洛らく伦兹变换

洛らく伦兹变换是ぜ观测者しゃ在ざい不同ふどう惯性参照さんしょう系けい之の间对物理ぶつり量りょう进行测量时所进行的てき转换关系，在ざい数学すうがく上表じょうひょう现为一いち套方ほう程ほど組ぐみ。洛らく伦兹变换因いん其创立りつ者しゃ——荷に兰物理ぶつり学がく家か亨とおる德とく里さと克かつ·洛らく伦兹而得名めい。洛らく伦兹变换最初さいしょ用よう来らい调和19世せい纪建立こんりゅう起おこり来らい的てき经典电动力学りきがく同どう牛うし顿力学がく之これ间的矛盾むじゅん，后きさき来らい成なり为狭せま义相对论中なか的てき基本きほん方かた程ほど组。

洛らく伦兹变换的てき提出ていしゅつ

19世せい纪后期き建立こんりゅう了りょう麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组，标志着ぎ经典电动力学りきがく取得しゅとく了りょう巨大きょだい成功せいこう。然しか而麦克かつ斯韦方かた程ほど组在经典力学りきがく的てき伽とぎ利り略りゃく变换下しも并不是ぜ协变的てき。

由よし麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组可以得到いた电磁波は的てき波なみ动方程ほど，由よし波は动方程ほど解かい出で真空しんくう中ちゅう的てき光速こうそく是ぜ一いち个常数すう。按照经典力学りきがく的てき时空观，这个结论应当只ただ在ざい某ぼう个特定とくてい的てき惯性参照さんしょう系けい中ちゅう成立せいりつ，这个参照さんしょう系けい就是以太。其它参照さんしょう系けい中ちゅう测量到いた的てき光速こうそく是ぜ以太中ちゅう光速こうそく与あずか观察者しゃ所在しょざい参照さんしょう系けい相しょう对以太ふとし参照さんしょう系けい的てき速度そくど的てき矢や量りょう叠加。然しか而1887年ねん的てき迈克耳みみ孙-莫雷实验测量不ふ到いた地球ちきゅう相しょう对于以太参照さんしょう系けい的てき运动速度そくど。1904年ねん，洛らく伦兹提出ていしゅつ了りょう洛らく伦兹变换用よう于解释迈克かつ耳みみ孙-莫雷实验的てき结果。根ね据すえ他た的てき设想，观察者しゃ相しょう对于以太以一定速度运动时，长度在ざい运动方かた向上こうじょう发生收おさむ缩，抵消了りょう不同ふどう方かた向上こうじょう的てき光速こうそく差さ异，这样就解释了迈克耳みみ孙-莫雷实验的てき零れい结果。

洛らく伦兹变换的てき数学すうがく形式けいしき

沿着快速かいそく加速かそく的てき观察者しゃ的てき世界せかい线来らい看み的てき时空。
竖直方向ほうこう表示ひょうじ时间。水平すいへい方向ほうこう表示ひょうじ距离，虚きょ划线是ぜ观察者しゃ的てき时空轨迹（“世界せかい线”）。图的下か四分之一表示观察者可以看到的事件。上うえ四よん分ふん之の一いち表示ひょうじ光ひかり锥- 将はた可か以看到いた观察者しゃ的てき事件じけん点てん。小しょう点てん是ぜ时空中ちゅう的てき任意にんい的てき事件じけん。
世界せかい线的斜はす率りつ（从竖直ちょく方向ほうこう的てき偏へん离）给出了りょう相しょう对于观察者しゃ的てき速度そくど。注意ちゅうい看み时空的てき图像随ずい着ぎ观察者しゃ加速かそく时的变化。

洛らく伦兹提出ていしゅつ洛らく伦兹变换是ぜ基もと于以太ふとし存在そんざい的てき前提ぜんてい的てき，然しか而以太ふと被ひ证实是ぜ不ふ存在そんざい的てき，根ね据すえ光速こうそく不ふ变原理げんり，相あい对于任にん何なに惯性参照さんしょう系けい，光速こうそく都と具有ぐゆう相しょう同どう的てき数すう值。爱因斯坦据すえ此提出ていしゅつ了りょう狭せま义相对论。在ざい狭せま义相对论中ちゅう，空そら间和时间并不相互そうご独立どくりつ，而是一个统一的四维时空整体，不同ふどう惯性参照さんしょう系けい之の间的变换关系式しき与あずか洛らく伦兹变换在ざい数学すうがく表ひょう达式上じょう是ぜ一致いっち的てき，即そく：

