赫尔曼·闵可夫 おっと 斯基 (1864-1909)发现狭 せま 义相对论在 ざい 利用 りよう 闵可夫 おっと 斯基时空这一四维空间时更容易理解。
闵可夫 おっと 斯基时空 (Minkowski spacetime)又 また 称 しょう 闵可夫 おっと 斯基空 そら 间 (Minkowski space),在 ざい 数学 すうがく 物理 ぶつり 学 がく 中 ちゅう 是 ぜ 指 ゆび 由 よし 三 さん 维欧 おう 几里德 とく 空 そら 间与 あずか 时间 组成的 てき 四 よん 维流 ながれ 形 がた ,其中任意 にんい 两个事件 じけん 之 の 间的时空间隔与 あずか 所 ところ 依 よ 照 あきら 的 てき 惯性系 けい 无关。尽 つき 管 かん 赫尔曼·闵可夫 おっと 斯基 一开始是为了电磁理论的麦 むぎ 克 かつ 斯韦方 かた 程 ほど 组 而发展 てん 这一理 いちり 论,但 ただし 闵可夫 おっと 斯基时空的 てき 结构却可以从狭 せま 义相对论的 てき 公 おおやけ 设直接 ちょくせつ 推出。[ 1]
闵可夫 おっと 斯基空 そら 间与阿 おもね 尔伯特 とく ·爱因斯坦的 てき 狭 せま 义相对论 紧密相 しょう 关,并且是 ぜ 狭 せま 义相对论最 さい 为常用 じょうよう 的 てき 数学 すうがく 表 ひょう 述 じゅつ 结构。欧 おう 几里德 とく 空 そら 间的单个分量 ぶんりょう 以及时间可能 かのう 会 かい 因 いん 为长度收 おさむ 缩 以及时间膨胀 等 とう 效 こう 应而发生变化,在 ざい 闵可夫 おっと 斯基空 そら 间中,不同 ふどう 参考 さんこう 系 けい 中 ちゅう 两个事件 じけん 间的时空总距离则都 と 是 ぜ 一致 いっち 的 てき 。[ nb 1] 不 ふ 过由于时间维度 ど 与 あずか 三个空间维度的处理方式仍存在不同之处,闵可夫 おっと 斯基空 そら 间与四维欧几里德空间仍是不同的。
在 ざい 三维欧几里德空间(比 ひ 如伽利 り 略 りゃく 相 あい 对性原理 げんり 中 なか 的 てき 空 そら 间)中 ちゅう ,欧 おう 几里德 とく 群 ぐん 是 ぜ 其中的 てき 等 とう 距群 (即 そく 可 か 以保证正则欧 おう 几里德 とく 距离不 ふ 变的映 うつ 射 い )。它是由 ゆかり 旋转 、反射 はんしゃ 以及平 ひら 移 うつり 生成 せいせい 的 てき 。当 とう 将 しょう 时间作 さく 为第四个维度考虑在内时,时间的 てき 平 たいら 移 うつり 以及伽 とぎ 利 り 略 りゃく 递升 就需要 よう 考 こう 虑在内 ない 。由 よし 上述 じょうじゅつ 提 ひさげ 及的变换所 しょ 构成的 てき 群 ぐん 称 しょう 作 さく 伽 とぎ 利 り 略 りゃく 群 ぐん 。所有 しょゆう 的 てき 伽 とぎ 利 り 略 りゃく 变换保 ほ 证三维欧几里德距离不变。这个距离只 ただ 是 ぜ 空 そら 间上的 てき 距离。时间则独立 どくりつ 于空间,同 どう 时保持 ほじ 不 ふ 变。在 ざい 狭 せま 义相对论中 ちゅう ,空 そら 间和时间则会互相影 かげ 响。
闵可夫 おっと 斯基空 そら 间对于时空 そら 的 てき 表 ひょう 述 じゅつ 是 ぜ 借 か 助 じょ 不定 ふてい 非 ひ 退化 たいか 双 そう 线性形式 けいしき 完成 かんせい 的 てき 。这一形式在下文中会依据语境不同被叫作“闵可夫 おっと 斯基度 ど 规”、[ 2] “闵可夫 おっと 斯基范数平方 へいほう ”或 ある 是 ぜ “闵可夫 おっと 斯基内 ない 积”[ nb 2] 闵可夫 おっと 斯基内 ない 积是在 ざい 两个事件 じけん 的 てき 坐 すわ 标差矢 や 量 りょう 作 さく 为自变量时对时空间隔定 てい 义的。[ 3] 在 ざい 引入这种内 ない 积后,时空的 てき 数学 すうがく 模型 もけい 就被叫 さけべ 作 さく 闵可夫 おっと 斯基空 そら 间。对应于伽利 り 略 りゃく 群 ぐん ,闵可夫 おっと 斯基时空中保 なかほ 证时空 そら 间隔不 ふ 变的变换群 ぐん 叫 さけべ 作 さく “庞加莱群 ”。
总体而言,伽 とぎ 利 り 略 りゃく 时空与 あずか 闵可夫 おっと 斯基时空在 ざい 被 ひ 看 み 作 さく 流 りゅう 形 がた 时是完全 かんぜん 相 しょう 同 どう 的 てき 。他 た 们之所以 ゆえん 不同 ふどう 是 ぜ 因 いん 为定义于其上的 てき 结构是 ぜ 不同 ふどう 的 てき 。前者 ぜんしゃ 有 ゆう 的 てき 是 ぜ 欧 おう 几里德 とく 距离,独立 どくりつ 于空间的时间以及由 よし 伽 とぎ 利 り 略 りゃく 变换相互 そうご 关联的 てき 惯性系 けい ,而后者 しゃ 有 ゆう 的 てき 是 ぜ 闵可夫 おっと 斯基度 ど 规和由 よし 洛 らく 伦兹变换相互 そうご 关联的 てき 惯性系 けい 。
