史ふみ瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし

史ふみ瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし（Schwarzschild metric），又また稱たたえ史し瓦かわら西にし幾何きか、史ふみ瓦かわら西にし解かい，是ぜ卡爾·史し瓦かわら西にし於1915年ねん針はり對たい广义相しょう对论的てき核心かくしん方かた程ほど——愛あい因いん斯坦場じょう方程式ほうていしき——关于球状きゅうじょう物ぶつ质分布ぶんぷ的てき解かい。根據こんきょ伯はく考こう夫おっと定理ていり（Birkhoff's theorem），史し瓦かわら西にし解かい可か說せつ是ぜ愛あい因いん斯坦方かた程ほど最さい一般的球對稱真空解。這樣的てき解かい又また可か被ひ稱しょう作さく史ふみ瓦かわら西にし黑くろ洞ほら，此種幾何きか對應たいおう一いち個こ靜止せいし不ふ旋轉せんてん、不ふ帶おび電荷でんか之これ黑くろ洞ほら。在ざい物理ぶつり上じょう它可以對應おう任にん何なに球たま對稱たいしょう星ほし球だま外部がいぶ的てき時空じくう幾何きか。因よし此常常用じょうよう於近似きんじ於不同どう旋轉せんてん緩慢かんまん（遠とお小しょう於光速こうそく）的てき天體てんたい的てき重力じゅうりょく場じょう，例れい如恆星こうせい、行くだり星ぼし等ひとし。

在ざい史し瓦かわら西にし解かい中ちゅう，只ただ有ゆう一個刻劃該解的參數，可か以看成なり是ぜ史し瓦かわら西にし黑くろ洞ほら的てき質量しつりょう。因よし此某方面ほうめん來らい說せつ，一個史瓦西黑洞只能用他的質量來區別，兩りょう質量しつりょう相等そうとう的てき史し瓦かわら西にし黑くろ洞ほら在ざい物理ぶつり上じょう是ぜ完全かんぜん一いち樣よう的てき。史し瓦かわら西にし解かい有ゆう個こ很重要じゅうよう的てき超ちょう曲面きょくめん叫さけべ做事件じけん視界しかい，在ざい事件じけん視界しかい內發生はっせい的てき事件じけん無む法被はっぴ事件じけん視界しかい外的がいてき觀測かんそく者しゃ觀測かんそく到いた。它並非ひ任にん何なん物理ぶつり上じょう實際じっさい存在そんざい的てき介かい面めん，事實じじつ上じょう，如果有ゆう一いち觀測かんそく者しゃ通過つうか事件じけん視界しかい，他た不ふ會かい感かん受到任にん何なん異狀いじょう。但ただし是これ一旦いったん通過つうか事件じけん視界しかい，觀測かんそく者しゃ將はた無法むほう回かい到いた黑くろ洞ほら外部がいぶ。視界しかい的てき大小だいしょう由ゆかり史ふみ瓦かわら西にし半徑はんけい描述，質量しつりょう為ため$M$的てき黑くろ洞ほら，史し瓦かわら西にし半徑はんけい為ため

$r=2MG/c^{2}.$

此外史し瓦かわら西にし解かい另一個重要的特徵是它包含了奇異きい點てん。在ざい奇異きい點てん時空じくう的てき曲きょく率りつ發散はっさん，古典こてん的てき廣義こうぎ相對そうたい論ろん並なみ不ふ適用てきよう在ざい奇異きい點てん上じょう，故實こじつ如何いか在ざい物理ぶつり上じょう詮かい釋しゃく奇異きい點てん並なみ不明ふめい確かく。可能かのう需要じゅよう一いち個こ可か以考慮こうりょ量子りょうし效こう應おう的てき量子りょうし重力じゅうりょく理論りろん才能さいのう給きゅう出で好こう的てき解釋かいしゃく。任にん何なん通過つうか事件じけん視界しかい的てき類るい時じ(time-like)的てき觀測かんそく者しゃ都會とかい碰到奇異きい點てん。

史ふみ瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし

利用りよう史ふみ瓦かわら西にし座標ざひょう，史ふみ瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし可か以表示ひょうじ成なり如下形式けいしき：

