閔考斯基時空じくう

閔可夫おっと斯基時空じくう（Minkowski spacetime）又また稱しょう閔可夫おっと斯基空間くうかん（Minkowski space），在ざい數學すうがく物理ぶつり學がく中ちゅう是ぜ指ゆび由よし三さん維歐おう幾里いくさと德とく空間くうかん與あずか時間じかん組成そせい的てき四よん維流ながれ形がた，其中任意にんい兩個りゃんこ事件じけん之の間あいだ的てき時空じくう間隔かんかく與あずか所ところ依よ照あきら的てき慣性かんせい系けい無關むせき。儘管赫爾曼·閔可夫おっと斯基一開始是為了電磁理論的麥むぎ克かつ斯韋方かた程ほど組ぐみ而發展はってん這一理論りろん，但ただし閔可夫おっと斯基時空じくう的てき結構けっこう卻可以從狹義きょうぎ相對そうたい論ろん的てき公設こうせつ直接ちょくせつ推出。^[1]

閔可夫おっと斯基空間くうかん與あずか阿おもね爾しか伯はく特とく·愛あい因いん斯坦的てき狹義きょうぎ相對そうたい論ろん緊密きんみつ相關そうかん，並なみ且是狹義きょうぎ相對そうたい論ろん最さい為ため常用じょうよう的てき數學すうがく表ひょう述じゅつ結構けっこう。歐おう幾里いくさと德とく空間くうかん的てき單たん個こ分量ぶんりょう以及時間じかん可能かのう會かい因いん為ため長なが度たび收縮しゅうしゅく以及時間じかん膨脹ぼうちょう等とう效こう應おう而發生はっせい變化へんか，在ざい閔可夫おっと斯基空間くうかん中ちゅう，不同ふどう參考さんこう系けい中ちゅう兩個りゃんこ事件じけん間あいだ的てき時空じくう總そう距離きょり則すなわち都と是ぜ一致いっち的てき。^{[nb 1]}不ふ過か由よし於時間あいだ維度與あずか三個空間維度的處理方式仍存在不同之處，閔可夫おっと斯基空間くうかん與あずか四維歐幾里德空間仍是不同的。

在ざい三維歐幾里德空間（比ひ如伽利り略りゃく相對性原理そうたいせいげんり中なか的てき空間くうかん）中ちゅう，歐おう幾里いくさと德とく群ぐん（英語えいご：Euclidean group）是ぜ其中的てき等とう距群（即そく可か以保證ほしょう正則せいそく歐おう幾里いくさと德とく距離きょり不變ふへん的てき映うつ射い）。它是由ゆかり旋轉せんてん、反射はんしゃ以及平ひら移うつり生成せいせい的てき。當とう將しょう時間じかん作為さくい第だい四個維度考慮在內時，時じ間あいだ的てき平たいら移うつり以及伽とぎ利り略りゃく遞升（英語えいご：Galilean boost）就需要よう考慮こうりょ在ざい內。由よし上述じょうじゅつ提ひさげ及的變換へんかん所しょ構成こうせい的てき群ぐん稱しょう作さく伽とぎ利り略りゃく群ぐん。所有しょゆう的てき伽とぎ利り略りゃく變換へんかん保證ほしょう三維歐幾里德距離不變。這個距離きょり只ただ是ぜ空間くうかん上じょう的てき距離きょり。時間じかん則のり獨立どくりつ於空間あいだ，同時どうじ保持ほじ不變ふへん。在ざい狹義きょうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう，空間くうかん和わ時間じかん則のり會かい互相影響えいきょう。

閔可夫おっと斯基空間くうかん對たい於時空じくう的てき表ひょう述じゅつ是ぜ藉助不定ふてい非ひ退化たいか雙そう線せん性せい形式けいしき完成かんせい的てき。這一形式在下文中會依據語境不同被叫作「閔可夫おっと斯基度ど規ぶんまわし」、^[2]「閔可夫おっと斯基範はん數すう平方へいほう」或ある是ぜ「閔可夫おっと斯基內積」^{[nb 2]}閔可夫おっと斯基內積是ぜ在ざい兩個りゃんこ事件じけん的てき坐すわ標しるべ差さ矢や量りょう作為さくい自じ變量へんりょう時じ對たい時空じくう間隔かんかく定義ていぎ的てき。^[3]在ざい引入這種內積後ご，時空じくう的てき數學すうがく模型もけい就被叫さけべ作さく閔可夫おっと斯基空間くうかん。對應たいおう於伽利り略りゃく群ぐん，閔可夫おっと斯基時じ空中くうちゅう保證ほしょう時空じくう間隔かんかく不變ふへん的てき變換へんかん群ぐん叫さけべ作さく「龐加萊群」。