亨 とおる 利 り ·庞加莱在 ざい 1905年 ねん 至 いたり 1906年 ねん 间发现当将 はた 时间作 さく 为一个虚坐标ict (其中c 为光速 こうそく ,i 是 これ 虚数 きょすう 单位 )并与三个表示空间的实坐标共同组成四维时空时,洛 らく 伦兹变换 就可以看作 さく 是 ぜ 这一时空中的坐标旋转。[ 4] 狭 せま 义相对论可 か 以保证这个量:
−
t
2
+
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle -t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}
在 ざい 两个惯性系 けい 间的坐 すわ 标变换,也就是 ぜ 洛 らく 伦兹变换,前 ぜん 后 きさき 保持 ほじ 不 ふ 变。
注 ちゅう :此处及以下 か 公式 こうしき 使用 しよう 了 りょう 几何单位制 せい ,即 そく 令 れい c=1的 てき 单位制 せい ,所以 ゆえん 在 ざい 这种单位制 せい 下 か t和 わ x,y,z量 りょう 纲相同 どう 。
这里对于光速 こうそく c 依 よ 照 あきら 庞加莱的做法做了归一处理。在 ざい 由 ゆかり 他 た 提出 ていしゅつ 的 てき 空 そら 间中,坐 すわ 标空间是通 どおり 过(t , x , y , z ) ↦ (x , y , z , it ) 构造的 てき 。洛 らく 伦兹变换在 ざい 坐 すわ 标空间中作 さく 为普通 どおり 的 てき 旋转变换保 ほ 证
x
2
+
y
2
+
z
2
+
t
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}
不 ふ 变。后 きさき 一种表述可以让前面的表述更为容易理解[ nb 3] ,但 ただし 两式中 ちゅう t 所 ところ 表示 ひょうじ 的 てき 意 い 义不同 ふどう (前者 ぜんしゃ 表示 ひょうじ 的 てき 惯性系 けい 中 ちゅう 测得的 てき 固有 こゆう 时间本身 ほんみ ,后 きさき 者 しゃ 表示 ひょうじ 的 てき 时间坐标)也可能会 のうかい 造成 ぞうせい 混淆 こんこう 。
无论是 ぜ 在 ざい 坐 すわ 标空间还是 ぜ 在 ざい 实际的 てき 时空中 ちゅう ,在 ざい 由 よし 两个空 そら 间单位 い 矢 や 量 りょう 确定的 てき 平面 へいめん 中 ちゅう 的 てき 旋转就是通常 つうじょう 意 い 义上的 てき 旋转。不 ふ 过当那 な 个平面 めん 是 ぜ 由 よし 一个时间单位矢量以及一个空间单位矢量确定的时候,其中的 てき “旋转”称 しょう 作 さく 洛 らく 伦兹递升 ,与 あずか 欧 おう 几里德 とく 旋转就不那 な 么相似 そうじ 了 りょう 。
赫尔曼·闵可夫 おっと 斯基 基 もと 于这一构想在四维空间中重新阐释了麦 むぎ 克 かつ 斯韦方 かた 程 ほど 组 ,并展示 てんじ 了 りょう 其在洛 らく 伦兹变换前 ぜん 后 きさき 的 てき 不 ふ 变性。[ 5] 他 た 又 また 进一步在四维空间中重新表述了爱因斯坦的狭义相对论,由 よし 此总结出时间与空 そら 间应该做相 しょう 同 どう 的 てき 处理,并提出 ていしゅつ 了 りょう 事件 じけん 是 ぜ 在 ざい 一个统一的四维时空连续统 中 ちゅう 发生的 てき 概念 がいねん 。
1908年 ねん ,在 ざい 有 ゆう 关“空 そら 间与时间”的 てき 讲座中 ちゅう ,闵可夫 おっと 斯基又 また 利用 りよう 另一种方式来阐释这种四维时空。[ 6] 他 た 将 しょう 虚 きょ 的 てき 时间坐标替换为实的时间坐标,并利用 りよう 一 いち 个四维实矢 や 量 りょう 空 そら 间来 らい 表 ひょう 述 じゅつ 时空的 てき 四 よん 个自变量(x , y , z , t ) 。这个空 そら 间中的 てき 点 てん 与 あずか 时空中 ちゅう 的 てき 事件 じけん 一 いち 一 いち 对应。在 ざい 这个时空中 ちゅう 还有一 いち 个特别的光 ひかり 锥 。空 そら 间中不在 ふざい 光 こう 锥上的 てき 点 てん 可 か 以依据 すえ 它们与光 こう 锥的关系划分为“类空”或 ある “类时”。这与现今对时空 そら 的 てき 认知基本 きほん 一致 いっち 。不 ふ 过那种将时间作 さく 为虚坐 すわ 标的做法由 よし 于某些原因 げんいん 仍在狭 せま 义相对论以及量子 りょうし 场论有 ゆう 所 しょ 应用。将 はた 时间作 さく 为实坐标的闵可夫 おっと 斯基空 そら 间与将 はた 时间作 さく 为虚坐 すわ 标的四维欧几里德空间之间的转换叫作威 い 克 かつ 转动 。[ nb 4]