${\begin{cases}x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\y'=y\\z'=z\\t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{cases}}$

其中x、y、z、t分ぶん别是惯性坐すわ标系Σしぐま下した的てき坐すわ标和时间，x'、y'、z'、t'分ぶん别是惯性坐すわ标系Σしぐま'下した的てき坐すわ标和时间。v是ぜΣしぐま'坐すわ标系相しょう对于Σしぐま坐すわ标系的てき运动速度そくど，方向ほうこう沿x轴。

由ゆかり狭せま义相对性原理げんり，只ただ需在上述じょうじゅつ洛らく伦兹变换中ちゅう把わv变成-v，x'、y'、z'、t'分ぶん别与v, x、y、z、t互换，就得到いた洛らく伦兹变换的てき反はん变换式しき：

${\begin{cases}x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\y=y'\\z=z'\\t={\frac {t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{cases}}$

洛らく伦兹变换是ぜ高速こうそく运动的てき宏ひろし观物体ぶったい在ざい不同ふどう惯性参照さんしょう系けい之の间进行ぎょう時空じくう座標ざひょう变换的てき基本きほん规律。当とう相あい对速度どv远远小しょう于光速そくc时，洛らく伦兹变换退化たいか为经典力学りきがく中なか的てき伽とぎ利り略りゃく变换:

${\begin{cases}x'=x-vt\\y'=y\\z'=z\\t'=t\end{cases}}$

所以ゆえん，狭せま义相对论与经典力学りきがく并不矛盾むじゅん，狭せま义相对论将はた经典力学りきがく扩展到いた了りょう宏ひろし观物体ぶったい在ざい一切运动速度下的普遍情况，经典力学りきがく只ただ是ぜ相しょう对论在ざい低速ていそく时（v远远小しょう于c）的てき近似きんじ情じょう况。一般在处理运动速度不太高的物体时（如天体てんたい力学りきがく中ちゅう计算行くだり星ぼし的てき运行轨道），不ふ需考虑到相しょう对论效こう应，因いん为用相しょう对论进行处理时计算ざん往往おうおう变得非常ひじょう繁しげる琐，而结果はて与あずか经典情じょう况相差さ不ふ大だい。当とう处理高速こうそく运动的てき物理ぶつり时，比ひ如高こう能のう加速器かそくき中なか的てき电子，则必须要考こう虑相对论效こう应对结果带来的てき修正しゅうせい。

洛らく伦兹变换的てき四よん维形式しき

在ざい狭せま义相对论中ちゅう，某ぼう一事件可以用带有四个参数的时空坐标（t,x,y,z）来らい描述，洛らく伦兹变换就是在ざい不同ふどう惯性参考さんこう系けい中ちゅう观察同どう一事件的时空坐标变换关系，并且是ぜ满足四维空间中时间间隔 s²:=c²t²-x²-y²-z² 不ふ变的变换。如果将しょうx、y、z记成x¹、x²、x³，并且令れい：

${\begin{cases}x^{0}=ct\\x^{\prime }{}^{0}=ct^{\prime }\end{cases}}$

那な么洛伦兹变换可か以写成なり如下的てき矩のり阵形式けいしき：

${\begin{bmatrix}x^{\prime }{}^{0}\\x^{\prime }{}^{1}\\x^{\prime }{}^{2}\\x^{\prime }{}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}}$

其中

$\beta ={\frac {v}{c}},\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$，$\gamma$ 被ひ称しょう为洛らく伦兹因子いんし。