總體そうたい而言，伽とぎ利り略りゃく時空じくう與あずか閔可夫おっと斯基時空じくう在ざい被ひ看み作さく流りゅう形がた時じ是ぜ完全かんぜん相しょう同どう的てき。他た們之所以ゆえん不同ふどう是ぜ因いん為ため定義ていぎ於其上じょう的てき結構けっこう是ぜ不同ふどう的てき。前者ぜんしゃ有ゆう的てき是ぜ歐おう幾里いくさと德とく距離きょり，獨立どくりつ於空間あいだ的てき時間じかん以及由よし伽とぎ利り略りゃく變換へんかん相互そうご關聯かんれん的てき慣性かんせい系けい，而後者しゃ有ゆう的てき是ぜ閔可夫おっと斯基度ど規ぶんまわし和由かずよし洛らく倫りん茲變換へんかん相互そうご關聯かんれん的てき慣性かんせい系けい。

歷史れきし

四維歐幾里德時空

亨とおる利り·龐加萊在ざい1905年ねん至いたり1906年間ねんかん發現はつげん當とう將しょう時間じかん作為さくい一いち個こ虛むなし坐すわ標しるべ $ict$ （其中 $c$ 為ため光速こうそく， $i$ 是これ虛數きょすう單位たんい）並なみ與あずか三個表示空間的實坐標共同組成四維時空時，洛らく倫りん茲變換へんかん就可以看作さく是ぜ這一時空中的坐標旋轉。^[4]狹義きょうぎ相對そうたい論ろん可か以保證ほしょう這個量りょう：

-t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}

在ざい兩個りゃんこ慣性かんせい系けい間あいだ的てき坐すわ標しるべ變換へんかん，也就是ぜ洛らく倫りん茲變換へんかん，前後ぜんご保持ほじ不變ふへん。

註：此處ここ及以下か公式こうしき使用しよう了りょう幾何きか單位たんい制せい，即そく令れいc=1的てき單位たんい制せい，所以ゆえん在ざい這種單位たんい制せい下かt和わx,y,z量りょう綱つな相しょう同どう。

這裡對たい於光速そく $c$ 依よ照あきら龐加萊的做法做了歸一きいつ處理しょり。在ざい由ゆかり他た提出ていしゅつ的てき空間くうかん中ちゅう，坐すわ標しるべ空間くうかん是ぜ通過つうか $(t, x, y, z) \mapsto (x, y, z, it)$ 構造こうぞう的てき。洛らく倫りん茲變換へんかん在ざい坐すわ標しるべ空間くうかん中ちゅう作為さくい普通ふつう的てき旋轉せんてん變換へんかん保證ほしょう

x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}

不變ふへん。後こう一種表述可以讓前面的表述更為容易理解^{[nb 3]}，但ただし兩りょう式しき中ちゅう $t$ 所ところ表示ひょうじ的てき意義いぎ不同ふどう（前者ぜんしゃ表示ひょうじ的てき慣性かんせい系けい中ちゅう測はか得とく的てき固有こゆう時間じかん本身ほんみ，後者こうしゃ表示ひょうじ的てき時間じかん坐すわ標しるべ）也可能會のうかい造成ぞうせい混淆こんこう。

無論むろん是ぜ在ざい坐すわ標しるべ空間くうかん還かえ是ぜ在ざい實際じっさい的てき時空じくう中ちゅう，在ざい由よし兩個りゃんこ空間くうかん單位たんい矢や量りょう確定かくてい的てき平面へいめん中ちゅう的てき旋轉せんてん就是通常つうじょう意義いぎ上じょう的てき旋轉せんてん。不ふ過當かとう那な個こ平面へいめん是ぜ由よし一個時間單位矢量以及一個空間單位矢量確定的時候，其中的てき「旋轉せんてん」稱しょう作さく洛らく倫りん茲遞升ます（英語えいご：Lorentz boost），與あずか歐おう幾里いくさと德とく旋轉せんてん就不那な麼相似そうじ了りょう。

