域いき (数学すうがく)

「域いき」的てき各地かくち常用じょうよう名稱めいしょう
中国ちゅうごく大陸たいりく	域いき
臺灣たいわん	體からだ

在ざい抽象ちゅうしょう代数だいすう中なか，體からだ（德とく語ご：Körper，英語えいご：Field）是ぜ一种具有加法跟乘法的集合（代数だいすう结构），且其加法かほう跟乘法ほう運算うんざん就如同どう普通ふつう的てき有理數ゆうりすう還かえ有ゆう實數じっすう。事實じじつ上じょう，體からだ正せい是ぜ数かず域いき以及四よん则运算さん的てき推廣，所以ゆえん被ひ廣こう泛運用うんよう在ざい代數だいすう、數かず論ろん等とう數學すうがく領域りょういき中ちゅう。

體からだ是ぜ环的てき一いち種しゅ。但ただし區別くべつ在ざい於域要求ようきゅう它的非ひ零れい元素げんそ可か以做除法じょほう，且體的てき乘法じょうほう有ゆう交換こうかん律りつ。

最さい有名ゆうめい的てき體からだ結構けっこう的てき例れい子こ就是有理數ゆうりすう體たい、實數じっすう體たい還かえ有ゆう複數ふくすう體たい。還かえ有ゆう其他形式けいしき的てき體からだ，例れい如有理ゆうり函數かんすう體たい、代數だいすう函數かんすう體たい、代數だいすう數すう體たい、p進數しんすう體からだ等とう，都と很常在ざい數學すうがく的てき領域りょういき中ちゅう被ひ使用しよう或ある是ぜ研究けんきゅう，特別とくべつ是ぜ數すう論ろん或ある是ぜ代數だいすう幾何きか。此外還かえ有ゆう一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在ざい兩りょう個體こたい中ちゅう的てき關係かんけい被ひ表示ひょうじ成體せいたい擴張かくちょう的てき觀念かんねん。Galois理論りろん，由ゆかりÉvaristeGalois在ざい1830年代ねんだい提出ていしゅつ，致力於理解體かいたい擴展的てき對稱たいしょう性せい。其中Galois理論りろん還かえ有ゆう其他結果けっか，解決かいけつ了りょう不能ふのう用よう尺せき規ただし作圖さくず做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還かえ解決かいけつ了りょう五次方程不能有公式解的問題。

正式せいしき定てい义

給きゅう定じょう集合しゅうごう $K$ ，它具有ぐゆう了りょう以下いか兩りょう種たね二元にげん运算：

• $+:K\times K\to K$ （其中 $+(a,\,b)$ 慣例かんれい上じょう簡記為ため $a+b$ ）
• $\times :K\times K\to K$ （其中 $\times (a,\,b)$ 慣例かんれい上じょう簡記為ため $a\times b$ 或ある $a\cdot b$ 甚至是ぜ $ab$ ）

滿足まんぞく：

1. $\left(K,\,+\right)$ 為ため交换群ぐん，且其單位たんい元もと為ため $0_{K}$ 。
2. $\left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)$ 為ため交换群ぐん。
3. 分配ぶんぱい律りつ：對たい所有しょゆう $a,\,b,\,c\in K$，$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ 且 $(b+c)\times a=b\times a+c\times a$。

那な稱しょう「 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為ため體たい」，當とう二元运算的符號不重要時，亦また可か將しょう $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 簡記為ため $K$ 。

慣用かんよう符號ふごう與あずか稱呼しょうこ

(1)體からだ的てき代だい號ごう：

有ゆう時じ會かい基もと於德とく语 Körper ，以字母はは $K$ 代だい稱しょう體たい，但ただし也會基もと於英えい语 Field 以 $F$ 代だい稱しょう。

(2)加法かほう與あずか乘法じょうほう：

習慣しゅうかん上じょう，$\times$ 被ひ稱しょう為ため乘法じょうほう， $\left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)$ 的てき單位たんい元もと會かい記き為ため $1_{K}$ ，並稱へいしょう為ため $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 的てき乘法じょうほう單位たんい元もと。

類似るいじ地ち， $+$ 被ひ稱しょう為ため加法かほう， $0_{K}$ 被ひ稱しょう為ため體たい的てき加法かほう單位たんい元もと。所以ゆえん在ざい省略しょうりゃく括弧かっこ後ご，仍依照あきら先さき乘じょう後ご加か的てき方式ほうしき閱讀。