在 ざい 闵可夫 おっと 斯基的 てき 论文中 ちゅう ,下面 かめん 定 てい 义的闵可夫 おっと 斯基度 ど 规叫作 さく “线元素 げんそ ”,涉 わたる 及特定 とくてい 矢 や 量 りょう 正 せい 交性(他 た 本人 ほんにん 叫 さけべ 作 さく “正 せい 规性”)的 てき 闵可夫 おっと 斯基内 ない 积没有 ゆう 被 ひ 命名 めいめい ,而闵可 か 夫 おっと 斯基范数平方 へいほう 则叫作 さく “和 わ ”。
闵可夫 おっと 斯基图 是 ぜ 闵可夫 おっと 斯基使用 しよう 的 てき 一 いち 项重要 じゅうよう 的 てき 工具 こうぐ 。他 た 利用 りよう 这一工具来定义概念并展示了洛伦兹变换的一些性质(比 ひ 如固有 こゆう 时间和 わ 长度收 おさむ 缩 ),并提供 ていきょう 了 りょう 牛 うし 顿力学 がく 推广到相 しょう 对论力学 りきがく 的 てき 几何解 かい 释。有 ゆう 关这些话题请参看 さんかん 相 しょう 关条目 め 。下面 かめん 主要 しゅよう 展示 てんじ 的 てき 主要 しゅよう 是 ぜ 利用 りよう 由 よし 时空流 りゅう 形 がた 上 じょう 的 てき 时空间隔不 ふ 变性得 え 到 いた 的 てき 闵可夫 おっと 斯基空 そら 间的数学 すうがく 结构(闵可夫 おっと 斯基度 ど 规、由 ゆかり 它推导出的 てき 量 りょう 以及作 さく 为时空 そら 对称群 ぐん 的 てき 庞加莱群),不 ふ 包括 ほうかつ 其具体 ぐたい 应用以及时空间隔不 ふ 变性的 てき 推导。这个数学 すうがく 结构提供 ていきょう 了 りょう 目前 もくぜん 广义相 しょう 对论以外 いがい 所有 しょゆう 相 しょう 对论理 り 论的背景 はいけい 。对于广义相 しょう 对论,闵可夫 おっと 斯基时空仍可作 さく 为局部 ぶ 平坦 へいたん 的 てき 弯曲时空的 てき 出 で 发点。
闵可夫 おっと 斯基本人 ほんにん 对于他 た 的 てき 这种重 おも 新 しん 阐释方法 ほうほう 有 ゆう 着 ぎ 这样的 てき 评价:
我 わが 想 そう 要 よう 在 ざい 从实验物理学 りがく 土壤 どじょう 中 ちゅう 勃发出 で 的 てき (理 り 论)下 した 埋 うめ 置 おけ 的 てき 时空观在那 な 里 さと 拥有它自身 じしん 的 てき 力量 りきりょう 。它是激 げき 进的。自 じ 此,单是空 そら 间或是 ぜ 时间将 はた 隐没入 ぼつにゅう 阴影之 の 中 なか ,只 ただ 有 ゆう 它们的 てき 联合体 がったい 才 ざい 会 かい 维系着 ぎ 一 いち 个独立 どくりつ 的 てき 现实。
——赫尔曼·闵可夫 おっと 斯基,1908-1909[ 6]
更 さら 进一步的历史方面的信息,请参阅Galison (1979) harvtxt error: no target: CITEREFGalison1979 (help ) , Corry (1997) harvtxt error: no target: CITEREFCorry1997 (help ) and Walter (1999) 。
本 ほん 图展示 てんじ 了 りょう 球面 きゅうめん 上 じょう 的 てき 点 てん x 的 てき 切 きり 空 そら 间。这个矢 や 量 りょう 空 そら 间可以看作 さく ℝ3 的 てき 子 こ 空 そら 间。其中的矢 まとや 量 りょう 则叫作 さく “几何切 きり 矢 や 量 りょう ”。同 どう 理 り ,平坦 へいたん 时空中 ちゅう 任 にん 一点的切空间可以视为时空的子空间。
