在 ざい 抽象 ちゅうしょう 代数 だいすう 之 これ 分 ふん 支 ささえ 环论 中 ちゅう 一 いち 交换环 （commutative ring ）是 ぜ 乘法 じょうほう 交换律 りつ 的 てき 的 てき 研究 けんきゅう 称 しょう 交换代数 だいすう 学 がく
某 ぼう 特定 とくてい 的 てき 下 か 列 れつ 类包含 ほうがん 链中：
一个带有两个二元 にげん 的 てき 集合 しゅうごう R 是 ぜ 即 そく 将 はた 的 てき 任意 にんい 元素 げんそ 第 だい 三 さん 他 た 法 ほう 与 あずか 乘法 じょうほう 通常 つうじょう 与 あずか 例 れい a + b 与 あずか a ⋅ b 。为了形成 けいせい 加法 かほう 下 か 是 ぜ 一 いち 阿 おもね 群 ぐん 在 ざい 乘法 じょうほう 下 か 幺半群 ぐん ，使 つかい 得 とく 乘法 じょうほう 法 ほう 有 ゆう 分配 ぶんぱい 律 りつ 即 そく a ⋅ (b + c ) = (a ⋅ b ) + (a ⋅ c )。关于加法 かほう 与 あずか 乘法 じょうほう 的 てき 元素 げんそ 分 ぶん 作 さく 和 わ
另外如果乘法 じょうほう 的 てき 即 そく
a ⋅ b = b ⋅ a ，环 R 称 しょう 除 じょ 非 ひ 特 とく 声明 せいめい 下 しも 文中 ぶんちゅう 所有 しょゆう 的 てき
一个重要的例子，在 ざい 某 ぼう 是 ぜ 最 さい 的 てき 是 ぜ 加法 かほう 与 あずか 乘法 じょうほう 的 てき 整数 せいすう Z 。因 よし 数 すう 乘法 じょうほう 是 ぜ 一 いち 通常 つうじょう Z ，是 ぜ 德 とく Zahlen （数 かず 的 てき
一 いち 域 いき 是 ぜ 每 ごと 非 ひ 零 れい 元素 げんそ a 是 ぜ 可逆 かぎゃく 的 てき 即 そく 有 ゆう 一 いち 法 ほう 逆 ぎゃく b 使 つかい 得 とく a ⋅ b = 1。从而，由 ゆかり 定 てい 任 にん 何 なん 域 いき 是 ぜ 一 いち 有理数 ゆうりすう 实数 、复数 都 みやこ 是 ただし 域 いき
2×2 的 てき 矩 のり 不 ふ 是 ぜ 的 てき 因 いん 矩 のり 法 ほう 不 ふ 律 りつ 例 れい 所 しょ 示 しめせ
[
1
1
0
1
]
⋅
[
1
1
1
0
]
=
[
2
1
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}}
不等 ふとう
[
1
1
1
0
]
⋅
[
1
1
0
1
]
=
[
1
2
1
1
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.}
但 ただし 是 ぜ 能 のう 被 ひ 相 あい 同 どう 的 てき 相似 そうじ 对角化 か 的 てき 矩 のり 形成 けいせい 一 いち 差 さ 商 しょう 的 てき 矩 のり 集合 しゅうごう
如果 R 是 ぜ X 系 けい 数 すう 位 い R 中 なか 的 てき 所有 しょゆう 多 た 形成 けいせい 一 いち 多 た R [X ]。对多个变量 りょう 同 どう 成立 せいりつ
如果 V 是 ぜ 某 ぼう 拓 つぶせ 例 れい R n 的 てき 子 こ 集 しゅう V 上 うえ 或 ある 连续函数 かんすう 形成 けいせい 一 いち 同 どう 可 か 微 ほろ 函数 かんすう 或 ある 全 ぜん 数 すう 只 ただ 要 よう 有定 ありさだ 比 ひ V 是 ぜ 一 いち 复流形 がた 。
下 しも 文中 ぶんちゅう R 表示 ひょうじ 一 いち
和 かず 域 いき 中 ちゅう 每 まい 零 れい 元素 げんそ 是 ぜ 乘法 じょうほう 可逆 かぎゃく 不同 ふどう 理 り 有 ゆう 多 た 概念 がいねん 情 じょう 形 がた 首 くび 先 さき R 的 てき 单位 。另一种特别的元素类型是零 れい 因子 いんし 即 そく 非 ひ 零 れい 元素 げんそ a 使 つかい 得 とく 存在 そんざい 一 いち 零 れい 元素 げんそ b 使 つかい 得 とく ab =0。如果 R 没 ぼつ 有 ゆう 零 れい 因子 いんし 称 しょう 整 せい 因 いん 方面 ほうめん 像 ぞう 整数 せいすう
下 しも 列 れつ 概念 がいねん 存在 そんざい 但 ただし 定 てい 性 せい 一般 いっぱん 更 さら 加 か 例 れい 所有 しょゆう 理想 りそう 自 じ 双 そう 的 てき 相当 そうとう 了 りょう 情 じょう 形 がた
