虛數きょすう單位たんい

虛數きょすう單位たんい$i$在ざい複ふく平面へいめん的てき位置いち。橫よこ軸じく是ぜ實數じっすう，豎軸是ぜ虛數きょすう

高こう斯整數すう導しるべ航こう
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

在ざい數學すうがく、物理ぶつり及工程こうてい學がく裏うら，虛數きょすう單位たんい是ぜ指ゆび二に次じ方かた程ほど$x^{2}+1=0$的てき解かい。虽然沒ぼつ有ゆう這樣的てき实数可か以滿足まんぞく這個二に次じ方かた程ほど，但ただし可か以通過つうか虛數きょすう單位たんい将しょう實數じっすう系統けいとう$\mathbb {R}$延伸えんしん至いたり复数系統けいとう$\mathbb {C}$。延伸えんしん的てき主要しゅよう動機どうき為ため有ゆう很多實み係數けいすう多項式たこうしき方程式ほうていしき無む實數じっすう解かい。例れい如剛才ざい提ひっさげ到いた的てき方程式ほうていしき$x^{2}+1=0$就無實數じっすう解かい。可か是ぜ倘若我わが們允許いんきょ解答かいとう為ため虛數きょすう，那な麼這方程式ほうていしき以及所有しょゆう的てき多項式たこうしき方程式ほうていしき都と有ゆう解かい。虛數きょすう單位たんい標記ひょうき為ため$i$，在ざい电机工程こうてい和わ相しょう关领域いき中ちゅう则标记为$j$，这是为了避免与あずか电流（记为$i(t)$或ある$i$）混淆こんこう。

定義ていぎ

$\ldots$

${{i}^{-{3}}}=i$

${{i}^{-{2}}}=-1$

${{i}^{-{1}}}=-i$

${{i}^{0}}=1$

${{i}^{1}}=i$

${{i}^{2}}=-1$

${{i}^{3}}=-i$

${{i}^{4}}=1$

${{i}^{5}}=i$

${{i}^{6}}=-1$

$\ldots$

虛數きょすう單位たんい$i$定義ていぎ為ため二に次じ方程式ほうていしき$x^{2}+1=0$的てき兩個りゃんこ根ね中ちゅう的てき一いち個こ。這方程式ほうていしき又また可か等價とうか表ひょう達たち為ため：

${{x}^{2}}=-1$。

由よし於實數すう的てき平方へいほう絕ぜっ不可能ふかのう是ぜ負數ふすう，我わが們假設かせつ有ゆう這麼一いち個こ數すう目もく解答かいとう，給きゅう它設定せってい一いち個こ符號ふごう$i$。很重要じゅうよう的てき一いち點てん是ぜ，$i$是ぜ一いち個こ良りょう定義ていぎ的てき數學すうがく構造こうぞう。

另外，虛數きょすう單位たんい同樣どうよう可か以表示ひょうじ為ため：

$i={\sqrt {-{1}}}$

然しか而$i={\sqrt {-{1}}}$往往おうおう被ひ誤認ごにん為ため是ぜ錯的，他た們的證明しょうめい的てき方法ほうほう是ぜ：

因よし為ため$-1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1$，但ただし是ぜ-1不等ふとう於1。

但ただし請注意ちゅうい：${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$成立せいりつ的てき條件じょうけん有ゆう$a$,$b$不能ふのう為ため負數ふすう。

實數じっすう運算うんざん可か以延伸えんしん至いたり虛數きょすう與あずか複數ふくすう。當とう計算けいさん一いち個こ表ひょう達たち式しき時じ，我わが們只需要じゅよう假設かせつ$i$是ぜ一いち個こ未知數みちすう，然しか後ご依よ照あきら$i$的てき定義ていぎ，替がえ代任だいにん何なに$i^{2}$的てき出現しゅつげん為ため-1。$i$的てき更さら高だか整數せいすう冪べき數也かずや可か以替代だい為ため$-i$，$1$，或ある$i$，根據こんきょ下か述じゅつ方程式ほうていしき：

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i$，

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1$，

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i$。

一般いっぱん地ち，有ゆう以下いか的てき公式こうしき：

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$

其中${\bmod {4}}$表示ひょうじ被ひ4除じょ的てき余あまり数すう。

i和わ-i

方かた程ほど$x^{2}=-1$有ゆう两个不同ふどう的てき解かい，它们都と是ぜ有效ゆうこう的てき，且互为共きょう轭虚数すう及倒たおせ數すう。更さら加か确切地ち，一旦いったん固定こてい了りょう方かた程ほど的てき一いち个解$i$，那な么$-i$（不等ふとう于$i$）也是一いち个解，由ゆかり于这个方程ほど是これ$i$的てき唯ただ一いち的てき定てい义，因いん此这个定义表面めん上じょう有ゆう歧义。然しか而，只ただ要よう把わ其中一いち个解选定，并固定こてい为$i$，那な么实际上是ぜ没ぼつ有ゆう歧义的てき。这是因いん为，虽然$-i$和わ$i$在ざい数量すうりょう上じょう不ふ是ぜ相等そうとう的てき（它们是ぜ一いち对共轭虚数すう），但ただし是これ$i$和わ$-i$之これ间没有ゆう质量上じょう的てき区く别（-1和わ+1就不是ぜ这样的てき）。在任ざいにん何なん的てき等式とうしき中ちゅう同時どうじ將しょう所有しょゆうi替かえ換かわ為ため-i，該等式しき仍成立せいりつ。