勞ろう侖茲變換へんかん的てき推導

相對そうたい原則げんそく和光わこう速そく不變ふへん的てき物理ぶつり原則げんそく是ぜ狭義きょうぎ相對そうたい論ろん通常つうじょう的てき出發しゅっぱつ點てん（例れい：愛あい因いん斯坦最初さいしょ對たい勞ろう侖茲變換へんかん的てき推導）。實じつ际上勞ろう侖茲變換へんかん并不取と决於光ひかり的てき物理ぶつり性質せいしつ：最さい重要じゅうよう的てき是ぜ粒子りゅうし間あいだ的てき作用さよう的てき局きょく域いき性せい：一粒子對另外一粒子的影响作用不能任意快地傳递，而作用よう傳でん递的最高さいこう速度そくど必須ひっす在ざい所有しょゆう参照さんしょう系けい都と是ぜ一いち樣よう的てき速度そくど。此最高速度こうそくど剛つよし好こう等とう於真空中くうちゅう光速こうそく。

从群論ろん出發しゅっぱつ的てき推導

所有しょゆう参照さんしょう系けい間あいだ轉てん换以轉てん换叠加か作為さくい乘法じょうほう組成そせい一いち個こ群ぐん。它們符合ふごう以下いか公理こうり：

1. 閉合：两個參照さんしょう系けい轉うたて换叠加か得とく另外一轉いってん换。以$[K\to K^{\prime }]$寫うつし$K$到いた$K^{\prime }$。那な對たい任意にんい三さん個こ参照さんしょう系けい$[K\to K^{\prime \prime }]=[K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]$
2. 結合けつごう律りつ：$[K\to K^{\prime }]\left([K^{\prime }\to K^{\prime \prime }][K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]\right)=\left([K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]\right)[K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]$
3. 單位たんい元もと：存在そんざい保留ほりゅう參照さんしょう系けい的てき單位たんい轉てん换$[K\to K]$
4. 逆ぎゃく元もと：對たい任にん何なん參照さんしょう系けい轉うたて换$[K\to K^{\prime }]$都みやこ有ゆう返かえし回かい原本げんぽん參照さんしょう系けい的てき轉てん换$[K^{\prime }\to K]$

符合ふごう群ぐん公理こうり的てき轉てん换矩陣じん

考慮こうりょ两個參照さんしょう系けい$K$和わ$K^{\prime }$，$K^{\prime }$的てき原點げんてん相對そうたい$K$原點げんてん速度そくど為ため$v$（設しつらえ運動うんどう方向ほうこう為ため$z$方向ほうこう，以下いか忽ゆるがせ略りゃく無關むせき的てき$x$和わ$y$方向ほうこう）。出で於時空じくう的てき均ひとし勻性勞ろう侖茲變換へんかん必須ひっす保留ほりゅう慣性かんせい運動うんどう，因いん此它必須ひっす是ぜ一いち個こ綫性轉てん换而可以以矩のり陣じん表示ひょうじ：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}$

以上いじょう$\Lambda _{ij}$是ぜ有ゆう待まち計算けいさん的てき矩のり陣じん元もと。它們是ぜ相對そうたい速度そくど$v$的てき函數かんすう。

參照さんしょう系けい$K^{\prime }$的てき原点げんてん$O^{\prime }$在ざい參照さんしょう系けい$K$的てき運動うんどう：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\vt\end{pmatrix}}$

得とく

$\Lambda _{21}+v\,\Lambda _{22}=0$

同樣どうよう參照さんしょう系けい$K$的てき原点げんてん$O$在ざい參照さんしょう系けい$K^{\prime }$的てき運動うんどう：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\-vt^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}}$

得とく

$\Lambda _{21}+v\,\Lambda _{11}=0$

因いん此主斜はす两項相等そうとう且可称しょう为$\gamma \equiv \Lambda _{11}=\Lambda _{22}\,$。還かえ有ゆう$\Lambda _{21}=-v\,\gamma$：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &\Lambda _{12}\\-v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}$

