理想りそう (环论)

理想りそう（Ideal）是ぜ一いち个环论中なか的てき概念がいねん。 若わか某ぼう环的てき子こ集しゅう为在原げん环加法的ほうてき定てい义下的てき子こ群ぐん，且其中ちゅう的てき元素げんそ在原ありはら环乘法ほう下か与あずか任意にんい原げん环中的てき元素げんそ结果都と在ざい该子群ぐん中ちゅう，则称其为原げん环的理想りそう。 通俗つうぞく地ち说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想りそう把わ整数せいすう的てき某ぼう些子集しゅう，例れい如偶数ぐうすう或ある3的てき倍数ばいすう组成的てき集合しゅうごう给一般いっぱん化か了りょう。两个偶数ぐうすう相しょう加か或ある相あい减结果はて仍是偶数ぐうすう，偶数ぐうすう与あずか任意にんい整数せいすう相乘そうじょう的てき结果也仍是ぜ偶数ぐうすう；这些闭包和わ吸收きゅうしゅう的てき性せい质正是ぜ理想りそう的てき定てい义。理想りそう可か以被用よう来らい构造商しょう环，这类似に于在群ぐん论里さと，正せい规子群ぐん可か以被用よう来らい构造商しょう群ぐん。

历史

恩おん斯特·库默尔提出ていしゅつ了りょう理想りそう数すう的てき概念がいねん，以此作さく为那些不具有ぐゆう唯一ゆいいつ因子いんし分解ぶんかい的てき数すう环的“缺かけ失しつ”的てき因子いんし。“理想りそう”在ざい这里的てき意思いし是ぜ它只存在そんざい于想象ぞう中ちゅう，可か以类比ひ在ざい几何中ちゅう那な些“理想りそう”的てき几何对象，比ひ如无穷远处的点てん。随ずい后きさき在ざい1876年ねん，理り查德·戴德金きん在ざい狄利克かつ雷かみなり的てき数かず论讲义书的第だい三版中用被称为“理想りそう”的てき数すう的てき集合しゅうごう代替だいたい了りょう库默尔之前ぜん未定みてい义的概念がいねん。之これ后きさき这个概念がいねん被ひ大だい卫·希まれ尔伯特とく和わ艾あい米べい·诺特从数环拓展てん到いた了りょう多た项式环以及其他た交换环上。

定てい义

环(R,+,·)，已やめ知ち(R, +)是これ阿おもね贝尔群ぐん。R的てき子こ集しゅうI称たたえ为R的てき一いち个右みぎ理想りそう，若わかI满足：

1. (I, +)构成(R, +)的てき子こ群ぐん。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

类似地ち，I称たたえ为R的てき左ひだり理想りそう，若わか以下いか条件じょうけん成立せいりつ：

1. (I, +)构成(R, +)的てき子こ群ぐん。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若わかI既すんで是ぜR的てき右みぎ理想りそう，也是R的てき左ひだり理想りそう，则称I为R的てき双そう边理想りそう，简称R上うえ的てき理想りそう。

示しめせ例れい

• 整数せいすう环的理想りそう：整数せいすう环Z只ただ有形ゆうけい如nZ的てき理想りそう。

一いち些结论

• 在ざい环中，（左ひだり或ある右みぎ）理想りそう的てき交和并仍然しか是ぜ（左ひだり或ある右みぎ）理想りそう。

• 对于R的てき两个理想りそうA，B，记$AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$。按定义不难证明あきら：

1. 如果A是ぜR的てき左ひだり理想りそう，则AB是ぜR的てき左ひだり理想りそう。
2. 如果B是ぜR的てき右みぎ理想りそう，则AB是ぜR的てき右みぎ理想りそう。
3. 如果A是ぜR的てき左ひだり理想りそう，B是ぜR的てき右みぎ理想りそう，则AB是ぜR的てき双そう边理想りそう。

• R的てき子こ集しゅうI是ぜR的てき理想りそう，若わかI满足：

1. ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
2. ∀a ∈ I, r ∈ R，则a·r∈ I。

• 交换环的理想りそう：交换环的理想りそう都と是ぜ双そう边理想りそう。

• 除じょ环的理想りそう：除じょ环中的てき（左ひだり或ある右みぎ）理想りそう只ただ有ゆう平凡へいぼん（左ひだり或ある右みぎ）理想りそう。

生成せいせい理想りそう

如果 $A$ 是ぜ环 $R$ 的てき一个非空子集，令れい $\left\langle A\right\rangle =RA+AR+RAR+\mathbb {Z} A$, 其中

$\mathbb {Z} A=\left\{\sum _{i=1}^{n}m_{i}a_{i}:m_{i}\in \mathbb {Z} ,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};$

$RA=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}:r_{i}\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};$

$AR=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}:r_{i}\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};$

$RAR=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}r_{i}':r_{i},r_{i}'\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\},$

则 $\left\langle A\right\rangle$ 是ぜ环 $R$ 的てき理想りそう，这个理想りそう称しょう为 $R$ 中なか由ゆかり $A$ 生成せいせい的てき理想りそう，$A$ 称しょう为生成せいせい元もと集しゅう。同どう群ぐん的てき生成せいせい子こ群ぐん类似，$\left\langle A\right\rangle$ 是これ $R$ 中ちゅう所有しょゆう包含ほうがん $A$ 的てき理想りそう的てき交，因いん此是 $R$ 中ちゅう包含ほうがん $A$ 的てき最小さいしょう理想りそう。下面かめん是ぜ生成せいせい理想りそう的てき几种特殊とくしゅ情じょう况：

1. 当とう $R$ 是ぜ交换环时，$\left\langle A\right\rangle =RA+\mathbb {Z} A$;
2. 当とう $R$ 是ぜ有ゆう单位元もと$1$的てき环时，$\left\langle A\right\rangle =RAR$;
3. 当とう $R$ 是ぜ有ゆう单位元もと的てき交换环时，$\left\langle A\right\rangle =RA$.