$\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2},$

其中$G$是これ重力じゅうりょく常數じょうすう，$c$是ぜ光速こうそく，$M$解釋かいしゃく為ため產さん生せい重力じゅうりょく的てき物體ぶったい之の質量しつりょう，而

$\mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}\,$

是これ二に維球面めん(2-sphere)上じょう的てき標準ひょうじゅん度ど規ぶんまわし（即そく：立體りったい角かく的てき標準ひょうじゅん單元たんげん）。

定義ていぎ

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$

稱しょう作さく史ふみ瓦かわら西にし半徑はんけい，在ざい史し瓦かわら西にし解かい中ちゅう扮ふん演えんじ關せき鍵かぎ角かく色しょく。

史ふみ瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし實際じっさい上じょう是ぜ真空しんくう場じょう方程式ほうていしき的てき解析かいせき解かい，意思いし上じょう表示ひょうじ其僅在ざい重力じゅうりょく來らい源げん物體ぶったい以外いがい的てき地方ちほう能のう夠成立せいりつ。也就是ぜ說せつ，對たい一いち半徑はんけい$R$之これ球狀きゅうじょう體たい，此解僅在$r>R$時どき成立せいりつ。然しか而，若わか$R$少しょう於史瓦かわら西にし半徑はんけい$r_{s}$，此時解かい描述的てき是ぜ一いち個こ黑くろ洞ほら。為ため了りょう要よう描述重力じゅうりょく來らい源げん物體ぶったい內部與あずか外部がいぶ兩者りょうしゃ的てき重力じゅうりょく場じょう，史し瓦かわら西にし解かい必須ひっす跟一個適當的內部解在$r=R$處しょ連續れんぞく。而內部ぶ解かい的てき形式けいしき多樣たよう，例れい如如果はて把わ星ほし球だま視し為ため不可ふか壓縮あっしゅく流體りゅうたい，則のり內部解かい為ため史ふみ瓦かわら西にし內度規ぶんまわし(Interior Schwarzschild metric)。

此外，注意ちゅうい到いた當とう$M\to 0$或ある$r\rightarrow \infty$，史し瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし近似きんじ為ため閔可夫おっと斯基時空じくう：

$\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}.\,$

直觀ちょっかん上じょう說せつ，這樣的てき結果けっか是ぜ合理ごうり的てき：既すんで然しか遠とお離はなれ了りょう重力じゅうりょく來らい源げん物體ぶったい，時じ空理くうり應變おうへん得とく近きん乎平直じき。具有ぐゆう這樣性質せいしつ的てき度ど規ぶんまわし稱しょう作さく是ぜ漸進ぜんしん平たいら直ただし (asymptotically flat)。

歷史れきし

如其名めい，卡爾·史し瓦かわら西にし是ぜ第だい一個發現史瓦西度規的人。該精確かく解かい發現はつげん於1915年ねん底そこ，旋即在ざい1916年ねん初はつ發表はっぴょう，只ただ比ひ廣義こうぎ相對そうたい論ろん本身ほんみ晚ばん幾いく個月かげつ發表はっぴょう而已。不ふ過か史し瓦かわら西にし在ざい發表はっぴょう論文ろんぶん後ご不ふ久ひさ便びん死し於在第だい一いち世界せかい大戰たいせん服役ふくえき所得しょとく的てき疾病しっぺい。

史ふみ瓦かわら西にし解かい是ぜ除じょ了りょう顯然けんぜん的てき平ひら空間くうかん解かい之の外そと，第だい一個為世人所知的愛因斯坦方程精確解。而在1916年ねん，約やく翰內斯·德とく羅ら斯特以更簡單かんたん，更さら直接的ちょくせつてき方式ほうしき獨立どくりつ推導出どうしゅつ了りょう史し瓦かわら西にし解かい。