(3)減法げんぽう與あずか除法じょほう：

對たい於任意にんい $a,\,b\in K$ ，會かい依據いきょ群ぐん的てき習慣しゅうかん，將はた $a$ 的てき加法かほう逆ぎゃく元素げんそ記き做 $-a$ ，並なみ將しょう $b+(-a)$ 簡記為ため $b-a$ ，並なみ可か暱稱為ため減法げんぽう。

類似るいじ地ち，若わか $a\neq 0_{K}$ ， $a$ 的てき乘法じょうほう逆ぎゃく元素げんそ記き做 ${\frac {1}{a}}$ ，並なみ將しょう $b\times {\frac {1}{a}}$ 簡記為ため ${\frac {b}{a}}$ ，並なみ可か暱稱為ため除法じょほう。

基本きほん性質せいしつ

定理ていり （1） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為ため體たい，那な對たい任意にんい $a\in K$ 有ゆう

$0_{k}\times a=a\times 0_{K}=0_{K}$

證明しょうめい

根據こんきょ分配ぶんぱい律りつ和わ加法かほう單位たんい元もと的てき性質せいしつ會かい有ゆう

$a\times 0_{k}=a\times (0_{K}+0_{k})=a\times 0_{K}+a\times 0_{K}$

$0_{k}\times a=(0_{K}+0_{k})\times a=0_{k}\times a+0_{k}\times a$

這樣的てき話ばなし，根據こんきょ加法かほう結合けつごう律りつ還かえ有ゆう加法かほう單位たんい元もと的てき性質せいしつ有ゆう

${\begin{aligned}0_{K}&=-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}\\&=-(a\times 0_{K})+(a\times 0_{K}+a\times 0_{K})\\&=[-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}]+a\times 0_{K}\\&=0_{K}+a\times 0_{K}\\&=a\times 0_{K}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}0_{K}&=-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a\\&=-(0_{k}\times a)+(0_{k}\times a+0_{k}\times a)\\&=[-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a]+0_{k}\times a\\&=0_{K}+0_{k}\times a\\&=0_{k}\times a\end{aligned}}$

故こ得とく証しょう。$\Box$

以上いじょう的てき定理ていり也證明しょうめい了りょう，只ただ要よう$\left(K,\,+\right)$ 為ため交换群ぐん且有分配ぶんぱい律りつ，就足以決定けってい $0_{K}$ 相關そうかん乘法じょうほう的てき值。所以ゆえん正式せいしき定義ていぎ中ちゅう把わ $0_{K}$ 排除はいじょ在ざい乘法じょうほう的てき交換こうかん群ぐん之の外そと是ぜ不ふ會かい有ゆう問題もんだい的てき。也就是ぜ說せつ

系けい理り （乘法じょうほう交換こうかん律りつ） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為ため體たい，那な對たい任意にんい $a,\,b\in K$ 有ゆう

$a\times b=b\times a$

系けい理り （乘法じょうほう結合けつごう律りつ） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為ため體たい，那な對たい任意にんい $a,\,b,\,c\in K$ 有ゆう

$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$

定理ていり （2） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為ため體たい，那な對たい任意にんい $a,\,b\in K$ 有ゆう

$-(a\times b)=(-a)\times b=a\times (-b)$

證明しょうめい

根據こんきょ乘法じょうほう交換こうかん律りつ跟分配ぶんぱい律りつ有ゆう

${\begin{aligned}(a\times b)+[(-a)\times b]&=(b\times a)+[b\times (-a)]\\&=b\times (a-a)\\&=b\times 0_{K}\end{aligned}}$

這樣根據こんきょ定理ていり(1)和かず加法かほう交換こうかん律りつ就有

$(a\times b)+[(-a)\times b]=[(-a)\times b]+(a\times b)=0_{K}$

所以ゆえん

$-(a\times b)=[(-a)\times b]$

再さい考慮こうりょ到いた乘法じょうほう的てき交換こうかん律りつ有ゆう

$-(a\times b)=-(b\times a)=(-b)\times a=a\times (-b)$

故こ得とく証しょう。$\Box$

定理ていり （3） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為ため體たい，若わか $a,\,b\in K$ 且 $a\neq 0_{K}$ 和わ $b\neq 0_{K}$ ，則のり

${\frac {1}{a\times b}}={\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}$