赫爾曼·閔可夫おっと斯基基もと於這一構想在四維空間中重新闡釋了麥むぎ克かつ斯韋方かた程ほど組ぐみ，並なみ展示てんじ了りょう其在洛らく倫りん茲變換へんかん前後ぜんこう的てき不變ふへん性せい。^[5]他た又また進しん一步在四維空間中重新表述了愛因斯坦的狹義相對論，由よし此總結ゆい出で時間じかん與あずか空間くうかん應おう該做相しょう同どう的てき處理しょり，並なみ提出ていしゅつ了りょう事件じけん是ぜ在ざい一いち個こ統一とういつ的てき四よん維時空じくう連續れんぞく統みつる中ちゅう發生はっせい的てき概念がいねん。

閔可夫おっと斯基空間くうかん

1908年ねん，在ざい有ゆう關せき「空間くうかん與あずか時間じかん」的てき講座こうざ中ちゅう，閔可夫おっと斯基又また利用りよう另一種方式來闡釋這種四維時空。^[6]他た將しょう虛きょ的てき時間じかん坐すわ標しるべ替かえ換かわ為ため實み的てき時間じかん坐すわ標しるべ，並なみ利用りよう一いち個こ四よん維實矢や量りょう空間くうかん來らい表ひょう述じゅつ時空じくう的てき四よん個こ自じ變量へんりょう $(x, y, z, t)$ 。這個空間くうかん中ちゅう的てき點てん與あずか時とき空中くうちゅう的てき事件じけん一いち一いち對應たいおう。在ざい這個時空じくう中ちゅう還かえ有ゆう一いち個こ特別とくべつ的てき光ひかり錐きり。空間くうかん中ちゅう不在ふざい光こう錐きり上じょう的てき點てん可か以依據いきょ它們與光こう錐きり的てき關係かんけい劃分為ため「類るい空そら」或ある「類るい時じ」。這與現今げんこん對たい時空じくう的てき認知にんち基本きほん一致いっち。不ふ過か那な種しゅ將はた時間じかん作為さくい虛むなし坐すわ標的ひょうてき做法由よし於某些原因げんいん仍在狹義きょうぎ相對そうたい論ろん以及量子りょうし場じょう論ろん有ゆう所しょ應用おうよう。將はた時間じかん作為さくい實じつ坐すわ標的ひょうてき閔可夫おっと斯基空間くうかん與あずか將はた時間じかん作為さくい虛むなし坐すわ標的ひょうてき四維歐幾里德空間之間的轉換叫作威い克かつ轉てん動どう。^{[nb 4]}

在ざい閔可夫おっと斯基的てき論文ろんぶん中ちゅう，下面かめん定義ていぎ的てき閔可夫おっと斯基度ど規ぶんまわし叫さけべ作さく「線せん元素げんそ」，涉わたる及特定とくてい矢や量りょう正せい交性（他た本人ほんにん叫さけべ作さく「正規せいき性せい」）的てき閔可夫おっと斯基內積沒ぼつ有ゆう被ひ命名めいめい，而閔可か夫おっと斯基範はん數すう平方へいほう則そく叫さけべ作さく「和わ」。

閔可夫おっと斯基圖ず是ぜ閔可夫おっと斯基使用しよう的てき一いち項こう重要じゅうよう的てき工具こうぐ。他た利用りよう這一工具來定義概念並展示了洛倫茲變換的一些性質（比ひ如固有こゆう時間じかん和わ長なが度たび收縮しゅうしゅく），並なみ提供ていきょう了りょう牛うし頓ひたぶる力學りきがく推廣到いた相對そうたい論ろん力學りきがく的てき幾何きか解釋かいしゃく。有ゆう關せき這些話題わだい請參看さんかん相關そうかん條目じょうもく。下面かめん主要しゅよう展示てんじ的てき主要しゅよう是ぜ利用りよう由よし時空じくう流りゅう形がた上じょう的てき時空じくう間隔かんかく不變ふへん性せい得え到いた的てき閔可夫おっと斯基空間くうかん的てき數學すうがく結構けっこう（閔可夫おっと斯基度ど規ぶんまわし、由ゆかり它推導出どうしゅつ的てき量りょう以及作為さくい時空じくう對稱たいしょう群ぐん的てき龐加萊群），不ふ包括ほうかつ其具體ぐたい應用おうよう以及時空じくう間隔かんかく不變ふへん性せい的てき推導。這個數學すうがく結構けっこう提供ていきょう了りょう目前もくぜん廣義こうぎ相對そうたい論ろん以外いがい所有しょゆう相對そうたい論ろん理論りろん的てき背景はいけい。對たい於廣義こうぎ相對そうたい論ろん，閔可夫おっと斯基時空じくう仍可作為さくい局部きょくぶ平坦へいたん的てき彎曲わんきょく時空じくう的てき出發しゅっぱつ點てん。