在ざい廣義こうぎ相對そうたい論ろん發表はっぴょう之の初はつ，物理ぶつり學がく家か對たい史し瓦かわら西にし解かい，或ある其他解かい內的奇異きい點てん的てき意義いぎ不ふ甚了解りょうかい。事實じじつ上じょう，在ざい史し瓦かわら西にし的てき文章ぶんしょう中ちゅう，他た將しょう現今げんこん認みとめ為ため是ぜ事件じけん視界しかい的てき那な點てん設しつらえ為ため徑みち向むこう座標ざひょう的てき原點げんてん ，而又在ざい文章ぶんしょう中ちゅう引進了りょう一いち個こ輔助座標ざひょう，我わが們現今こん稱しょう它為的てき史し瓦かわら西にし徑みち向こう座標ざひょう，也就是ぜ上うえ節ぶし公式こうしき中ちゅう的てき$r$座標ざひょう。

一個更完整的分析在隔年由大だい衛まもる·希まれ爾しか伯はく特とく給きゅう出で，並なみ且指出で了りょう兩個りゃんこ可能かのう的てき奇異きい點てん  $r=0$ 和わ $r=r_{s}$ 。當時とうじ一般いっぱん認みとめ為ため  $r=0$ 為ため一個真正幾何上的奇點，但ただし是ぜ對たい於 $r=r_{s}$ 的てき本質ほんしつ仍不清楚せいそ。

保ほ羅ら·班はん勒衛和わ阿おもね爾しか瓦かわら·古こ爾なんじ斯特蘭らん德とく分別ふんべつ在ざい1921和わ1922年ねん獨立どくりつ推導出どうしゅつ愛あい因いん斯坦方かた程ほど球たま對稱たいしょう的てき真空しんくう解かい，他た們在 $r=r_{s}$處しょ並なみ沒ぼつ有ゆう奇き點てん。在ざい那な時じ他た們並不ふ了解りょうかい這個解かい是ぜ史し瓦かわら西にし解かい在ざい其他座標ざひょう下か的てき形式けいしき。事實じじつ上じょう，他た們還用よう此解說明せつめい廣義こうぎ相對そうたい論ろん是ぜ有ゆう缺かけ失しつ的てき。如今這個解かい被ひ稱しょう為ため古こ爾なんじ斯特蘭らん德とく-班はん勒衛座標ざひょう(Gullstrand–Painlevé coordinates)，顯示けんじ他た只ただ是ぜ史し瓦かわら西にし解かい的てき一いち個こ座標ざひょう形式けいしき而已。

在ざい 1924年ねん，亞あ瑟·愛あい丁ひのと頓とみ構造こうぞう出で了りょう第だい一いち個こ座標ざひょう變換へんかん，使つかい得とく史し瓦かわら西にし解かい在ざい $r=r_{s}$處しょ沒ぼつ有ゆう奇き點てん，也就是ぜ愛あい丁ひのと頓とみ-芬克斯坦座標ざひょう(Eddington–Finkelstein coordinates)。但ただし是ぜ他た似に乎沒有意ゆうい識到這個發現はつげん重要じゅうよう性せい。隨ずい後ご在ざい1932年ねん，喬たかし治ち·勒梅特とく給きゅう出で了りょう另一いち個こ在ざい $r=r_{s}$處しょ沒ぼつ有ゆう奇き點てん的てき座標ざひょう(勒梅特とく座標ざひょう，Lemaître coordinates)，並なみ且意識到 $r=r_{s}$處しょ不ふ是ぜ物理ぶつり上じょう真正しんせい的てき奇き點てん。而在1939年ねん，霍華德とく·羅ら伯はく遜へりくだ證明しょうめい了りょう一いち個こ自由じゆう墜落ついらく的てき觀測かんそく者しゃ，只ただ會かい在ざい有限ゆうげん的てき原はら時とき通過つうか $r=r_{s}$處しょ，雖然對たい一個在遠處的觀測者來說，需要じゅよう耗費無限むげん久ひさ的てき時間じかん。

