超ちょう現實げんじつ數すう

  关于与「超ちょう現實げんじつ數すう」標題ひょうだい相近すけちか或ある相あい同どう的てき条目じょうもく页，請見「超ちょう實數じっすう」。

在ざい數學すうがく上うえ，超ちょう現實げんじつ數すう系統けいとう（英語えいご：Surreal Numbers）是ぜ一いち種しゅ連續れんぞく統みつる，其中含有がんゆう實數じっすう以及無窮むきゅう量りょう，即そく無窮むきゅう大だい（小しょう）量りょう，其絕對ぜったい值大だい（小しょう）於任何なん正せい實數じっすう。超ちょう現實げんじつ數すう與あずか實數じっすう有ゆう許多きょた共同きょうどう性質せいしつ，包括ほうかつ其全ぜん序じょ關係かんけい「≤」以及通常つうじょう的てき算術さんじゅつ運算うんざん（加減乘除かげんじょうじょ）；也因此，它們構成こうせい了りょう有ゆう序じょ域いき。在ざい嚴格げんかく的てき集合しゅうごう論ろん意義いぎ下か，超ちょう現實げんじつ數すう是ぜ可能かのう出現しゅつげん的てき有ゆう序じょ域いき中ちゅう最大さいだい的てき；其他的てき有ゆう序じょ域いき，如有理數ゆうりすう域いき、實數じっすう域いき、有理ゆうり函數かんすう域いき、列れつ維-奇き維塔域いき、上うえ超ちょう實數じっすう域いき和わ超ちょう實數じっすう域いき等ひとし，全ぜん都と是ぜ超ちょう現實げんじつ數すう域いき的てき子こ域いき。超ちょう現實げんじつ數すう域いき也包含ほうがん可か達たち到いた的てき、在ざい集合しゅうごう論ろん裡うら構造こうぞう過か的てき所有しょゆう超ちょう限きり序じょ數すう。

超ちょう现实数すう树的可か视化。

超ちょう現實げんじつ數すう是ぜ由ゆかり約やく翰·何なん頓ひたぶる·康かん威たけし（John Horton Conway）所定しょてい義和よしかず構造こうぞう的てき。這個名稱めいしょう早はや在ざい1974年ねん便びん已やめ由ゆかり高德こうとく納おさめ（Donald Knuth）在ざい他た的てき書しょ《研究けんきゅう之の美よし》中ちゅう就被引進了りょう。《研究けんきゅう之の美よし》是ぜ一部いちぶ中ちゅう短篇たんぺん數學すうがく小說しょうせつ，而值得とく一いち提ひさげ的てき是ぜ，這種把わ新しん的てき數學すうがく概念がいねん在ざい一部小說中提出來的情形是非常少有的。在ざい這部由よし對話たいわ體たい寫うつし成なり的てき著作ちょさく裡うら，高德こうとく納おさめ造づくり了りょう「surreal number」一いち詞し，用よう來らい指ゆび稱たたえ康かん威たけし起おこり初はつ只ただ叫さけべ做「number」（數かず）的てき這個新しん概念がいねん。康かん威たけし樂らく於採用さいよう新しん的てき名稱めいしょう，後來こうらい在ざい他た1976年ねん的てき著作ちょさく《論ろん數字すうじ與あずか博はく弈》（On Numbers and Games）中ちゅう就描述じゅつ了りょう超ちょう現實げんじつ數すう的てき概念がいねん並なみ使用しよう它來進行しんこう了りょう一いち些博弈分析ぶんせき。

概がい述じゅつ

康かん威たけし使用しよう递归构造了りょう超ちょう现实数すう，其中每ごと个数都と是ぜ两个数すう集しゅう构成的てき序じょ对，记为 $\{L|R\}$。这两个集合しゅうごう要求ようきゅう $L$ 里さと的てき每まい个元素げんそ都と严格小しょう于每个 $R$ 里さと的てき元素げんそ。不同ふどう的てき序じょ对可能かのう表ひょう达同样的数字すうじ：$\{1|3\}=\left\{{\frac {3}{2}}|{\frac {5}{2}}\right\}=2$。