因よし為ため$t^{\prime }=\gamma t$，$\gamma$的てき意義いぎ就是時間じかん膨脹ぼうちょう的てき因子いんし。因よし為ため時空じくう的てき各かく向こう同性どうせい，$\gamma$只ただ能取のとろ决於速度そくど而不取と决於方向ほうこう。也就是ぜ說せつ$\gamma (-v)=\gamma (v)$。 群ぐん元もと可逆かぎゃく因いん此取逆ぎゃく矩のり陣じん：

${\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{\gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma }}{\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}$

當然とうぜん逆轉ぎゃくてん换只等とう同どう於反方向ほうこう同どう速そく的てき轉てん换。運用うんよう上段じょうだん$\gamma$的てき性質せいしつ

${\frac {1}{\gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma }}{\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}$

每まい項こう比較ひかく得え到いた：

$\gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma =1$

從したがえ群ぐん的てき閉合性せい要求ようきゅう連續れんぞく两次轉てん换等於以速度そくど和わ的てき單たん次じ轉うたて换。也就是ぜ說せつ两個矩のり陣じん的てき積せき：

${\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime }&\Lambda _{12}^{\prime }\\-v^{\prime }\gamma ^{\prime }&\gamma ^{\prime }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &\Lambda _{12}\\-v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime }\gamma -\Lambda _{12}^{\prime }v\gamma &\gamma ^{\prime }\Lambda _{12}+\gamma \Lambda _{12}^{\prime }\\-\gamma ^{\prime }\gamma (v+v^{\prime })&\gamma ^{\prime }\gamma -v^{\prime }\gamma ^{\prime }\Lambda _{12}\end{pmatrix}}$

必須ひっす擁よう有ゆう同樣どうよう的てき矩のり陣じん型式けいしき。這意味いみ着ぎ主しゅ斜はす綫上两項相等そうとう。因よし此以下か比例ひれい：

$\kappa \equiv {\frac {\Lambda _{12}}{v\gamma }}={\frac {\Lambda _{12}^{\prime }}{v^{\prime }\gamma ^{\prime }}}$

必須ひっす是ぜ一いち個こ和わ参照さんしょう系けい相對そうたい速度そくど$v$無關むせき的てき常数じょうすう。 插入そうにゅう較前等式とうしき得とく$\gamma$的てき定義ていぎ：

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}$

而最廣こう泛的勞ろう侖茲變換へんかん矩のり陣じん型式けいしき為ため：

${\frac {1}{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}{\begin{pmatrix}1&\kappa v\\-v&1\end{pmatrix}}$

到いた這裡$c^{2}={\frac {1}{|\kappa |}}$就是轉てん换的不變ふへん速度そくど。如果$\kappa \,>0$，c是ぜ一いち個こ速度そくど的てき下限かげん。這明顯あらわ與あずか物理ぶつり現實げんじつ不ふ符ふ。因よし此$\kappa \leq 0$。但ただし還かえ可か以分成なり$\kappa \,=0$和わ$\kappa \,<0$两種情じょう形がた：

伽とぎ利り略りゃく轉うたて换

$\kappa =0$得とく伽とぎ利り略りゃく轉換てんかん矩のり陣じん：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}$

在ざい此情况下時間じかん是ぜ絕對ぜったい的てき：$t^{\prime }=t$。

勞ろう侖茲變換へんかん

在ざい更さら一般いっぱん$c={\frac {1}{\sqrt {-\kappa }}}<\infty$的てき情じょう况就得え到いた先せん前まえ的てき勞ろう侖茲變換へんかん矩のり陣じん：

${\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\begin{pmatrix}1&-{\frac {v}{c^{2}}}\\-v&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}$

$c$是ぜ在ざい所有しょゆう參照さんしょう系けい內不變ふへん的てき速度そくど上限じょうげん。

到底とうてい世界せかい是ぜ属ぞく于$\kappa =0$還かえ是これ$\kappa <0$類型るいけい是ぜ最終さいしゅう只ただ能のう靠もたれ實驗じっけん驗けん證しょう。例れい如迈克耳みみ孙-莫雷实验。