在ざい1950年ねん，約やく翰·辛からし格かく找出了りょう整せい個こ史し瓦かわら西にし解かい的てき最大さいだい解析かいせき延のべ拓たく形式けいしき，並なみ且再次じ證明しょうめい了りょう $r=r_{s}$處しょ奇き點てん只ただ是これ個こ座標ざひょう選擇せんたく造成ぞうせい的てき假象かしょう。之これ後ご類似るいじ的てき最大さいだい解析かいせき延のべ拓つぶせ解かい也獨立どくりつ的てき被ひ塞ふさが凱賴什·哲あきら爾なんじ吉きち和わ馬丁ばてい·克かつ魯斯卡爾發現はつげん。 而這座標ざひょう如今被ひ稱しょう為ため克かつ魯斯卡爾-塞ふさが凱賴什座標ざひょう(Kruskal-Szekeres coordinates)。這個座標ざひょう比ひ辛からし格かく給きゅう出で的てき座標ざひょう還かえ要よう簡單かんたん許多きょた，但ただし是ぜ兩者りょうしゃ都と是ぜ一套可以完整覆蓋所有史瓦西解的座標系統。話はなし雖如此，可能かのう是ぜ因いん為ため發表はっぴょう的てき期き刊かん的てき關係かんけい，勒梅特とく和わ辛からし格かく的てき論文ろんぶん並なみ沒ぼつ有ゆう受到學界がっかい注意ちゅうい，使つかい得とく眾多知名ちめい的てき物理ぶつり學がく家か，包括ほうかつ愛あい因いん斯坦，都と認みとめ為ため在ざい史し瓦かわら西にし半徑はんけい上じょう的てき奇き點てん是ぜ實際じっさい存在そんざい的てき。

隨ずい後ご到いた了りょう1960年代ねんだい，一些更高等的數學工具例如微分びぶん幾何きか進入しんにゅう了りょう廣義こうぎ相對そうたい論ろん的てき研究けんきゅう後ご，才ざい有ゆう更さら多た的てき進展しんてん。利用りよう微分びぶん幾何きか的てき概念がいねん，勞ろう倫りん茲流形がた上うえ的てき奇き點てん可か以被精確せいかく的てき定義ていぎ。而這讓ゆずる整せい個こ史し瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし上じょう的てき奇き點てん完全かんぜん地ち的てき確立かくりつ下か來らい。 並なみ且正式しき的てき證明しょうめい了りょう$r=r_{s}$處しょ只ただ是ぜ一時空上的事件視界而已。

奇異きい點てん和わ事件じけん視界しかい

史ふみ瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし在ざい $r=0$ 和わ $r=r_{s}$處しょ是ぜ發散はっさん的てき，表示ひょうじ他た們可能かのう是ぜ奇異きい點てん。一般いっぱん而言，史し瓦かわら西にし解かい只ただ能のう描述一個球對稱星體外部的時空結構， 因いん此如果はて星ほし體たい半徑はんけい $R>r_{s}$ 的まと話ばなし就無任にん何なん問題もんだい。對たい於一般いっぱん的てき恆星こうせい，這條件じょうけん幾いく乎在所有しょゆう時候じこう都會とかい滿足まんぞく。例れい如太陽たいよう半徑はんけい大約たいやく為ため 700,000 公里くり，但ただし是ぜ其史瓦かわら西にし半徑はんけい大約たいやく只ただ有ゆう 3 公里くり。

實際じっさい上じょう， $r=r_{s}$處しょ是ぜ一いち個こ事件じけん視界しかい，他た將しょう整せい個こ時空じくう分ぶん成なり兩個りゃんこ區域くいき。 史し瓦かわら西にし外部がいぶ解かい( Exterior Schwarzschild solution)，也就是ぜ $r>r_{s}$的てき區域くいき。它可以描述じゅつ星ほし體たい的てき外部がいぶ結構けっこう。而史瓦かわら西にし內部解かい (Interior Schwarzschild solution) 則のり為ため $0\leq r<r_{s}$ 的てき區域くいき。他た們是兩個りゃんこ互不重疊ちょうじょう的てき局部きょくぶ坐すわ標しるべ系けい (又また稱たたえ為ため座標ざひょう卡, coordinate chart)，並なみ且可視し為ため互相獨立どくりつ的てき解かい。在ざい $r=r_{s}$的てき地方ちほう並なみ非ひ是ぜ一いち個こ真實しんじつ的てき奇異きい點てん。度ど規ぶんまわし會かい發散はっさん是ぜ因いん為ため我わが們選了りょう一いち個こ不ふ恰當的てき座標ざひょう系統けいとう，如果改あらため用よう其他的てき座標ざひょう系統けいとう，例れい如克かつ魯斯卡爾-塞ふさが凱賴什座標ざひょう，則のり在ざい $r=r_{s}$處しょ就不會かい發散はっさん。而使用しよう這樣的てき座標ざひょう系統けいとう則そく可か以讓我わが們把史し瓦かわら西にし外部がいぶ解かい延伸えんしん到いた史し瓦かわら西にし內部解かい。