下 しも 文中 ぶんちゅう ,时空将 はた 被 ひ 赋以对应某 ぼう 个惯性系 けい 的 てき 坐 すわ 标系。这样就可以得到 いた 一 いち 个的原点 げんてん 。这个原 げん 点在 てんざい 把 わ 时空构造为矢量 りょう 空 そら 间的过程中 ちゅう 很重要 じゅうよう 。尽 つき 管 かん 从物理 ぶつり 意 い 义来说这样的一 いち 个正则原点 てん (时空的 てき “中心 ちゅうしん ”事件 じけん )并不需要 じゅよう 存在 そんざい 。人 ひと 们可以构造 づくり 具有 ぐゆう 更 さら 简单结构的 てき 时空,比 ひ 如仿射空 そら 间 ,但 ただし 这会添加 てんか 不 ふ 必要 ひつよう 的 てき 讨论,并且不能 ふのう 反映 はんえい 平坦 へいたん 空 そら 间目前 ぜん 是 ぜ 如何 いか 从数学 がく 上 じょう 处理的 てき 。
总体而言,闵可夫 おっと 斯基空 そら 间是一个四维实矢量空间。时空中 ちゅう 每 まい 个点的 てき 切 きり 空 そら 间上具有 ぐゆう 非 ひ 退化 たいか 对称双 そう 线性形式 けいしき ,这里称 しょう 作 さく “闵可夫 おっと 斯基内 ない 积”,度 ど 规符号 ごう 差 さ 为(+ − − −) 或 ある (− + + +) 。每 まい 个事件 じけん 的 てき 切 きり 空 そら 间是一个具有与时空相同维度的四维矢量空间。
切 きり 空 そら 间在实际应用中 ちゅう 可能 かのう 并不会 かい 涉 わたる 及。闵可夫 おっと 斯基空 そら 间的切 きり 空 そら 间的性 せい 质可以让人 じん 们拥有 ゆう 利用 りよう 闵可夫 おっと 斯基空 そら 间本体 ほんたい 里 さと 的矢 まとや 量 りょう 标示切 きり 空 そら 间中矢 や 量的 りょうてき 规范方法 ほうほう 。例 れい 子 こ 请参见Lee (2003 ,Proposition 3.8.) harvtxt error: no target: CITEREFLee2003 (help ) 。标识的 てき 过程通常 つうじょう 是 ぜ 利用 りよう 数学 すうがく 方法 ほうほう 完成 かんせい 的 てき 。它们可 か 以在直角 ちょっかく 坐 すわ 标系中 ちゅう 表示 ひょうじ 为:[ 7]
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
)
↔
x
0
e
0
|
p
+
x
1
e
1
|
p
+
x
2
e
2
|
p
+
x
3
e
3
|
p
↔
x
0
e
0
|
q
+
x
1
e
1
|
q
+
x
2
e
2
|
q
+
x
3
e
3
|
q
,
{\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\leftrightarrow x^{0}\mathbf {e} _{0}|_{p}+x^{1}\mathbf {e} _{1}|_{p}+x^{2}\mathbf {e} _{2}|_{p}+x^{3}\mathbf {e} _{3}|_{p}\leftrightarrow x^{0}\mathbf {e} _{0}|_{q}+x^{1}\mathbf {e} _{1}|_{q}+x^{2}\mathbf {e} _{2}|_{q}+x^{3}\mathbf {e} _{3}|_{q},}
其中切 きり 空 そら 间的基 もと 矢 や 定 てい 义为:
e
μ みゅー
|
p
=
∂
∂
x
μ みゅー
|
p
或 ある
e
0
|
p
=
(
1
0
0
0
)
等 ひとし
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ 或 ある }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{等 ひとし }}.}
这里的 てき p 和 わ q 是 ぜ 任意 にんい 的 てき 两个事件 じけん ,后 きさき 一种标示叫作平行 へいこう 移 うつり 动 。第 だい 一 いち 种标示 しめせ 是 ぜ 利用 りよう 空 そら 间本体 たい 中 ちゅう 的矢 まとや 量 りょう 来 らい 表示 ひょうじ 切 きり 空 そら 间中矢 や 量的 りょうてき 规范方法 ほうほう 。切 きり 空 そら 间的基 もと 矢 や 会 かい 出 で 现一阶微分符号就是因为这种标示方式。这种标示方式 ほうしき 得 とく 益 えき 于几何 なん 切 きり 矢 や 量 りょう 可 か 以与一 いち 组平滑 へいかつ 函数 かんすう 的 てき 方向 ほうこう 导数一 いち 一 いち 对应。这使得 とく 流 りゅう 形 がた 中 ちゅう 的 てき 切 きり 矢 や 量的 りょうてき 定 てい 义不必基于ℝn 。这种定 てい 义切矢 や 量 りょう 方式 ほうしき 并不是 ぜ 唯一 ゆいいつ 的 てき 。通 つう 过普通 どおり 的 てき n 元 もと 矢 や 量 りょう 也可以定义切矢 や 量 りょう 。