閔可夫おっと斯基本人ほんにん對たい於他的てき這種重おも新しん闡釋方法ほうほう有ゆう着ぎ這樣的てき評價ひょうか：

我わが想そう要よう在ざい從したがえ實驗じっけん物理ぶつり學がく土壤どじょう中ちゅう勃發ぼっぱつ出で的てき（理論りろん）下した埋うめ置おけ的てき時空じくう觀かん在ざい那な裡うら擁よう有ゆう它自身じしん的てき力量りきりょう。它是激げき進すすむ的てき。自じ此，單たん是ぜ空間くうかん或ある是ぜ時間じかん將はた隱かくれ沒入ぼつにゅう陰影いんえい之の中なか，只ただ有ゆう它們的てき聯合れんごう體たい才ざい會かい維繫着ぎ一いち個こ獨立どくりつ的てき現實げんじつ。
——赫爾曼·閔可夫おっと斯基，1908－1909^[6]

更進こうしん一步的歷史方面的信息，請參閱Galison (1979), Corry (1997) and Walter (1999)。

數學すうがく結構けっこう

下しも文中ぶんちゅう，時空じくう將はた被ひ賦ふ以對應おう某ぼう個こ慣性かんせい系けい的てき坐すわ標しるべ系けい。這樣就可以得到いた一いち個こ的てき原點げんてん。這個原げん點在てんざい把わ時空じくう構造こうぞう為ため矢や量りょう空間くうかん的てき過程かてい中ちゅう很重要じゅうよう。儘管從したがえ物理ぶつり意義いぎ來らい說せつ這樣的てき一いち個こ正則せいそく原點げんてん（時空じくう的てき「中心ちゅうしん」事件じけん）並なみ不ふ需要じゅよう存在そんざい。人ひと們可以構造こうぞう具有ぐゆう更さら簡單かんたん結構けっこう的てき時空じくう，比ひ如仿射空間くうかん，但ただし這會添加てんか不ふ必要ひつよう的てき討論とうろん，並なみ且不能ふのう反映はんえい平坦へいたん空間くうかん目前もくぜん是ぜ如何いか從したがえ數學すうがく上じょう處理しょり的てき。

總體そうたい而言，閔可夫おっと斯基空間くうかん是ぜ一個四維實矢量空間。時空じくう中ちゅう每まい個こ點てん的てき切きり空間くうかん上じょう具有ぐゆう非ひ退化たいか對稱たいしょう雙そう線せん性せい形式けいしき，這裡稱しょう作さく「閔可夫おっと斯基內積」，度ど規ぶんまわし符號ふごう差さ（英語えいご：metric signature）為ため $(+ - - -)$ 或ある $(- + + +)$ 。每まい個こ事件じけん的てき切きり空間くうかん是ぜ一個具有與時空相同維度的四維矢量空間。

切きり矢や量りょう

切きり空間くうかん在ざい實際じっさい應用おうよう中ちゅう可能かのう並なみ不ふ會かい涉わたる及。閔可夫おっと斯基空間くうかん的てき切きり空間くうかん的てき性質せいしつ可か以讓人じん們擁有ゆう利用りよう閔可夫おっと斯基空間くうかん本體ほんたい裡うら的矢まとや量りょう標示ひょうじ切きり空間くうかん中矢なかや量的りょうてき規範きはん方法ほうほう。例れい子こ請參見みLee (2003，Proposition 3.8.)。標識ひょうしき的てき過程かてい通常つうじょう是ぜ利用りよう數學すうがく方法ほうほう完成かんせい的てき。它們可か以在直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい中ちゅう表示ひょうじ為ため：^[7]