$-i^{2}=1$

$-i=i^{-1}={\frac {1}{i}}$

正当せいとう的てき使用しよう

虚数きょすう单位有ゆう时记为${\sqrt {-1}}$。但ただし是ぜ，使用しよう这种记法时需要じゅよう非常ひじょう谨慎，这是因いん为有些在实数范围内ない成立せいりつ的てき公式こうしき在ざい复数范围内ない并不成立せいりつ。例れい如，公式こうしき${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$仅对于非负的实数$a$和わ$b$才ざい成立せいりつ。

假かり若わか這個關係かんけい在ざい虚数きょすう仍成立せいりつ，則のり會かい出現しゅつげん以下いか情況じょうきょう：

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$（不正ふせい确）

$-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$（不正ふせい确）

${\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i$（不正ふせい确）

i的てき运算

虛數きょすう單位たんい$i$的てき平方根へいほうこん在ざい複ふく平面へいめん的てき位置いち

许多实数的てき运算都と可か以推广到$i$，例れい如平方根へいほうこん、冪べき、对数和わ三角さんかく函数かんすう。以下いか运算除じょ第だい一いち项外，均ひとし为与$i$有ゆう关的多た值函数すう，在ざい实际应用时必须指明あかり函数かんすう的てき定てい义选择在黎はじむ曼面的てき哪一支ささえ。下面かめん列れつ出で的てき仅仅是ぜ最さい常つね采さい用よう的てき黎はじむ曼面分ぶん支ささえ的てき计算结果。

• $i$的てき平方根へいほうこん为：

$\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

这是因いん为：

${\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}$

使用しよう算さん术平方根へいほうこん符号ふごう表示ひょうじ：

${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

其解法ほう為ため先さき假設かせつ兩りょう實數じっすう$x$及$y$，使つかい得とく$(x+iy)^{2}=i$，求もとめ解かい$x,y$

• 一いち个数的てき$ni$次じ幂为：

$x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}$

一いち个数的てき$ni$次つぎ方かた根ね为：

${\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}$

利用りよう歐おう拉ひしげ公式こうしき

$i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}$，$k\in \mathbb {Z}$

代入だいにゅう不同ふどう的てき$k$值，可か計算けいさん出で無限むげん多た的てき解かい。当とう$k=0$最小さいしょう的てき解かい是ぜ$e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx$0.20787957635076...

• 以$i$为底的てき对数为：

$\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }$

• $i$的てき余弦よげん是ぜ一いち个实数：

$\cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx$1.5430806348152...

• $i$的てき正弦せいげん是これ纯虚数すう：

$\sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx$1.1752011936438...$i$

在ざい程ほど式しき語ご言げん

• 大だい部分ぶぶん的てき程ほど式しき語ご言げん都と不ふ提供ていきょう虛數きょすう單位たんい，且平方根へいほうこん函數かんすう(大だい多おお為ためsqrt()或あるMath.Sqrt())的てき引數ひきすう不可ふか以是負數ふすう，因いん此，必須ひっす自じ行くだり建立こんりゅう類別るいべつ後方こうほう可か使用しよう。
• 但ただしLisp的てき许多实现与方言ほうげん，如Common Lisp，内うち建けん虚数きょすう和わ複數ふくすう的てき支持しじ。不ふ少すくな动态语言受其影かげ响，也在语言本身ほんみ或ある标准库中支持しじ虚数きょすう和わ複數ふくすう，如Python、Ruby。
• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持しじ虚数きょすう和わ複數ふくすう。
• 在ざいMatlab，虛數きょすう單位たんい的てき表示ひょうじ方法ほうほう為ためi或あるj，但ただしi和わj在ざいfor迴圈可か以有其他用途ようと。
• 在ざいMathematica，虛數きょすう單位たんい的てき表示ひょうじ方法ほうほう為ためI、𝕚或ある𝕛。
• 在ざいMaple，必須ひっす啟けい用よう虛數きょすう功こう能のう，並なみ選擇せんたく用ようi還かえ是これj表示ひょうじ虛數きょすう單位たんい。
• Go語かたり言げん於第 1.0 版はん就内建けん虚数きょすう和わ複數ふくすう的てき支持しじ，變數へんすう類型るいけい為ため complex64和わcomplex128。

参まいり见

• 代數だいすう基本きほん定理ていり
• 虚数きょすう
• 复平面めん
• 单位根ね
• i

参考さんこう文献ぶんけん

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部がいぶ链接

• 欧おう拉ひしげ对多项式的てき复数根ね的てき研究けんきゅう
• i作為さくい-1的てき平方根へいほうこん（英文えいぶん視し頻しき）
• $i^{7321}$的てき計算けいさん方法ほうほう舉例（英文えいぶん視し頻しき）