将 はた 切 きり 矢 や 量定 りょうてい 义为普通 ふつう 矢 や 量的 りょうてき 方法 ほうほう
在 ざい 直角 ちょっかく 坐 すわ 标系(对应于惯性 せい 系 けい ),点 てん p 处的切 きり 矢 や 量 りょう 可 か 以定义为4 × 1 的 てき 列 れつ 矢 や 量 りょう v 。它通过洛伦兹变换Λ らむだ 依 よ 照 あきら v → Λ らむだ v 在 ざい 惯性系 けい 间变换,与 あずか 坐 すわ 标x μ みゅー 的 てき 变换方式 ほうしき 相 しょう 同 どう 。具体 ぐたい 来 らい 说,就是:
x
′
μ みゅー
=
Λ らむだ
μ みゅー
ν にゅー
x
ν にゅー
,
v
′
μ みゅー
=
Λ らむだ
μ みゅー
ν にゅー
v
ν にゅー
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{aligned}}}
这种定 てい 义在标准同 どう 构下与 あずか 上 うわ 文 ぶん 给出的 てき 定 てい 义等价。
p 点 てん 处的切 きり 矢 や 量 りょう 有 ゆう 时还会 かい 以p 点 てん 处的“位 い 移 うつり 矢 や 量 りょう ”表示 ひょうじ ,与 あずか 上面 うわつら 规范标示方法 ほうほう 基本 きほん 相 しょう 通 どおり 。[ 8] 上述 じょうじゅつ 基 もと 于数学 がく 背景 はいけい 介 かい 绍的矢 や 量 りょう 表示 ひょうじ 方法 ほうほう 可 か 以在Misner, Thorne & Wheeler (1970) harvtxt error: no target: CITEREFMisnerThorneWheeler1970 (help ) 找到它们物理 ぶつり 的 てき 或 ある 是 ぜ 更 さら 为具体 ぐたい 的 てき 几何背景 はいけい 。
閔可夫 おっと 斯基時空 じくう 的 てき 一組常用標準基底是四個互相正交的向量的集合(e 0 , e 1 , e 2 , e 3 )
使 つかい 得 とく
−
(
e
0
)
2
=
(
e
1
)
2
=
(
e
2
)
2
=
(
e
3
)
2
=
1
{\displaystyle -\left(e_{0}\right)^{2}=(e_{1})^{2}=(e_{2})^{2}=(e_{3})^{2}=1}
這些條件 じょうけん 可 か 以更簡要地 ち 寫 うつし 成 なり 如下形式 けいしき :
⟨
e
μ みゅー
,
e
ν にゅー
⟩
=
η いーた
μ みゅー
ν にゅー
{\displaystyle \langle e_{\mu },e_{\nu }\rangle =\eta _{\mu \nu }}
其中μ みゅー 與 あずか ν にゅー 涵蓋的 てき 數 すう 值有{0, 1, 2, 3},矩 のり 陣 じん η いーた 稱 たたえ 為 ため 閔可夫 おっと 斯基度 ど 規 ぶんまわし ,數 かず 值為
η いーた
=
(
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
相對 そうたい 於一 いち 組 くみ 標準 ひょうじゅん 基底 きてい ,一向 いっこう 量 りょう
V
{\displaystyle V}
的 てき 分量 ぶんりょう 可 か 以寫作 さく
(
V
0
,
V
1
,
V
2
,
V
3
)
{\displaystyle (V^{0},V^{1},V^{2},V^{3})}
,並 なみ 且我們使用 しよう 愛 あい 因 いん 斯坦標記 ひょうき 來 らい 寫 うつし
V
=
V
μ みゅー
e
μ みゅー
{\displaystyle V=V^{\mu }e_{\mu }\,}
。分量 ぶんりょう
V
0
{\displaystyle V^{0}}
稱 しょう 作 さく
V
{\displaystyle V}
的 てき 「類 るい 時 じ 分量 ぶんりょう 」(timelike component ),而其他 た 三 さん 個 こ 分量 ぶんりょう 則 そく 稱 しょう 作 さく 「類 るい 空 そら 分量 ぶんりょう 」(spatial components )。
以分量 りょう 來 らい 寫 うつし ,兩個 りゃんこ 向 むこう 量 りょう