(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\leftrightarrow x^{0}\mathbf {e} _{0}|_{p}+x^{1}\mathbf {e} _{1}|_{p}+x^{2}\mathbf {e} _{2}|_{p}+x^{3}\mathbf {e} _{3}|_{p}\leftrightarrow x^{0}\mathbf {e} _{0}|_{q}+x^{1}\mathbf {e} _{1}|_{q}+x^{2}\mathbf {e} _{2}|_{q}+x^{3}\mathbf {e} _{3}|_{q},

其中切きり空間くうかん的てき基もと矢や定義ていぎ為ため：

{\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{

這裡的てき $p$ 和わ $q$ 是ぜ任意にんい的てき兩個りゃんこ事件じけん，後ご一いち種しゅ標示ひょうじ叫さけべ作づく平行へいこう移動いどう。第だい一種いっしゅ標示ひょうじ是ぜ利用りよう空間くうかん本體ほんたい中ちゅう的矢まとや量りょう來らい表示ひょうじ切きり空間くうかん中矢なかや量的りょうてき規範きはん方法ほうほう。切きり空間くうかん的てき基もと矢や會かい出現しゅつげん一階微分符號就是因為這種標示方式。這種標示ひょうじ方式ほうしき得とく益えき於幾おき何なん切きり矢や量りょう可か以與一いち組くみ平滑へいかつ函數かんすう的てき方向ほうこう導しるべ數すう一いち一いち對應たいおう。這使得とく流りゅう形がた中ちゅう的てき切きり矢や量的りょうてき定義ていぎ不ふ必基於 $ℝ n$ 。這種定義ていぎ切きり矢や量りょう方式ほうしき並なみ不ふ是ぜ唯一ゆいいつ的てき。通過つうか普通ふつう的てき $n$ 元もと矢や量りょう也可以定義ていぎ切きり矢や量りょう。

將はた切きり矢や量りょう定義ていぎ為ため普通ふつう矢や量的りょうてき方法ほうほう

在ざい直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい（對應たいおう於慣性せい系けい），點てん $p$ 處しょ的てき切きり矢や量りょう可か以定義ていぎ為ため $4 \times 1$ 的てき列れつ矢や量りょう $v$ 。它通過つうか洛らく倫りん茲變換へんかん $Λ らむだ$ 依よ照あきら $v \to Λ らむだ v$ 在ざい慣性かんせい系けい間あいだ變換へんかん，與あずか坐すわ標しるべ $x μ みゅー$ 的てき變換へんかん方式ほうしき相しょう同どう。具體ぐたい來らい說せつ，就是：

{\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{aligned}}

這種定義ていぎ在ざい標準ひょうじゅん同どう構下與あずか上うわ文ぶん給きゅう出で的てき定義ていぎ等價とうか。

$p$ 點てん處しょ的てき切きり矢や量りょう有ゆう時じ還かえ會かい以 $p$ 點てん處しょ的てき「位い移うつり矢や量りょう」表示ひょうじ，與あずか上面うわつら規範きはん標示ひょうじ方法ほうほう基本きほん相しょう通どおり。^[8]上述じょうじゅつ基もと於數學がく背景はいけい介かい紹的矢や量りょう表示ひょうじ方法ほうほう可か以在Misner, Thorne & Wheeler (1970)找到它們物理ぶつり的てき或ある是ぜ更さら為ため具體ぐたい的てき幾何きか背景はいけい。

標準ひょうじゅん基底きてい

閔可夫おっと斯基時空じくう的てき一組常用標準基底是四個互相正交的向量的集合(e₀, e₁, e₂, e₃) 使つかい得とく

-\left(e_{0}\right)^{2}=(e_{1})^{2}=(e_{2})^{2}=(e_{3})^{2}=1

這些條件じょうけん可か以更簡要地ち寫うつし成なり如下形式けいしき：

\langle e_{\mu },e_{\nu }\rangle =\eta _{\mu \nu }

其中μみゅー與あずかνにゅー涵蓋的てき數すう值有{0, 1, 2, 3}，矩のり陣じんηいーた稱たたえ為ため閔可夫おっと斯基度ど規ぶんまわし，數かず值為

\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

相對そうたい於一いち組くみ標準ひょうじゅん基底きてい，一向いっこう量りょう $V$ 的てき分量ぶんりょう可か以寫作さく $(V^{0},V^{1},V^{2},V^{3})$ ，並なみ且我們使用しよう愛あい因いん斯坦標記ひょうき來らい寫うつし $V=V^{\mu }e_{\mu }\,$ 。分量ぶんりょう $V^{0}$ 稱しょう作さく $V$ 的てき「類るい時じ分量ぶんりょう」(timelike component)，而其他た三さん個こ分量ぶんりょう則そく稱しょう作さく「類るい空そら分量ぶんりょう」(spatial components)。