證明しょうめい

根據こんきょ乘法じょうほう的てき結合けつごう律りつ和わ交換こうかん律りつ，還かえ有ゆう乘法じょうほう單位たんい元もと的てき性質せいしつ會かい有ゆう

${\begin{aligned}\left({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}\right)\times (a\times b)&=\left({\frac {1}{b}}\times {\frac {1}{a}}\right)\times (a\times b)\\&={\frac {1}{b}}\times \left[{\frac {1}{a}}\times (a\times b)\right]\\&={\frac {1}{b}}\times \left[\left({\frac {1}{a}}\times a\right)\times b\right]\\&={\frac {1}{b}}\times (1_{K}\times b)\\&={\frac {1}{b}}\times b\\&=1_{K}\\&=(a\times b)\times ({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\end{aligned}}$

故こ得とく証しょう。$\Box$

定理ていり （4） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為ため體たい，那な對たい任意にんい $a,\,b\in K$ ，若わか $a\times b=0_{K}$ ， 則のり $a=0_{K}$ 或ある $b=0_{K}$。

證明しょうめい

如果 $K-\{0_{K}\}=\varnothing$ ，那な對たい任意にんい $a\in K$ 都みやこ有ゆう $a=0_{K}$ ，所以ゆえん以下いか只ただ考慮こうりょ $K-\{0_{K}\}\neq \varnothing$ 狀況じょうきょう。

假設かせつ存在そんざい $a,\,b\in K$ 滿足まんぞく $a\neq 0_{K}$ 和わ $b\neq 0_{K}$ ，但ただし同時どうじ $a\times b=0_{K}$ ，這樣根據こんきょ定理ていり(1)和かず(3)有ゆう

${\begin{aligned}1_{K}&=({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\times (a\times b)\\&=({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\times 0_{K}\\&=0_{K}\end{aligned}}$

這顯然けんぜん是ぜ矛盾むじゅん的てき，所以ゆえん根據こんきょ反證はんしょう法ほう和わ德とく摩ま根ね定理ていり，對たい所有しょゆう的てき $a,\,b\in K$ ，只ただ能のう「 $a,\,b$ 其中一いち者しゃ為ため $0_{K}$ 」或ある「 $a\times b\neq 0_{K}$ 」，也就等價とうか於：

「對たい所有しょゆう $a,\,b\in K$ ，若わか $a\times b=0_{K}$ 則のり $a,\,b$ 其中一いち者しゃ為ため $0_{K}$ 。」

故こ得とく証しょう。$\Box$

• 域いきF中なか的てき所有しょゆう非ひ零れい元素げんそ的てき集合しゅうごう（一般いっぱん记作F^×）是ぜ一个關於乘法的阿おもね贝尔群ぐん。F^×的まと每ごと个有限げん子こ群ぐん都みやこ是ただし循环群ぐん。
• 若わか存在そんざい正せい整数せいすうn使つかい得とく0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那な么这样的n中ちゅう最小さいしょう的てき一个称为这个域的特とく征せい，特とく征せい要よう么是一いち个素数すうp，要よう么是0（表示ひょうじ这样的てきn不ふ存在そんざい）。此时$F$中ちゅう最小さいしょう的てき子こ域いき分ぶん别是$\mathbb {Q}$或ある有限ゆうげん域いき$\mathbb {F} _{p}$，称しょう之の为$F$的てき素す域いき。
• 一个交换环是域当且仅当它的理想りそう只ただ有ゆう自身じしん和わ零れい理想りそう。
• 在ざい选择公理こうり成立せいりつ的てき假かり设下，对每个域F都と存在そんざい着ぎ唯一ゆいいつ的てき一いち个域G（在ざい同どう构意义上），G包含ほうがんF，G是これF的てき代数だいすう扩张，并且G代数だいすう封ふう闭。G称しょう作さく由ゆかりF确定的てき代数だいすう闭包。在ざい很多情たじょう况下上述じょうじゅつ的てき同どう构并不ふ是ぜ唯一ゆいいつ的てき，因いん此又说G是これF的てき一いち个代数すう闭包。