V
{\displaystyle V}
與 あずか
W
{\displaystyle W}
間 あいだ 的 てき 內積 可 か 寫 うつし 成 なり
⟨
V
,
W
⟩
=
η いーた
μ みゅー
ν にゅー
V
μ みゅー
W
ν にゅー
=
−
V
0
W
0
+
V
1
W
1
+
V
2
W
2
+
V
3
W
3
{\displaystyle \langle V,W\rangle =\eta _{\mu \nu }V^{\mu }W^{\nu }=-V^{0}W^{0}+V^{1}W^{1}+V^{2}W^{2}+V^{3}W^{3}}
,
而一向 むこう 量 りょう
V
{\displaystyle V}
的 てき 範 はん 數 すう (norm)平方 へいほう 值為
V
2
=
η いーた
μ みゅー
ν にゅー
V
μ みゅー
V
ν にゅー
=
−
(
V
0
)
2
+
(
V
1
)
2
+
(
V
2
)
2
+
(
V
3
)
2
{\displaystyle V^{2}=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }=-(V^{0})^{2}+(V^{1})^{2}+(V^{2})^{2}+(V^{3})^{2}\,}
。
四 よん 維矢量 りょう 依據 いきょ 它們(閔可夫 おっと 斯基)內積的 てき 正負 せいふ 號 ごう 來 らい 區分 くぶん 。四 よん 維矢量 りょう
U
{\displaystyle U}
、
V
{\displaystyle V}
與 あずか
W
{\displaystyle W}
可 か 分類 ぶんるい 如下:
V
{\displaystyle V}
是 これ 類 るい 時 じ (timelike ),若 わか 且唯若 わか
η いーた
μ みゅー
ν にゅー
V
μ みゅー
V
ν にゅー
=
V
μ みゅー
V
μ みゅー
<
0
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\,=V^{\mu }V_{\mu }<0}
U
{\displaystyle U}
是 これ 類 るい 空 むなし (spacelike ),若 わか 且唯若 わか
η いーた
μ みゅー
ν にゅー
U
μ みゅー
U
ν にゅー
=
U
μ みゅー
U
μ みゅー
>
0
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }\,=U^{\mu }U_{\mu }>0}
W
{\displaystyle W}
是 これ 零 れい (null )或 ある 稱 しょう 類 るい 光 こう (lightlike ),若 わか 且唯若 わか
η いーた
μ みゅー
ν にゅー
W
μ みゅー
W
ν にゅー
=
W
μ みゅー
W
μ みゅー
=
0
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }W^{\mu }W^{\nu }\,=W^{\mu }W_{\mu }=0}
這樣的 てき 術語 じゅつご 源 げん 自 じ 於相對 そうたい 論 ろん 中 ちゅう 對 たい 於閔可 か 夫 おっと 斯基時空 じくう 的 てき 使用 しよう 。閔可夫 おっと 斯基時 じ 空中 くうちゅう 一事件所有零向量的集合構成了該事件的光 ひかり 錐 きり (light cone)。注意 ちゅうい 到 いた 這些標記 ひょうき 的 てき 使用 しよう 與 あずか 參考 さんこう 系 けい 無關 むせき 。
向 こう 量 りょう 場 じょう 被 ひ 稱 しょう 作 さく 是 ぜ 類 るい 時 じ 、類 るい 空 むなし 或 ある 零 れい ,是 ぜ 看 み 場 じょう 定義 ていぎ 所在 しょざい 的 てき 各 かく 點 てん ,其所對應 たいおう 的 てき 向 むこう 量 りょう 是 ぜ 類 るい 時 じ 、類 るい 空 むなし 或 ある 零 れい 。
關 せき 於零向 むこう 量 りょう 一 いち 個 こ 有用 ゆうよう 的 てき 結果 けっか :「若 わか 兩個 りゃんこ 零 れい 向 こう 量 りょう
A
{\displaystyle A\,}
、
B
{\displaystyle B\,}
正 せい 交(即 そく :零 れい 內積值
A
⋅
B
=
A
μ みゅー
B
μ みゅー
=
0
{\displaystyle A\cdot B=A^{\mu }B_{\mu }=0}
