局部きょくぶ域いき

在ざい數學すうがく上じょう，局部きょくぶ域いき是ぜ一類いちるい特別とくべつ的てき域いき，它有非ひ平凡へいぼん的てき絕對ぜったい值，此絕對ぜったい值賦予よ的てき拓ひらけ撲なぐ是これ局部きょくぶ緊的てき。局部きょくぶ域いき可か粗あら分ぶん為ため兩りょう類るい：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱しょう作さく阿おもね基もと米まい德とく局部きょくぶ域いき），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱しょう作さく非ひ阿おもね基もと米まい德とく局部きょくぶ域いき）。在ざい數かず論ろん中なか，數かず域いき的てき完備かんび化か給きゅう出で局部きょくぶ域いき的てき典型てんけい例れい子こ。

非ひ阿おもね基もと米まい德とく局部きょくぶ域いき

設しつらえ$F$為ため非ひ阿おもね基もと米まい德とく局部きょくぶ域いき，而$|\cdot |$為ため其絕對ぜったい值。關せき鍵かぎ在ざい下した述じゅつ對象たいしょう：

• 閉單位い球だま：$\{a\in F:|a|\leq 1\}$，或ある其整數せいすう環たまき${\mathcal {O}}$，這是個こ緊集。
• 整數せいすう環たまき裡うら的てき單位たんい元素げんそ：${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}$
• 開ひらき單位たんい球だま：$\{a\in F:|a|<1\}$，這同時じ是ぜ其整數すう環たまき裡うら唯一ゆいいつ的てき極大きょくだい理想りそう，也記作さく${\mathfrak {m}}$。

上述じょうじゅつ對象たいしょう與あずか賦ふ值環的てき構造こうぞう相しょう呼應こおう；事實じじつ上じょう，可か證明しょうめい必存在そんざい實數じっすう$0<c<1$及離散りさん賦ふ值$v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$，使つかい得とく

$\forall a\in F\;c^{v(a)}=|a|$.

可か取と唯一ゆいいつ的てき$c$使つかい得とく$v$為ため滿まん射い，稱しょう之の為ため正規せいき化か賦ふ值。

從したがえ此引出で非ひ阿おもね基もと米まい德とく局部きょくぶ域いき的てき另一いち個こ等價とうか定義ていぎ：一いち個こ域いき$F$，帶おび離散りさん賦ふ值$v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$，使つかい得とく$F$成なり為ため完備かんび的てき拓ひらけ撲なぐ域いき，而且剩餘じょうよ域いき有限ゆうげん。

這類局部きょくぶ域いき的てき行為こうい可か由ゆかり局部きょくぶ類るい域いき論ろん描述。

分類ぶんるい

局部きょくぶ域いき的てき完かん整せい分類ぶんるい如次：

• $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$。這些是ぜ阿おもね基もと米まい德とく局部きょくぶ域いき。
• p進數しんすう域いき$\mathbb {Q} _{p}$的てき有限ゆうげん擴張かくちょう。這些是ぜ特徵とくちょう為ため零れい的てき非ひ阿おもね基もと米まい德とく局部きょくぶ域いき。
• $\mathbb {F} _{q}((T))$的てき有限ゆうげん擴張かくちょう（其中$\mathbb {F} _{q}$表おもて有ゆうq個こ元素げんそ的てき有限ゆうげん域いき）。這些是ぜ特徵とくちょう非ひ零れい的てき非ひ阿おもね基もと米まい德とく局部きょくぶ域いき。

文獻ぶんけん

• Milne, James, Algebraic Number Theory.
• Serre, Jean-Pierre. Corps locaux. Hermann. 1968.