例れい子こ

• 許多きょた常つね见的数すう域いき都と是ぜ域いき。比ひ如说，全体ぜんたい複數ふくすう的てき集合しゅうごう$\mathbb {C}$與あずか其加法ほう和わ乘法じょうほう构成一いち个域。全体ぜんたい有理数ゆうりすう的てき集合しゅうごう$\mathbb {Q}$ 與あずか其加法ほう和わ乘法じょうほう也是一いち个域，它是$\mathbb {C}$的てき子こ域いき，并且不ふ包含ほうがん更さら小しょう的てき子こ域いき了りょう。
• 代数だいすう数すう域いき：代数だいすう数すう域いき是ぜ有理数ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$的てき有限ゆうげん扩域，也就是ぜ说代数すう数すう域いき是ぜ$\mathbb {Q}$上うえ的てき有限ゆうげん维向むかい量りょう空そら间。代数だいすう数すう域いき都と同どう构于$\mathbb {C}$的てき子こ域いき，并且这个同どう构保持ほじ$\mathbb {Q}$不ふ变，即そく这个同どう构把每ごと个有理数りすう都と映うつ射い到いた它自身じしん。代数だいすう数すう域いき是ぜ代数だいすう数すう论研究けんきゅう的てき对象。
• 代数だいすう数すう构成的てき域いき：所有しょゆう的てき代数だいすう数すう的てき集合しゅうごう对于加法かほう和わ乘法じょうほう构成一いち个域，记作${\overline {\mathbb {Q} }}$。${\overline {\mathbb {Q} }}$是ぜ有理数ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$的てき代数だいすう闭包（见下）。${\overline {\mathbb {Q} }}$是ぜ特とく征せい为零的てき代数だいすう封ふう闭的てき域いき的てき一いち个例子こ。
• 全体ぜんたい实数的てき集合しゅうごう$\mathbb {R}$对于加法かほう和わ乘法じょうほう构成一いち个域。实数域いき是ぜ复数域いき$\mathbb {C}$的てき子こ域いき，也是一いち个有ゆう序じょ域いき。后きさき者しゃ使し得とく实数域いき上じょう能のう够建立こんりゅう起おこり微ほろ积分理り论。
• 所有しょゆう的てき实代数だいすう数すう的てき集合しゅうごう也构成なり一いち个域，它是$\mathbb {R}$的てき一いち个子域いき
• 任意にんい一いち个有限ゆうげん域いき的てき元素げんそ个数是ぜ一いち个素数すうq的てき乘じょう方かた，一般いっぱん记作F_q，就是所しょ谓的伽とぎ罗瓦域いき。任意にんい一个元素个数是素数q的てき域いき都と同どう构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令れいp = 2,就得到いた最小さいしょう的てき域いき：F₂。F₂只ただ含有がんゆう两个元素げんそ0和わ1，运算法ほう则如下か：

$\oplus$ 0 1 0 0 1 1 1 0

$\land$ 0 1 0 0 0 1 0 1

• 设E和わF是ぜ两个域いき，E是これF的てき子こ域いき，则F是これE的てき 扩域。设x是これF中なか的てき一いち个元素げんそ，则存在そんざい着ぎ一个最小的同时包含E和わx的てきF的てき子こ域いき，记作E (x)，E (x)称しょう作さくE在ざいF中ちゅう关于 x的てき单扩张。比ひ如说，复数域いき$\mathbb {C}$就是实数域いき$\mathbb {R}$在ざい$\mathbb {C}$中ちゅう关于虚数きょすう单位i的てき单扩张
• 每まい一个有乘法么元的环R都と对应着ぎ一个包含它的域，称しょう为它的てき分ぶん式しき域いき，记作K(R)。分ぶん式しき域いき的てき具体ぐたい构造方法ほうほう是ぜ定てい义类似に于最简分数すう的てき等とう价类，再さい将しょう环“嵌入かんにゅう”其中（详见分ぶん式しき域いき）。可か以证明あきら，K(R)是ぜ包含ほうがんR的てき“最小さいしょう”的てき域いき。
• 设F是ぜ一いち个域，定てい义F (X)是ぜ所有しょゆう以F中元ちゅうげん素もと为系数すう的てき分ぶん式しき的てき集合しゅうごう，则F (X)是これF的てき一いち个扩域いき。F (X)是これF上うえ的てき一いち个无穷维的てき向むかい量りょう空そら间，这是域いき的てき超越ちょうえつ扩张的てき一いち个例子こ。
• 设F是ぜ一いち个域，p(X)是これ多た项式环F[X]上じょう的てき一いち个不可ふか约多项式，则商しょう环F[X]/<p(X)>是ぜ一いち个域。其中的てき<p(X)>表示ひょうじ由よしp(X)生成せいせい的てき理想りそう。举例来らい说，R[X]/<X² + 1>是ぜ一いち个域（同どう构于复数域いき$\mathbb {C}$）。可か以证明あきら，F的てき所有しょゆう单扩张都同どう构于此类形式けいしき的てき域いき。
• 若わかV是ぜ域いきF上うえ的てき一いち个代數すう簇むらが，则所有しょゆうV → F 的てき有理ゆうり函数かんすう构成一いち个域，称しょう为V的てき函数かんすう域いき。
• 若わかS是ぜ一いち个黎はじむ曼曲面めん，则全体ぜんたいS → C 的てき亚纯函数かんすう构成一いち个域。
• 由よし于序じょ数すう的てき类不ふ是ぜ集合しゅうごう，因いん此在其上定てい义的尼あま姆数不能ふのう构成真正しんせい的てき域いき。但ただし它满足あし域いき的てき所有しょゆう条件じょうけん，且其任意にんい封ふう闭子集しゅう（如小于$2^{2^{n}}$的てき所有しょゆう自然しぜん数すう构成的てき子こ集しゅう）都みやこ是ただし域いき。