整数せいすう及二に进分数すう

让我们先来らい看み几个简单的てき例れい子こ。

$\{|\}=0$

$\{0|\}=1$

$\{1|\}=2$

$\{|0\}=-1$

$\{|-1\}=-2$

因いん此整数すう都と是ぜ超ちょう现实数すう。（以上いじょう几行是ぜ定てい义而非等式とうしき。）

$\{0|1\}={\frac {1}{2}}$

$\left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}$

$\left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}$

至いたり此我们可以通过超现实数すう定てい义二に进分数すう（分母ぶんぼ为2的てき幂次的てき分数ぶんすう）。

其他实数

为了定てい义更多た的てき实数，我わが们可以将使用しよう无限的てき左右さゆう集合しゅうごう：${\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}$，$\pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}$，事こと实上可か以同样地使用しよう二进制展开的方法定义出所有实数。

无穷数すう

根ね据すえ归纳法ほう，我わが们可以构造づくり出で $\omega =\{0,1,2,3\ldots |\}$，$\omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}$ 等とう无穷大だい的てき数すう，${\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}$ 等とう无穷小数しょうすう。以上いじょう超ちょう现实数すう皆みな不ふ属ぞく于实数すう。

更さら多た的てき数すう

我わが们定义 $P_{0}={0}$。

若わか $x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}$ 且 $x\not \in P_{i}$，那な么 $x\in P_{i+1}$，这在直ちょく观上等とう价于“$x$是ぜ在ざい第だい$i$天てん中ちゅう出生しゅっしょう的てき”。

那な么我们可以观察发现：

• $1,-1\in P_{1}$
• $2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}$
• $\pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }$
• $\omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}$
• $\omega +\pi \in P_{2\omega }$，其中$2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}$
• $\forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}$

我わが们将超ちょう现实数すう集合しゅうごう称しょう作さく $\mathbb {No}$。

序じょ关系

给定 $x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}$，我わが们（递归地ち）定てい义 $x\leq y$ 当とう且仅当とう以下いか两命题同时成立せいりつ：

• 没ぼつ有ゆう一いち个 $x_{L}\in X_{L}$ 符合ふごう $y\leq x_{L}$，
• 没ぼつ有ゆう一いち个 $y_{R}\in Y_{R}$ 符合ふごう $y_{R}\leq x$。

那な么可以自然しぜん地ち定てい义 $x<y,x>y,x=y,x\geq y$。可か以证明あきら，这样的てき二元关系是一个全ぜん序じょ关系。

我わが们分别将 $x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0$ 称しょう为 $x$ 负、 $x$ 正ただし、 $x$ 非ひ正せい、 $x$ 非ひ负。

我わが们定义 $x\|y$ 表示ひょうじ $x\leq y$ 与あずか $y\leq x$ 同どう时不成立せいりつ。事こと实上这样的てき二元关系在超现实数中不可能存在，但ただし是ぜ这个关系会かい在ざい之の后きさき的てき博ひろし弈章あきら节出现。

运算

加法かほう

我わが们定义超现实数すう之の间的加法かほう为 $x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}$，其中 $X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}$。

加法かほう逆ぎゃく元もと

我わが们定义负号ごう（加法かほう逆ぎゃく元もと）为 $-x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}$，其中 $-X=\left\{-x|x\in X\right\}$。

可か以验证这两个运算构成了りょう（真ま类上うえ的てき）阿おもね贝尔群ぐん。

乘法じょうほう

我わが们定义乘法じょうほう运算为${\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}}$，其中 $XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}$。

乘法じょうほう逆ぎゃく元もと

我わが们定义（正数せいすう的てき）乘法じょうほう逆ぎゃく元もと为${\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}}$，这样除法じょほう就是 ${\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)$。我わが们可以发现这个定义是递归的てき，但ただし是ぜ实际上じょう这个数字すうじ是ぜ良定よしさだ义的：我わが们取${\textstyle y=3=\{2|\}}$ 那な么 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ 会かい有ゆう一いち个 ${\textstyle 0}$ 作さく为左项，导致了りょう${\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2}$ 会かい是ぜ一いち个右项。这又意味いみ着ぎ ${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}$ 作さく为左项、${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}$ 作さく为右项，以此类推，所以ゆえん我わが们有${\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}$ （考こう虑两边的序列じょれつ在ざい实数中分なかぶん别收敛到 ${\frac {1}{3}}$，因いん此是相しょう容よう的てき）。