以分量りょう來らい寫うつし，兩個りゃんこ向むこう量りょう $V$ 與あずか $W$ 間あいだ的てき內積可か寫うつし成なり

\langle V,W\rangle =\eta _{\mu \nu }V^{\mu }W^{\nu }=-V^{0}W^{0}+V^{1}W^{1}+V^{2}W^{2}+V^{3}W^{3}

，

而一向むこう量りょう $V$ 的てき範はん數すう(norm)平方へいほう值為

V^{2}=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }=-(V^{0})^{2}+(V^{1})^{2}+(V^{2})^{2}+(V^{3})^{2}\,

。

洛らく倫りん茲變換へんかん和わ對稱たいしょう性せい

因果いんが結構けっこう

四よん維矢量りょう依據いきょ它們（閔可夫おっと斯基）內積的てき正負せいふ號ごう來らい區分くぶん。四よん維矢量りょう $U$ 、 $V$ 與あずか $W$ 可か分類ぶんるい如下：

$V$ 是これ類るい時じ(timelike)，若わか且唯若わか $\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\,=V^{\mu }V_{\mu }<0$
$U$ 是これ類るい空むなし(spacelike)，若わか且唯若わか $\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }\,=U^{\mu }U_{\mu }>0$
$W$ 是これ零れい(null)或ある稱しょう類るい光こう(lightlike)，若わか且唯若わか $\eta _{\mu \nu }W^{\mu }W^{\nu }\,=W^{\mu }W_{\mu }=0$

這樣的てき術語じゅつご源げん自じ於相對そうたい論ろん中ちゅう對たい於閔可か夫おっと斯基時空じくう的てき使用しよう。閔可夫おっと斯基時じ空中くうちゅう一事件所有零向量的集合構成了該事件的光ひかり錐きり(light cone)。注意ちゅうい到いた這些標記ひょうき的てき使用しよう與あずか參考さんこう系けい無關むせき。

向こう量りょう場じょう被ひ稱しょう作さく是ぜ類るい時じ、類るい空むなし或ある零れい，是ぜ看み場じょう定義ていぎ所在しょざい的てき各かく點てん，其所對應たいおう的てき向むこう量りょう是ぜ類るい時じ、類るい空むなし或ある零れい。

關せき於零向むこう量りょう一いち個こ有用ゆうよう的てき結果けっか：「若わか兩個りゃんこ零れい向こう量りょう $A\,$ 、 $B\,$ 正せい交（即そく：零れい內積值 $A\cdot B=A^{\mu }B_{\mu }=0$ ），則のり它們必定ひつじょう是ぜ呈てい比例ひれい關係かんけい $A=kB\,$ （ $k\,$ 為ため常數じょうすう）。」

一旦いったん時間じかん方向ほうこう選定せんてい了りょう，類るい時じ向むこう量りょう與あずか零れい向こう量りょう可か以再分ぶん為ため各種かくしゅ類別るいべつ。以類時じ向むこう量りょう(timelike vector)來らい說せつ，我わが們有

未來みらい方向ほうこう(future directed)類るい時じ向むこう量りょう，其第一いち個こ分量ぶんりょう為ため正ただし。
過去かこ方向ほうこう(past directed)類るい時じ向むこう量りょう，其第一いち個こ分量ぶんりょう為ため負まけ。

以零向むこう量りょう(null vector)來らい說せつ，可分かぶん為ため三さん種類しゅるい別べつ：

純じゅん零れい向こう量りょう(zero vector)，其在任ざいにん何なん基底きてい下か，所有しょゆう分量ぶんりょう皆みな為ため(0,0,0,0)。
未來みらい方向ほうこう零れい向こう量りょう，其第一いち個こ分量ぶんりょう為ため正ただし，而其餘あまり分量ぶんりょう為ため0。
過去かこ方向ほうこう零れい向こう量りょう，其第一いち個こ分量ぶんりょう為ため負まけ，而其餘あまり分量ぶんりょう為ため0。