),則 のり 它們必定 ひつじょう 是 ぜ 呈 てい 比例 ひれい 關係 かんけい
A
=
k
B
{\displaystyle A=kB\,}
(
k
{\displaystyle k\,}
為 ため 常數 じょうすう )。」
一旦 いったん 時間 じかん 方向 ほうこう 選定 せんてい 了 りょう ,類 るい 時 じ 向 むこう 量 りょう 與 あずか 零 れい 向 こう 量 りょう 可 か 以再分 ぶん 為 ため 各種 かくしゅ 類別 るいべつ 。以類時 じ 向 むこう 量 りょう (timelike vector)來 らい 說 せつ ,我 わが 們有
未來 みらい 方向 ほうこう (future directed )類 るい 時 じ 向 むこう 量 りょう ,其第一 いち 個 こ 分量 ぶんりょう 為 ため 正 ただし 。
過去 かこ 方向 ほうこう (past directed )類 るい 時 じ 向 むこう 量 りょう ,其第一 いち 個 こ 分量 ぶんりょう 為 ため 負 まけ 。
以零向 むこう 量 りょう (null vector)來 らい 說 せつ ,可分 かぶん 為 ため 三 さん 種類 しゅるい 別 べつ :
純 じゅん 零 れい 向 こう 量 りょう (zero vector ),其在任 ざいにん 何 なん 基底 きてい 下 か ,所有 しょゆう 分量 ぶんりょう 皆 みな 為 ため (0,0,0,0) 。
未來 みらい 方向 ほうこう 零 れい 向 こう 量 りょう ,其第一 いち 個 こ 分量 ぶんりょう 為 ため 正 ただし ,而其余 あまり 分量 ぶんりょう 为0。
過去 かこ 方向 ほうこう 零 れい 向 こう 量 りょう ,其第一 いち 個 こ 分量 ぶんりょう 為 ため 負 まけ ,而其余 あまり 分量 ぶんりょう 为0。
加 か 上 うえ 類 るい 空 そら 向 むこう 量 りょう ,全部 ぜんぶ 共有 きょうゆう 六 ろく 種類 しゅるい 別 べつ 。
閔可夫 おっと 斯基時 じ 空中 くうちゅう 的 てき 正 せい 交歸一 いち 基底 きてい (orthonormal basis)必然 ひつぜん 包含 ほうがん 一個類時與三個類空的單位向量。若 わか 希望 きぼう 以非正 せい 交歸一基底來做運算,則 のり 可 か 有 ゆう 其他的 てき 向 むこう 量 りょう 組合 くみあい 。例 れい 如:可 か 以輕鬆 す 建 けん 構一 いち 種 しゅ (非 ひ 正 せい 交歸一 いち )基底 きてい ,整 せい 個 こ 是 ぜ 由 よし 零 れい 向 こう 量 りょう 所 しょ 組成 そせい ,稱 しょう 之 の 為 ため 「零 れい 基底 きてい 」(null basis )。
此章节
尚 なお 無 む 任 にん 何 なん 内容 ないよう ,需要 じゅよう 扩充 。
闵可夫 おっと 斯基空 そら 间是狭 せま 义相对论中 ちゅう 的 てき 一 いち 个概念 がいねん ,它由一个时间维和三个空间维组成。在 ざい 这个四 よん 维时空中 くうちゅう ,不同 ふどう 的 てき 惯性参考 さんこう 系 けい 之 の 间的坐 すわ 标变换可以通过洛伦兹变换来 らい 描述。闵可夫 おっと 斯基空 そら 间的几何意 い 义在于,它提供 ていきょう 了 りょう 一种度量时空间隔的方法,这种度量 どりょう 是 ぜ 通 どおり 过闵可 か 夫 おっと 斯基度 ど 规来定 てい 义的。
在 ざい 闵可夫 おっと 斯基空 そら 间中,时空间隔(也称为线元 もと )保持 ほじ 不 ふ 变,即 そく 使 つかい 在 ざい 不同 ふどう 的 てき 惯性参考 さんこう 系 けい 中 ちゅう 观察。这个不 ふ 变性是 ぜ 狭 せま 义相对论中 ちゅう 相 しょう 对性原理 げんり 和光 わこう 速 そく 不 ふ 变原理 げんり 的 てき 数学 すうがく 表 ひょう 述 じゅつ 。具体 ぐたい 来 らい 说,如果在 ざい 一 いち 个惯性 せい 参考 さんこう 系 けい 中 ちゅう ,两个事件 じけん 的 てき 时空间隔是 ぜ
d
s
2
=
−
c
2
d
t
2
+
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
{\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}
,那 な 么在另一个惯性 せい 参考 さんこう 系 けい 中 ちゅう ,这个间隔