主しゅ理想りそう

设集合しゅうごうA = {a₁,a₂,...,a_n}，则记<A> = <a₁,a₂,...,a_n>，称しょう$\left\langle A\right\rangle$是ぜ有限ゆうげん生成せいせい理想りそう。特とく别当$A=\left\{a\right\}$是ぜ单元素げんそ集しゅう时，称しょう$\left\langle A\right\rangle =\left\langle a\right\rangle$为环R的てき主しゅ理想りそう。注意ちゅうい$\left\{a\right\}$作さく为生成せいせい元もと一般いっぱん不ふ是ぜ唯一ゆいいつ的てき，如$\left\langle a\right\rangle =\left\langle -a\right\rangle$。$\left\langle a\right\rangle$的てき一般いっぱん形式けいしき是ぜ：

$\left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}+sa+at+na|x_{k},y_{k},s,t\in R,n,m\in Z\right\}$

• 性せい质：$\left\langle A\right\rangle =\sum _{a\in A}\left\langle a\right\rangle$

几类特殊とくしゅ环中的てき主しゅ理想りそう：

1. 如果是ぜ交换环，则$\left\langle a\right\rangle =\left\{sa+na|s\in R,n\in Z\right\}$
2. 如果是ぜ有ゆう单位元もと的てき环，则$\left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}|x_{k},y_{k}\in R,m\in Z,m>0\right\}$
3. 如果是ぜ有ゆう单位元もと的てき交换环，则$\left\langle a\right\rangle =\left\{sa|s\in R\right\}$

相あい关概念がいねん和わ结论

• 真ま理想りそう：若わかI是ぜ环R的てき理想りそう，且I是ぜR的てき真子しんじ集しゅう，I称たたえ为R的てき真ま理想りそう。
• 极大理想りそう：环R的てき一いち个真理想りそうI被ひ称しょう为R的てき极大理想りそう，若わか不ふ存在そんざい其他真ま理想りそうJ，使つかい得とくI是ぜJ的てき真子しんじ集しゅう。
  • 极大左ひだり理想りそう：设I是ぜ环R的てき左ひだり理想りそう，若わかI ≠ R并且在ざいI与あずかR之の间不存在そんざい真しん的てき左ひだり理想りそう，则称I是ぜ环R的てき一いち个极大だい左ひだり理想りそう。极大左ひだり理想りそう与あずか极大理想りそう之の间有如下关系：
    1. 如果I是ぜ极大左ひだり理想りそう，又また是ぜ双そう边理想おもえ，则I是ぜ极大理想りそう。
    2. 极大理想りそう未必みひつ是ぜ极大左ひだり理想りそう。
  • 单环：在ざい幺环中ちゅう，若わか零れい理想りそう是ぜ其极大だい理想りそう，称しょう该环为单环。
    • 除じょ环是单环，其零理想りそう是ぜ极大理想りそう。
    • 域いき是ぜ单环。
  • 在ざい整数せいすう环Z中なか，由ゆかりp生成せいせい的てき主しゅ理想りそう是ぜ极大理想りそう的てき充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん是ぜ：p是ぜ素数そすう。
  • 设R是ぜ有ゆう单位元もと1的てき交换环。理想りそうI是ぜR的てき极大理想りそう的てき充分じゅうぶん且必要ひつよう条件じょうけん是ぜ：商しょう环R / I是ぜ域いき。
  • 设I是ぜ环R的てき左ひだり理想りそう，则I是ぜR的てき极大左ひだり理想りそう的てき充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん是ぜ对R的てき任意にんい一いち个不含在I中なか的てき左ひだり理想りそうJ都みやこ有ゆうI+J=R。

• 素す理想りそう：环R的てき真ま理想りそうI被ひ称しょう为素す理想りそう，若わか∀R上うえ的てき理想りそうA，B，有ゆうAB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或あるB ⊆ I。
• 素す环：若わか环R的てき零れい理想りそう是ぜ素もと理想りそう，则称R是ぜ素す环（或ある质环）。
  • 无零因子いんし环是素もと环。
  • 在ざい交换环R中なか，真ま理想りそうI是ぜ素もと理想りそう的てき充たかし要よう条件じょうけん是ぜ：R / I是ぜ素もと环。
• 准じゅん素もと理想りそう：环R的てき真ま理想りそうI。若わか∀R上うえ的てき理想りそうP，有ゆうP² ⊆ I ⇒ P ⊆ I，称しょうI是ぜR的てき准じゅん素もと理想りそう。
  • 准じゅん素もと理想りそう是ぜ一类比素理想相对较弱的理想。素もと理想りそう是ぜ准じゅん素もと理想りそう，反たん之の不ふ成立せいりつ。

参考さんこう文献ぶんけん

• Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
• Lang, Serge. Undergraduate Algebra Third. Springer-Verlag. 2005. ISBN 978-0-387-22025-3. 
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Milnor, John Willard, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1971, MR 0349811, Zbl 0237.18005 

参まいり见

• 理想りそう (序じょ理り论)