史ふみ瓦かわら西にし內部解かい是ぜ一個完全合法的愛因斯坦方程解，但ただし是ぜ他た有ゆう許多きょた有ゆう趣おもむき的てき性質せいしつ。例れい如說，在ざい內部裡うら面めん徑みち向こう座標ざひょう $r$ 是これ類るい時じ的てき，而時間あいだ座標ざひょう $t$ 是これ類るい空間くうかん的てき。也就是ぜ說せつ，觀測かんそく者しゃ不可能ふかのう維持いじ在ざい等とう徑みち向こう距離きょり移動いどう( $r$ 是ぜ常數じょうすう)。事實じじつ上じょう因いん為ため觀測かんそく者しゃ的てき未來みらい光ひかり錐きり永遠えいえん指向しこう $r$ 變へん小しょう的てき方向ほうこう，所以ゆえん任にん何なん在ざい這個區域くいき的てき觀測かんそく者しゃ都と終おわり將しょう會かい碰到 $r=0$ 處しょ(奇異きい點てん)。因よし此 $r=r_{s}$處しょ可か以看成なり是ぜ一いち個こ界線かいせん，任にん何なん觀測かんそく者しゃ進入しんにゅう了りょう這個界かい限げん之これ後ご將はた再さい也無法ほう脫だつ離はなれ黑くろ洞ほら，而任何なん在ざい$r>r_{s}$的てき觀測かんそく者しゃ也無法ほう接受せつじゅ到來とうらい自じ $r<r_{s}$ 處しょ的てき訊息。

相對そうたい於 $r=r_{s}$處しょ的てき事件じけん視界しかい，在ざい $r=0$ 的てき地方ちほう是ぜ一個真正物理上的奇異點，又また稱たたえ為ため重力じゅうりょく奇異きい點てん(Gravitational singulartiy)。要よう證明しょうめい他た是ぜ真正しんせい的てき奇異きい點てん我わが們可以檢查幾いく個こ重要じゅうよう的てき座標ざひょう不ふ變量へんりょう是ぜ否ひ發散はっさん，例れい如柯瑞奇き曼純量りょう (Kretschmann scalar)。而我們發現はつげん史し瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし的てき 柯瑞奇き曼純量りょう 是ぜ：

$R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,$

可か以看得とく出來でき它在 $r=0$ 處しょ是ぜ發散はっさん的てき，因いん此這是ぜ一いち個こ真正しんせい的てき奇き點てん。愛あい因いん斯坦方かた程ほど無法むほう描述此處ここ的てき時空じくう性質せいしつ，物理ぶつり學がく家か也無法ほう確定かくてい在ざい在ざい奇異きい點てん會かい發生はっせい甚麼いんも事ごと，或ある者もの它代表だいひょう甚麼いんも意義いぎ。一般相信需要一個完整的量子りょうし重力じゅうりょく理論りろん，或ある者もの一個考慮量子修效應的半はん古典こてん重力じゅうりょく才能さいのう解釋かいしゃく重力じゅうりょく奇き點てん的てき現象げんしょう。在ざい過去かこ物理ぶつり學がく家か認みとめ為ため有ゆう這樣一個有重力奇異點的解是沒有物理意義的。但ただし是ぜ隨ずい著ちょ人じん們對廣義こうぎ相對そうたい論ろん有ゆう更さら深入ふかいり的てき了解りょうかい之これ後ご，他た們意識到了りょう這種有ゆう引力いんりょく奇異きい點てん的てき解かい是ぜ很一般いっぱん的てき現象げんしょう。史し瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし的てき奇異きい點てん不ふ是ぜ一いち個こ特殊とくしゅ的てき例外れいがい。

