\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\right)$

对给定じょう的てき分ぶん别为$\rho ({\vec {x}},t)$和わ${\vec {j}}({\vec {x}},t)$的てき电荷和わ电流分布ぶんぷ，方ぽう程ほど在国ざいこく际单位い制せい中ちゅう的てき解かい为

$\phi ({\vec {x}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho ({\vec {x}}^{\prime },\tau )}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}$

${\vec {A}}({\vec {x}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {{\vec {j}}({\vec {x}}^{\prime },\tau )}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}$,

其中$\tau =t-{\frac {\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}{c}}$是ぜ推迟时间。有ゆう时方程ほど也用$\rho ({\vec {x}}',\tau )=[\rho ({\vec {x}}',t)]\,$这样的てき形式けいしき表示ひょうじ对于时间变量应该用よう推迟时间来らい计算。当然とうぜん，由ゆかり于上面めん的てき方かた程ほど是非ぜひ齐次的てき微分びぶん方かた程ほど，相あい应的齐次方かた程ほど解かい加か上じょう非ひ齐次方かた程ほど的てき任にん何なん特とく解かい都会とかい满足边界条件じょうけん。一般いっぱん来らい说，对应的てき齐次方かた程ほど解かい表ひょう征せい着ぎ远源传播的てき电磁波は。

对一些典型がた情じょう形がた（例れい如振荡电流りゅう或ある电荷）进行上面うわつら的てき积分时，积分会同かいどう时给出で以$r^{-2}\,$形式けいしき变化的てき磁场（感かん生せい磁场）和かず以$r^{-1}\,$形式けいしき变化的てき电磁场（辐射场）。

参考さんこう文献ぶんけん

• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5. 
• Jackson, J D. Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. 1999. ISBN 0-471-30932-X. 

参まいり见

• 经典电磁理り论的协变形式けいしき
• 电磁波方なみかた程ほど