d
s
2
{\displaystyle ds^{2}}
也是相 しょう 同 どう 的 てき 。这表明 ひょうめい 了 りょう 时间和 わ 空 そら 间是相互 そうご 联系的 てき ,不能 ふのう 单独考 こう 虑。
闵可夫 おっと 斯基空 そら 间对我 わが 们理解 りかい 四维或多维空间有重要意义,它不仅简化 か 了 りょう 对狭义相对论的 てき 理解 りかい ,而且在 ざい 物理 ぶつり 学 がく 中 ちゅう 引入了 りょう 高 だか 维时空 そら 的 てき 概念 がいねん ,对物理学 りがく 的 てき 发展产生了 りょう 深 ふか 远影响。在 ざい 现代物理 ぶつり 理 り 论中,如弦论,闵可夫 おっと 斯基空 そら 间的概念 がいねん 也被扩展到 いた 更 さら 高 だか 维的时空中 ちゅう 。总的来 らい 说,闵可夫 おっと 斯基空 そら 间是现代物理 ぶつり 学 がく 中 ちゅう 一个基础且强大的工具。
^ 这使得 とく 时空间隔成 なり 为了一 いち 个不变量。
^ 使用 しよう 统一的术语来表述这个双线性形式是有必要的。不 ふ 过由于目前 ぜん 并没有 ゆう 标准术语,因 いん 而只得 とく 使用 しよう 这一并不“标准”的 てき 方式 ほうしき 。
^ x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = R 2 > 0是 これ ℝ4 中 なか 的 てき 三 さん 维球面 めん 。可 か 以保证R 2 不 ふ 变的线性变换不 ふ 是 ぜ 旋转就是反射 はんしゃ 。
^ 威 い 克 かつ 转动可 か 以在路 みち 径 みち 积分中 ちゅう 对于在 ざい “复时间平面 めん ”上 じょう 利用 りよう 留 とめ 数 すう 定理 ていり 处理沿时间轴的 てき 一些特定的积分时促进收敛。
Galison P L: Minkowski's Space-Time: from visual thinking to the absolute world , Historical Studies in the Physical Sciences (R McCormach et al. eds) Johns Hopkins Univ.Press, vol.10 1979 85-121
Corry L: Hermann Minkowski and the postulate of relativity , Arch. Hist. Exact Sci. 51 1997 273-314
Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space , Birkhäuser Verlag, Basel.
Naber, Gregory L. The Geometry of Minkowski Spacetime . New York: Springer-Verlag. 1992. ISBN 0-387-97848-8 .
Roger Penrose (2005) Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe , chapter 18 "Minkowskian geometry", Alfred A. Knopf ISBN 978-0-679-45443-4 .
Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations , § 6.6 "Minkowski space", § 6.7,8 "Canonical forms", pp 221–42, Academic Press ISBN 978-0-12-639201-2 .
Walter, Scott. Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity . Goenner, Hubert et al. (ed.) (编). The Expanding Worlds of General Relativity. Boston: Birkhäuser. 1999: 45–86. ISBN 0-8176-4060-6 . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档于2015-04-02).
维基共 ども 享 とおる 资源 上 うえ 的 てき 相關 そうかん 多 た 媒體 ばいたい 資源 しげん :閔考斯基時空 じくう