其他座標ざひょう系統けいとう

除じょ了りょう上述じょうじゅつ的てき用よう的てき史し瓦かわら西にし座標ざひょう之の外そと，史し瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし也可以用其他的てき座標ざひょう系統けいとう表示ひょうじ。不同ふどう的てき座標ざひょう系統けいとう強調きょうちょう史し瓦かわら西にし解かい不同ふどう的てき特性とくせい。以下いか列れつ出で幾いく個こ常見つねみ的てき座標ざひょう系統けいとう。注意ちゅうい在ざい這裡光速こうそく設しつらえ為ため1，亦また即そく$c=1$，而

$d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}$

是これ二に維球面めん(2-sphere)上じょう的てき標準ひょうじゅん度ど規ぶんまわし。

愛あい丁ひのと頓とみ-芬克斯坦座標ざひょう

它的形式けいしき有ゆう兩りょう種たね，分別ふんべつ為ため向こう內型和わ向こう外そと型がた。向こう內的座標ざひょう為ため：

$ds^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}\,d\Omega ^{2}$

而向外的がいてき座標ざひょう為ため：

$ds^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}\,d\Omega ^{2}$

他た們在史し瓦かわら西にし半徑はんけい都と是ぜ解析かいせき的てき，其中向こう內型的てき座標ざひょう延伸えんしん到いた未來みらい事件じけん視界しかい，而向外がい型がた的てき座標ざひょう延伸えんしん到いた過去かこ事件じけん視界しかい。

各かく向こう同性どうせい座標ざひょう

它的座標ざひょう形式けいしき為ため：

$ds^{2}=-{\frac {\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}}\,{dt}^{2}+\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{4}\,\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)$

其中 $R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$。它的光こう錐きり在ざい等とう時間じかん的てき切片せっぺん上じょう是ぜ同どう向むこう的てき。

克かつ魯斯卡爾-塞ふさが凱賴什座標ざひょう

主しゅ条目じょうもく：克かつ魯斯卡爾座標ざひょう系けい

它的座標ざひょう形式けいしき為ため：

$ds^{2}=-{\frac {4r_{\mathrm {s} }^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}\,\left(dT^{2}-dR^{2}\right)+r^{2}\,d\Omega ^{2}$

其中 $r^{2}=r^{2}(T,R)$ 為ため $R$ 和わ $T$ 的てき函數かんすう，它滿足まんぞく以下いか的てき隱かくれ式しき方かた程ほど：

$T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}\right)e^{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}$

此度規ぶんまわし一樣在史瓦西半徑處是解析的，而且它是整せい個こ史し瓦かわら西にし解かい的てき最大さいだい解析かいせき延のべ拓たく形式けいしき。

其他

此外還かえ有ゆう一些比較少用到的座標形式：

• 勒梅特とく座標ざひょう (Lemaître coordinates) $ds^{2}=-dT^{2}+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\,dR^{2}-r^{2}\,d\Omega ^{2}$
• 古こ爾なんじ斯特蘭らん德とく-班はん勒衛座標ざひょう(Gullstrand–Painlevé coordinates) $ds^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dT^{2}+2{\sqrt {\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}\,dT\,dr-dr^{2}-r^{2}\,d\Omega ^{2}$

它們的てき特とく點てん都と是ぜ在ざい史し瓦かわら西にし半徑はんけい上じょう是ぜ解析かいせき的てき。

封ふう閉軌道どう

兩個りゃんこ自由じゆう物體ぶったい分別ふんべつ在ざい古典こてん重力じゅうりょく(左ひだり)和史かずし瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし(右みぎ)運動うんどう的てき情じょう形がた。可か以注意ちゅうい到いた在ざい右邊うへん的てき情況じょうきょう會かい有ゆう近日きんじつ點てん進しん動どう。