加か上うえ類るい空そら向むこう量りょう，全部ぜんぶ共有きょうゆう六ろく種類しゅるい別べつ。

閔可夫おっと斯基時じ空中くうちゅう的てき正せい交歸一いち基底きてい(orthonormal basis)必然ひつぜん包含ほうがん一個類時與三個類空的單位向量。若わか希望きぼう以非正せい交歸一基底來做運算，則のり可か有ゆう其他的てき向むこう量りょう組合くみあい。例れい如：可か以輕鬆す建けん構一いち種しゅ（非ひ正せい交歸一いち）基底きてい，整せい個こ是ぜ由よし零れい向こう量りょう所しょ組成そせい，稱しょう之の為ため「零れい基底きてい」(null basis)。

推廣

幾何きか意義いぎ

閔可夫おっと斯基空間くうかん是ぜ狹義きょうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう的てき一いち個こ概念がいねん，它由一個時間維和三個空間維組成。在ざい這個四よん維時空中くうちゅう，不同ふどう的てき慣性かんせい參考さんこう系けい之の間あいだ的てき坐すわ標しるべ變換へんかん可か以通過つうか洛らく倫りん茲變換へんかん來らい描述。閔可夫おっと斯基空間くうかん的てき幾何きか意義いぎ在ざい於，它提供ていきょう了りょう一種度量時空間隔的方法，這種度量どりょう是ぜ通過つうか閔可夫おっと斯基度ど規ぶんまわし來らい定義ていぎ的てき。

在ざい閔可夫おっと斯基空間くうかん中ちゅう，時空じくう間隔かんかく（也稱為ため線せん元もと）保持ほじ不變ふへん，即そく使つかい在ざい不同ふどう的てき慣性かんせい參考さんこう系けい中ちゅう觀察かんさつ。這個不變ふへん性せい是ぜ狹義きょうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう相對性原理そうたいせいげんり和光わこう速そく不變ふへん原理げんり的てき數學すうがく表ひょう述じゅつ。具體ぐたい來らい說せつ，如果在ざい一いち個こ慣性かんせい參考さんこう系けい中ちゅう，兩個りゃんこ事件じけん的てき時空じくう間隔かんかく是ぜ $ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ ，那な麼在另一いち個こ慣性かんせい參考さんこう系けい中ちゅう，這個間隔かんかく $ds^{2}$ 也是相しょう同どう的てき。這表明ひょうめい了りょう時間じかん和わ空間くうかん是ぜ相互そうご聯れん繫的，不能ふのう單獨たんどく考慮こうりょ。

閔可夫おっと斯基空間くうかん對たい我わが們理解りかい四維或多維空間有重要意義，它不僅簡化か了りょう對たい狹義きょうぎ相對そうたい論ろん的てき理解りかい，而且在ざい物理ぶつり學がく中ちゅう引入了りょう高だか維時空じくう的てき概念がいねん，對物たいぶつ理學りがく的てき發展はってん產さん生せい了りょう深遠しんえん影響えいきょう。在ざい現代げんだい物理ぶつり理論りろん中ちゅう，如弦論ろん，閔可夫おっと斯基空間くうかん的てき概念がいねん也被擴展到いた更さら高だか維的時空じくう中ちゅう。總そう的てき來らい說せつ，閔可夫おっと斯基空間くうかん是ぜ現代げんだい物理ぶつり學がく中ちゅう一個基礎且強大的工具。

註釋ちゅうしゃく

^ 這使得とく時空じくう間隔かんかく成なり為ため了りょう一いち個こ不變ふへん量りょう。
^ 使用しよう統すべ一的術語來表述這個雙線性形式是有必要的。不ふ過か由よし於目前並まえなみ沒ぼつ有ゆう標準ひょうじゅん術語じゅつご，因いん而只得とく使用しよう這一併不「標準ひょうじゅん」的てき方式ほうしき。
^ $x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = R 2 > 0$ 是これ $ℝ 4$ 中なか的てき三さん維球面めん。可か以保證ほしょう $R 2$ 不變ふへん的てき線せん性せい變換へんかん不ふ是ぜ旋轉せんてん就是反射はんしゃ。
^ 威い克かつ轉てん動どう可か以在路みち徑みち積分せきぶん中ちゅう對たい於在「復ふく時間じかん平面へいめん」上じょう利用りよう留とめ數すう定理ていり處理しょり沿時間あいだ軸じく的てき一些特定的積分時促進收斂。