有限ゆうげん體たい

有限ゆうげん體たい是ぜ一個體有著有限多個元素，其元素げんそ個數こすう也跟體たい的てき階數かいすう相しょう同どう，按照體たい的てき定義ていぎ，可か以知道どう$\mathbb {F} _{2}$為ため最小さいしょう的てき有限ゆうげん體たい，因いん為ため根據こんきょ定義ていぎ，一個體至少包含兩個元素$1\neq 0$。

通常つうじょう來らい說せつ，最さい簡單かんたん的てき質しつ數すう階かい體たい，就是$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...p-1\}$，此處ここら$p$為ため質しつ數すう，在ざい這個體たい上じょう的てき加法かほう與あずか乘法じょうほう等とう同どう於在整數せいすう$\mathbb {\mathbb {Z} }$上うえ的てき運算うんざん，然しか後こう除じょ以$p$，取と它的餘あまり數すう。這個運算うんざん精確せいかく的てき建けん構了一いち個體こたい，通常つうじょう我わが們將這個體こたい記き作さく$\mathbb {F} _{p}$。要注意ようちゅうい的てき是ぜ$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,...n-1\}$，當とうn為ため合成ごうせい數すう時じ並なみ不ふ是ぜ一いち個こ有限ゆうげん體たい，例れい如在 $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ 中なか $2\times 2=0$ ，因いん此 $(\{1,2,3\},\times )$ 不能ふのう形成けいせい群ぐん。

如果我わが們將向むこう量りょう空間くうかん${\mathit {V}}=\mathbb {F} _{p}/m^{n}$，則のり我わが們將V稱しょう作さく有限ゆうげん體たい向むこう量りょう空間くうかん，其中$n=\dim {\mathit {V}}$，可知かち這個向むこう量りょう空間くうかん中ちゅう，有ゆう$p^{n}$個こ元素げんそ。

如果我わが們將有限ゆうげん體たい放ひ入にゅう矩のり陣じん，也就是ぜ$GL_{n}(\mathbb {F} _{p})$，則のり此矩陣じん的てき元素げんそ有ゆう$(p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})$

歷史れきし

歷史れきし上じょう，三個代數中的學科導引到了體的概念:第だい一個是解多項式方程的問題，第だい二に個こ是ぜ代數だいすう數すう論ろん，第だい三個則是代數幾何的問題。體からだ的てき概念がいねん始はじめ於1770年ねん，由ゆかり拉ひしげ格かく朗ろう日び所ところ提出ていしゅつ。拉ひしげ格かく朗ろう日び他た觀かん察到關せき於三さん次じ方かた程ほど的てき根ねx₁, x₂, x₃的てき置換ちかん，在ざい以下いか的てき表ひょう達たち

(x₁ + ωおめがx₂ + ωおめが²x₃)³

(其中ωおめが是ぜ三次方程的單位根)只ただ產さん生せい兩個りゃんこ值。在ざい這方向上こうじょう，拉ひしげ格かく朗ろう日び概念がいねん上じょう的てき解釋かいしゃく了りょう由ゆかり 希まれ皮がわ奧おく內·德とく爾なんじ·費ひ羅ら 和わ 弗どる朗ろう索さく瓦かわら·韋達 的てき經典きょうてん解法かいほう，其解法ほう藉由簡化三次方程關於未知 x 到いた一いち個こ x³的てき二に次じ方かた程ほど。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉ひしげ格かく朗ろう日び因いん此連結れんけつ的てき關せき於體的てき概念がいねん還かえ有ゆう群ぐん的てき概念がいねん。數學すうがく家か范德蒙こうむ也同樣どうよう在ざい1770年ねん有ゆう著ちょ更さら全面ぜんめん的てき延伸えんしん。

伽羅きゃら瓦かわら理論りろん

請參見み伽羅きゃら瓦かわら理論りろん

參まいり見み

• 特徵とくちょう (代数だいすう)
• 環たまき論ろん
• 域いき論ろん
• 有ゆう序じょ域いき