廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう的てき數學すうがく

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狹義きょうぎ相對そうたい論ろん

在ざい狹義きょうぎ相對そうたい論ろん中なか，微積分びせきぶん、矩のり陣じん為ため其所用よう到いた的てき主要しゅよう數學すうがく工具こうぐ，配合はいごう閔可夫おっと斯基時空じくう的てき轉換てんかん以及勞ろう倫りん茲不變量へんりょう的てき使用しよう，粗略そりゃく地ち描述了りょう時とき、空そら的てき性質せいしつ。當とうs'座標ざひょう系けい在ざいs座標ざひょう系けい沿x軸じく作さく等とう速そくv運動うんどう時じ，其轉換てんかん以以下方かほう程ほど表示ひょうじ：

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

$y'=y$

$z'=z$

$t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

其具有ぐゆう以下いか不變ふへん形式けいしき：

${c^{2}}{t^{2}}-x^{2}-y^{2}-z^{2}={c^{2}}{t'^{2}}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}$

或ある者もの寫うつし成なり微分びぶん形式けいしき

${c^{2}}{dt^{2}}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}={c^{2}}{dt'^{2}}-dx'^{2}-dy'^{2}-dz'^{2}$

在ざい適當てきとう地ち選せん取と座標ざひょう系けい可か使し$c=1$

對たい於牛頓ひたぶる力學りきがく中ちゅう的てき動どう量りょう、能のう量りょう作さく了りょう以下いか的てき修正しゅうせい：

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

$E=mc^{2}$

其中

$m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$，:$m_{0}$為ため物質ぶっしつ在ざい靜止せいし下か的てき質量しつりょう

能のう量りょう和わ動どう量りょう有ゆう以下いか關係かんけい：

$E^{2}={\left(pc\right)}^{2}+{\left(m_{0}c^{2}\right)}^{2}$

廣義こうぎ相對そうたい論ろん

狹義きょうぎ相對そうたい論ろん僅限於等速そく、時空じくう可か近似きんじ平坦へいたん地ち情況じょうきょう下か，然しか而在討論とうろん大だい尺度しゃくど且有引力いんりょく場じょう的てき情況じょうきょう下か，就必須ひっす使用しよう廣義こうぎ相對そうたい論ろん。

愛あい因いん斯坦認みとめ為ため，慣性かんせい坐すわ標しるべ系けい並なみ沒ぼつ有ゆう優ゆう於其他ほか坐すわ標しるべ系けい，一切いっさい的てき物理ぶつり定律ていりつ應おう在任ざいにん何なん參考さんこう座標ざひょう系けい下か皆みな成立せいりつ，所有しょゆう的てき變換へんかん應おう都と是ぜ協きょう變へん的てき。因よし此，在ざい其論文中ぶんちゅう，大量たいりょう地ち使用しよう稱しょう之の為ため張ちょう量りょう(Tensor)的てき數學すうがく工具こうぐ，其方程ほど往往おうおう是これ非ひ線せん性せい的てき，因いん此很難なん求もとめ解かい。

數學すうがく形式けいしき

一いち小しょう段だん弧こ長ちょうds平方へいほう的てき不變ふへん式しき

$ds^{2}=g_{\mu \nu }{dx^{\mu }}{dx^{\nu }}$

$g_{\mu \nu }$為ため度ど規ぶんまわし張はり量りょう

${dx^{\mu }}$和わ${dx^{\nu }}$為ため逆ぎゃく變へん張はり量りょう

質點しつてん沿測地そくち線せん運動うんどう，測地そくち線せん方かた程ほど可か以用哈密頓ひたぶる原理げんり或ある是ぜ平行へいこう位い移うつり(parallel transportation)等とう方式ほうしき推導，以下いか為ため測地そくち線せん方かた程ほど：

${\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}{\frac {dx^{\sigma }}{ds}}=0$

$\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }$為ため克かつ里さと斯多福ぶく符號ふごう

在ざい非ひ歐おう式しき空間くうかん中ちゅう，描述空間くうかん曲きょく率りつ的てき張はり量りょう為ため黎はじむ曼－克かつ里さと斯多福ぶく張はり量りょう

$R_{\nu \rho \sigma }^{\beta }={\frac {\partial \Gamma _{\nu \sigma }^{\beta }}{\partial x^{\rho }}}-{\frac {\partial \Gamma _{\nu \rho }^{\beta }}{\partial x^{\sigma }}}+\Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \rho }^{\beta }-\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\beta }$

外部がいぶ連結れんけつ

• 史ふみ丹たん佛ふつ大學だいがく廣義こうぎ相對そうたい論ろん的てき課程かてい （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）