引注

^ Landau & Lifshitz 2002，第だい5頁ぺーじ
^ Lee 1997，第だい31頁ぺーじ
^ Schutz, John W. Independent Axioms for Minkowski Space-Time illustrated. CRC Press. 1977: 184-185 [2017-07-23]. ISBN 978-0-582-31760-4. （原始げんし內容存そん檔於2020-09-05）. Extract of page 184 （頁ぺーじ面めん存そん檔備份，存そん於網あみ際ぎわ網もう路ろ檔案館かん）
^ Poincaré 1905–1906，第だい129–176頁ぺーじ Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron
^ Minkowski 1907–1908，第だい53–111頁ぺーじ *Wikisource translation: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies.
^ ^6.0 ^6.1 Minkowski 1907–1909，第だい75–88頁ぺーじ Various English translations on Wikisource: "Space and Time."
^ Lee 1997，第だい15頁ぺーじ
^ Lee 2003，chapter 3

參考さんこう文獻ぶんけん

Galison P L: Minkowski's Space-Time: from visual thinking to the absolute world, Historical Studies in the Physical Sciences (R McCormach et al. eds) Johns Hopkins Univ.Press, vol.10 1979 85-121
Corry L: Hermann Minkowski and the postulate of relativity, Arch. Hist. Exact Sci. 51 1997 273-314
Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space, Birkhäuser Verlag, Basel.
Naber, Gregory L. The Geometry of Minkowski Spacetime. New York: Springer-Verlag. 1992. ISBN 0-387-97848-8.
Roger Penrose (2005) Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe, chapter 18 "Minkowskian geometry", Alfred A. Knopf ISBN 978-0-679-45443-4 .
Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations, § 6.6 "Minkowski space", § 6.7,8 "Canonical forms", pp 221–42, Academic Press ISBN 978-0-12-639201-2 .
Walter, Scott. Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity. Goenner, Hubert et al. (ed.) (編へん). The Expanding Worlds of General Relativity. Boston: Birkhäuser. 1999: 45–86. ISBN 0-8176-4060-6. （原始げんし內容存そん檔於2015-04-02）.

參まいり閲

外部がいぶ連結れんけつ

維基共ども享とおる資源しげん上うえ的てき相關そうかん多た媒體ばいたい資源しげん：閔考斯基時空じくう

YouTube上じょう的てきAnimation clip visualizing Minkowski space in the context of special relativity.
The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space - Time Light Cone

[2] 這使得とく時空じくう間隔かんかく成なり為ため了りょう一いち個こ不變ふへん量りょう。

[4] 使用しよう統すべ一的術語來表述這個雙線性形式是有必要的。不ふ過か由よし於目前並まえなみ沒ぼつ有ゆう標準ひょうじゅん術語じゅつご，因いん而只得とく使用しよう這一併不「標準ひょうじゅん」的てき方式ほうしき。

[7] $x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = R 2 > 0$ 是これ $ℝ 4$ 中なか的てき三さん維球面めん。可か以保證ほしょう $R 2$ 不變ふへん的てき線せん性せい變換へんかん不ふ是ぜ旋轉せんてん就是反射はんしゃ。

[10] 威い克かつ轉てん動どう可か以在路みち徑みち積分せきぶん中ちゅう對たい於在「復ふく時間じかん平面へいめん」上じょう利用りよう留とめ數すう定理ていり處理しょり沿時間あいだ軸じく的てき一些特定的積分時促進收斂。

[1] Landau & Lifshitz 2002，第だい5頁ぺーじ

[3] Lee 1997，第だい31頁ぺーじ

[5] Schutz, John W. Independent Axioms for Minkowski Space-Time illustrated. CRC Press. 1977: 184-185 [2017-07-23]. ISBN 978-0-582-31760-4. （原始げんし內容存そん檔於2020-09-05）. Extract of page 184 （頁ぺーじ面めん存そん檔備份，存そん於網あみ際ぎわ網もう路ろ檔案館かん）

[6] Poincaré 1905–1906，第だい129–176頁ぺーじ Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron

[8] Minkowski 1907–1908，第だい53–111頁ぺーじ *Wikisource translation: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies.

[raumzeit-9] 6.0 ^6.1 Minkowski 1907–1909，第だい75–88頁ぺーじ Various English translations on Wikisource: "Space and Time."

[11] Lee 1997，第だい15頁ぺーじ

[12] Lee 2003，chapter 3

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