对于负数，我わが们定义 ${\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)$。

子こ集しゅう对应

有理数ゆうりすう、实数、序じょ数すう分ぶん别是超ちょう现实数すう的てき子こ集しゅう。

有理数ゆうりすう

所有しょゆう二进分数都可以定义为超现实数，而所有しょゆう分ぶん数すう都と可か以表示ひょうじ为两个整数すう之これ比ひ，因いん此所有しょゆう有理数ゆうりすう都と可か以表示ひょうじ为超现实数すう。

实数

在ざい定てい义出了りょう有理数ゆうりすう之の后きさき，使用しよう戴德金きん分割ぶんかつ可か以立刻こく将はた实数映うつ射い到いた超ちょう现实数すう中ちゅう。

假かり设$x\in \mathbb {R} ,x=A|A'$，其中 $A,A'\subset \mathbb {Q}$，那な么立刻こく可知かち存在そんざい $X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}$ 是これ $x$ 的てき一个超现实数表示，其中 $f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No}$ 是ぜ有理数ゆうりすう到いた超ちょう现实数すう的てき域いき同どう態たい。

序じょ数すう

我わが们将所有しょゆう序じょ数すう定てい义为小しょう于它的てき序じょ数すう构成的てき集合しゅうごう。所有しょゆう序じょ数すう的てき全体ぜんたい记为$\mathbb {Ord}$，那な么我们有：

• $f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}$

这样的てき同どう态可以保持ほじ序じょ关系的てき结构，但ただし是ぜ并不能ふのう保ほ证算术的一いち一いち对应，比ひ如 $\omega -1$ 这一式子的值在序数中的结果是 $\omega$，而在超ちょう现实数すう中ちゅう则是 $\{0,1,2,\ldots |\omega \}$.

博ひろし弈

如果去さ除じょ超ちょう现实数すう定てい义中对所有しょゆう $L<R$ 的てき约定，那な么这样（递归）定てい义出来でき的てき真ま类被称しょう做游ゆう戏。对其仍然可か以（一いち模も一いち样的）定てい义加法ほう、加法かほう逆ぎゃく元もと以及比ひ较。

显然，所有しょゆう的てき超ちょう现实数すう都と是ぜ游ゆう戏，但ただし并非所有しょゆう游ゆう戏都是ぜ超ちょう现实数すう，例れい如 $\star =\{0|0\}$ 就不是ぜ，其满足あし $\star \|0$。

可か以发现，所有しょゆう的てき游ゆう戏都体たい现了一いち个两人じん轮流、确定、公おおやけ开的博はく弈游戏，其中左ひだり集合しゅうごう表示ひょうじ第だい一いち位い玩家（下しも称しょう左ひだり玩家）可か以走到いた的てき局面きょくめん，右みぎ集合しゅうごう则表示ひょうじ第だい二に位い玩家（下しも称しょう右みぎ玩家）的てき选择，不能ふのう操作そうさ者しゃ负。

两个游ゆう戏的和わ的てき意い义就是ぜ同どう时进行ぎょう两个游ゆう戏，而每个玩家か选择其中一いち个进行ぎょう操作そうさ，不能ふのう操作そうさ者しゃ负。

我わが们可以发现，这个游ゆう戏的胜负取决于 $G$ 和わ $0$ 的まと相しょう对关系けい。

• 若わか $G=0$，则后手しゅ必胜。
• 若わか $G>0$，则左玩家必胜。
• 若わか $G<0$，则右玩家必胜。
• 若わか $G\|0$，则先手しゅ必胜（英語えいご：fuzzy game）。

有ゆう以下いか这些特殊とくしゅ的てき游ゆう戏：

• $\star =\{0|0\}$
• $\uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}$
• $\pm 1=\{1|-1\}$

可か以发现，关于他た们有这么几个性せい质：

• $\star \|0$
• $\forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i$
• $\forall x\in \mathbb {No} ,x>0:-x<\downarrow <0<\uparrow <x$ （比ひ所有しょゆう超ちょう现实数すう更さら接近せっきん0）
• $\star +\star =\uparrow +\downarrow =0$
• $(\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0$

可か以用于分析ぶんせき复杂的てき游ゆう戏。

暫譯術語じゅつご

• 超ちょう現實げんじつ數すう（Surreal）
• 無窮むきゅう量りょう（Infinitesimal）
• 格かく羅ら滕迪克かつ宇集