速度そくど變換へんかん公式こうしき

由よし洛らく伦兹变换可か以得到いた相あい对论的てき速度そくど变换公式こうしき。设u_x、u_y、u_z分ぶん别是物体ぶったい在ざい惯性坐すわ标系Σしぐま下しも沿各坐すわ标轴的てき速度そくど分量ぶんりょう，u'_x、u'_y、u'_z分ぶん别是物体ぶったい在ざい惯性坐すわ标系Σしぐま'下しも沿各坐すわ标轴的てき速度そくど分量ぶんりょう，那な么：

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

$u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

$u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

如果把わv变成-v，u_x、u_y、u_z分ぶん别与u'_x、u'_y、u'_z互换，就得到いた上述じょうじゅつ速度そくど变换的てき反はん变换式しき。

当とう速度そくどv远小于光速そく时，上述じょうじゅつ速度そくど变换式しき退化たいか为经典てん的てき速度そくど变换式しき：

$u'_{x}=u_{x}-v$

$u'_{y}=u_{y}$

$u'_{z}=u_{z}$

其他物理ぶつり量的りょうてき變換へんかん

對たい於有著ちょ類るい時じ分量ぶんりょう$A$和わ類るい空そら分量ぶんりょう$\mathbf {Z} =(Z_{x},Z_{y},Z_{z})$的てき四よん維向量りょう$(A,\mathbf {Z} )$，其閔考こう斯基範はん（Minkowski norm）是ぜ勞ろう倫りん茲不變量へんりょう（Lorentz invariant）：

$A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} =A'^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '$。

所以ゆえん我わが們可以仿照四維位置的勞倫茲變換，寫うつし出で一般四維向量的勞倫茲變換：

${\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-\mathbf {Z} \cdot {\boldsymbol {\beta }}\right){\mbox{，}}\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma A{\boldsymbol {\beta }}{\mbox{，}}\end{aligned}}$

其中${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c=v\mathbf {n} /c}$，${\textstyle \mathbf {n} }$是これ$\mathbf {v}$方向ほうこう上じょう的てき單位たんい向むこう量りょう。$\mathbf {Z}$（和わ$\mathbf {Z} '$）分解ぶんかい成なり垂直すいちょく$\mathbf {v}$方向ほうこう和平わへい行ぎょう於$\mathbf {v}$方向ほうこう的てき方法ほうほう與あずか位置いち向こう量的りょうてき分解ぶんかい方法ほうほう相しょう同どう。取得しゅとく逆ぎゃく變換へんかん的てき方法ほうほう也是與あずか四維位置的情況相同，就是交換こうかん$(A,\mathbf {Z} )$與あずか$(A',\mathbf {Z} ')$，然しか後こう使用しよう相反あいはん的てき相對そうたい運動うんどう方向ほうこう，即そく$\mathbf {n} \mapsto -\mathbf {n}$。

常見つねみ的てき四維向量如下表：

四よん維向量りょう	$A$	$\mathbf {Z}$
四よん維位置いち	時間じかん（乘の以$c$）$ct$	位置いち向こう量りょう $\mathbf {r}$
四よん維動量りょう	能のう量りょう（除じょ以$c$）$E/c$	動どう量りょう $\mathbf {p}$
四よん維波向むこう量りょう	角かく頻しき率りつ（除じょ以$c$）$\omega /c$	波なみ向むこう量りょう $\mathbf {k}$
四よん維自旋	（無む名稱めいしょう）$s_{\text{t}}$	自じ旋 $\mathbf {s}$
四よん維電流りゅう密度みつど	電荷でんか密度みつど（乘の以$c$）$\rho c$	電流でんりゅう密度みつど $\mathbf {j}$
四維電磁位勢	電位でんい（除じょ以$c$）$\phi /c$	磁向量りょう位い $\mathbf {A}$

洛らく伦兹变换的てき几何理解りかい

在ざい平面へいめん几何，一个向量在某座标系统为$(x,y)$。如果我わが們在原点げんてん以$\theta$顺时针旋转原本ほん座ざ标轴做新的てき座ざ标系统。在ざい新しん系けい统内，同どう一向量座标为:$(x^{\prime },y^{\prime })$：