對たい於一個在史瓦西黑洞自由運動的物體，在ざい恰當的てき起おこり始はじめ條件じょうけん之の下しも可能かのう可か以有封ふう閉圓形かたち軌道きどう。這樣的てき軌道きどう存そん不ふ存在そんざい取と決けつ於物體たい離はなれ黑くろ洞ほら的てき距離きょり。半徑はんけい為ため $r>3r_{s}$的てき軌道きどう是ぜ存在そんざい且穩定じょう的てき。而半徑はんけい為ため介かい於$1.5r_{s}$和わ $3r_{s}$之これ間あいだ的てき軌道きどう存在そんざい，但ただし是ぜ不穩ふおん定じょう。而半徑はんけい小しょう於$1.5r_{s}$的てき軌道きどう是ぜ不ふ存在そんざい的てき。在ざい軌道きどう半徑はんけい趨近於最小さいしょう值$1.5r_{s}$時どき該物體ぶったい的てき速度そくど會かい趨近於光速そく。當然とうぜん物體ぶったい還かえ是ぜ可か以在擁よう有ゆう比ひ$1.5r_{s}$還かえ要よう小しょう的てき軌道きどう，但ただし是ぜ此時必須ひっす對たい物體ぶったい施ほどこせ加か外力がいりょく讓ゆずる它不掉進黑くろ洞ほら裡うら。

對たい於非圓形えんけい的てき軌道きどう，物體ぶったい的てき運動うんどう也會和わ古典こてん牛うし頓とみ重力じゅうりょく預あずか測はか的てき有ゆう所しょ不同ふどう：物體ぶったい不ふ再會さいかい是ぜ封ふう閉的原げん軌跡きせき。定性ていせい而言，物體ぶったい在ざい近日きんじつ點てん附近ふきん的てき時間じかん會かい相しょう較於古典こてん重力じゅうりょく預あずか測はか的てき比較ひかく長ちょう。而一いち個こ物體ぶったい掉進黑くろ洞ほら永遠えいえん不ふ會かい再さい出來でき可か以看成なり是ぜ這個特性とくせい的てき極端きょくたん情況じょうきょう。

曲きょく率りつ張はり量りょう

史ふみ瓦かわら西にし度ど規ぶんまわし的てき里さと奇き曲きょく率りつ純量じゅんりょう和わ里さと奇き曲きょく率りつ張はり量りょう皆みな為ため零れい，但ただし是ぜ他た的てき黎はじむ曼曲率りつ張はり量りょう則のり不ふ一定いってい為ため零れい，不為ふため零れい的てき分量ぶんりょう有ゆう：

$R^{t}{}_{rrt}=2R^{\theta }{}_{r\theta r}=2R^{\phi }{}_{r\phi r}={\frac {r_{s}}{r^{2}(r_{s}-r)}},$

$2R^{t}{}_{\theta \theta t}=2R^{r}{}_{\theta \theta r}=R^{\phi }{}_{\theta \phi \theta }={\frac {r_{s}}{r}},$

$2R^{t}{}_{\phi \phi t}=2R^{r}{}_{\phi \phi r}=-R^{\theta }{}_{\phi \phi \theta }={\frac {r_{s}\sin ^{2}\theta }{r}},$

$R^{r}{}_{trt}=-2R^{\theta }{}_{t\theta t}=-2R^{\phi }{}_{t\phi t}=c^{2}{\frac {r_{s}(r_{s}-r)}{r^{4}}}$

注意ちゅうい其他可か以用曲きょく率りつ張はり量りょう對稱たいしょう性せい得え到いた的てき分量ぶんりょう不ふ列れつ在ざい此表內。

相關そうかん條目じょうもく

• 愛あい因いん斯坦場じょう方程式ほうていしき
• 白しろ洞ほら
• 黑くろ洞ほら
• 萊斯納おさめ-諾だく德とく斯特洛らく姆度規ぶんまわし (帶電たいでん，無む角すみ動どう量りょう的てき解かい)
• 克かつ爾なんじ度ど規ぶんまわし (不ふ帶電たいでん，有ゆう角かく動どう量的りょうてき解かい)
• 克かつ爾なんじ-紐ひも曼度規ぶんまわし( 帶電たいでん，有ゆう角かく動どう量的りょうてき解かい)
• 托たく爾しか曼－歐おう本ほん海うみ默だま－沃爾科か夫おっと方程式ほうていしき (描述一いち個こ球だま對稱たいしょう，由ゆかり均ひとし向こう物質ぶっしつ所しょ造成ぞうせい的てき度ど規ぶんまわし的てき方かた程ほど)
• 史ふみ瓦かわら西にし半径はんけい