${\begin{bmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

当然とうぜん雖然向こう量的りょうてき座ざ标在不ふ同座どうざ标系统里面めん不ふ一いち样，它的長ちょう度ど不ふ变：$(x^{\prime })^{2}+(y^{\prime })^{2}=(x)^{2}+(y)^{2}$。 另外如果我わが們以另外角度かくど$\phi$再さい旋转一いち次じ，那な向むこう量りょう新座にいざ标和原げん座ざ标关系けい为：

${\begin{bmatrix}x^{\prime \prime }\\y^{\prime \prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta +\phi )&\sin(\theta +\phi )\\-\sin(\theta +\phi )&\cos(\theta +\phi )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

即そく：连续的てき转角可か加か。

我わが們可以相似そうじ般把洛らく伦兹变换看み成なり一种类似的座标旋转。定義ていぎ快こころよ度たび$w={\text{arctanh}}\beta$。那な以上いじょう洛らく伦兹变换公式こうしき可か以写成なり（略ほぼ去さ不ふ受影响的$x^{2}$和わ$x^{3}$）：

${\begin{bmatrix}x^{\prime }{}^{0}\\x^{\prime }{}^{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{bmatrix}}$

也就是ぜ說せつ：洛らく倫りん兹變換へんかん數學すうがく上等じょうとう同どう於雙そう曲きょく角かく旋轉せんてん。此座标“旋转”中ちゅう类似“長ちょう度ど”的てき不ふ变量是ぜ：

$(x^{\prime }{}^{0})^{2}-(x^{\prime }{}^{1})^{2}=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}$。

如果我わが們先转换到相しょう对原本ほん參考さんこう系けい统速度そくど为$\beta _{21}$的てき參考さんこう系けい统，然しか后きさき再さい转换到相しょう对第二個參考系统速度为$\beta _{32}$的てき參考さんこう系けい统。令れい$w_{21}={\text{arctanh}}\beta _{21}$、$w_{32}={\text{arctanh}}\beta _{32}$。那な么在原本げんぽん參考さんこう系けい统座标为$(x^{0},x^{1})$的てき事件じけん在ざい两次转换后きさき參考さんこう系けい统内座ざ标$(x^{\prime \prime }{}^{0},x^{\prime \prime }{}^{1})$为：

${\begin{bmatrix}x^{\prime \prime }{}^{0}\\x^{\prime \prime }{}^{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh(w_{21}+w_{32})&-\sinh(w_{21}+w_{32})\\-\sinh(w_{21}+w_{32})&\cosh(w_{21}+w_{32})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{bmatrix}}$

所以ゆえん我わが们发现洛伦兹变换里さと直接ちょくせつ相しょう加か的てき数量すうりょう不ふ是ぜ速度そくど$\beta$而是这个类似角度かくど的てき$w={\text{arctanh}}\beta$。日常にちじょう经验我わが們使用しよう的てき伽とぎ利り略りゃく變換へんかん把わ速度そくど直接ちょくせつ相しょう加か减。这是因いん为在速度そくど遠とお小しょう於光速そく（$\beta \ll 1$）的てき时候$w$近似きんじ速度そくど$w\simeq \beta$。

当然とうぜん我わが们也可か以直接ちょくせつ从原本げんぽん的てき參考さんこう系けい统直接ちょくせつ转换到いた最さい后きさき的てき參考さんこう系けい统。如果两者速度そくど为$\beta _{31}$，那な么

${\begin{aligned}w_{31}&=w_{21}+w_{32}\\\tanh w_{31}&=\tanh(w_{21}+w_{32})={\frac {\tanh w_{21}+\tanh w_{32}}{1+\tanh w_{21}\tanh w_{32}}}\\\beta _{31}&={\frac {\beta _{21}+\beta _{32}}{1+\beta _{21}\beta _{32}}}\end{aligned}}$

因いん此得到いた相對そうたい论速率りつ加法かほう公式こうしき。

群論ぐんろん表ひょう述じゅつ

主しゅ条目じょうもく：勞ろう侖茲群ぐん

相あい关条目め

• 洛らく伦兹协变性せい
• 勞ろう侖茲群ぐん
• 勞ろう侖茲因子いんし