交换环的内部 ないぶ 通 どおり 的 てき 理想 りそう 来 らい 即 そく 在 ざい 与 あずか 任 にん 何 なん 元素 げんそ 相乘 そうじょう 加法 かほう 下 か 封 ふう 非 ひ 空 そら 子 こ 集 しゅう I ：对所有 しょゆう r 属 ぞく R ，i 与 あずか j 属 ぞく I ，ri 与 あずか i +j 都 と 要求 ようきゅう 属 ぞく I 。给定 R 的 てき 任 にん 何 なん 子 し 集 しゅう F = {f j j ∈ J J 是 ぜ 某 ぼう 由 ゆかり F 生成 せいせい 的 てき 理想 りそう 是 ぜ 最小 さいしょう 的 てき 包含 ほうがん F 的 てき 理想 りそう 等 とう 有限 ゆうげん 线性组合 给出
r 1 f 1 + r 2 f 2 + ... + r n f n 由 よし 主 しゅ 理想 りそう 若 わか 所有 しょゆう 理想 りそう 都 と 是 ぜ 主 ぬし 理想 りそう 称 しょう 主 しゅ 理想 りそう 重要 じゅうよう 的 てき 情 じょう 形 がた 是 ぜ Z 与一 よいち k 上 うえ 的 てき 多 た k [X ]。任 にん 何 なん 理想 りそう 零 れい 理想 りそう 与 あずか 整 せい R 。不 ふ 包含 ほうがん 何 なん 真 ま 理想 りそう 即 そく R ）的 てき 理想 りそう 称 しょう 极大 的 てき 一 いち 理想 りそう m 是 ぜ 的 てき 当 とう 当 とう R / m 是 ぜ 一 いち 任 にん 何 なん 少 しょう 有 ゆう 一 いち 大 だい 理想 りそう 由 よし 与 あずか 选择公理 こうり 等 とう 佐 さ 恩 おん 得 とく 出 で
理想 りそう 的 てき 定 てい 得 どく 除 じょ I 中 なか 的 てき 元素 げんそ 商 しょう R / I ：它是 I 的 てき 陪集 ，两个运算为
(a + I ) + (b + I ) = (a + b ) + I and (a + I )(b + I) = ab + I。 例 れい Z /n Z （也记作 さく Z n n 是 ぜ 一 いち 数 すう 是 ぜ 整数 せいすう 模 も n 环。它是模 かたぎ 算 さん 的 てき 基 もと
一个环的局部化是商环的对立面，在 ざい 商 しょう R /I 中 ちゅう 某 ぼう 元素 げんそ I 中 なか 的 てき 元素 げんそ 零 れい 局部 きょくぶ 化 か 中 ちゅう 某 ぼう 元素 げんそ 可逆 かぎゃく 的 てき 即 そく 乘法 じょうほう 逆 ぎゃく 具体 ぐたい 的 てき S 是 これ R 的 てき 一 いち 乘法 じょうほう 集 しゅう 即 そく 只 ただ 要 よう s 与 あずか t ∈ S 则 st ∈ S ）在 ざい R 在 ざい S 处的局部 きょくぶ 化 か 或 ある 分母 ぶんぼ 在 ざい S 中 なか 的 てき 分 ぶん 式 しき 通常 つうじょう S −1 R 由 よし 符号 ふごう
r
s
{\displaystyle {\frac {r}{s}}}
r ∈ R , s ∈ S 组成，满足与 あずか 有理数 ゆうりすう 的 てき 的 てき 法 ほう 事 こと 在 ざい 中 ちゅう Q 是 これ Z 在 ざい 所有 しょゆう 非 ひ 零 れい 整数 せいすう 的 てき 局部 きょくぶ 化 か 造 づくり 所有 しょゆう 整 せい R 也成立 せいりつ S 由 よし 一 いち 固定 こてい 元素 げんそ f 的 てき 所有 しょゆう 成 なり 局部 きょくぶ 化 か 写 うつし 成 なり R f
一类特别重要的理想叫做素理想，通常 つうじょう p 。此概念 がいねん 源 げん 世 せい 数学 すうがく 家 か 不 ふ 像 ぞう Z ，在 ざい 没 ぼつ 有 ゆう 素数 そすう 惟 おもんみ 一 いち 分解 ぶんかい 有 ゆう 惟 おもんみ 一 いち 分解 ぶんかい 整 せい 由 ゆかり 定 てい 素 す 理想 りそう 是 ぜ a 与 あずか b 的 てき 乘 じょう ab 属 ぞく p ，则 a 与 あずか b 中 ちゅう 至 いたり 少 しょう 有 ゆう p 。（相反 あいはん 的 てき 由 ゆかり 定 てい 任 にん 何 なん 理想 りそう 成立 せいりつ 等 とう 商 しょう R / p 是 ぜ 一 いち 补集 R \ p 是 ぜ 乘法 じょうほう 封 ふう 局部 きょくぶ 化 か R \ p )−1 R 足 あし 重要 じゅうよう 到 いた 的 てき R p 有 ゆう 一 いち 大 だい 理想 りそう 即 そく pR p 的 てき 局部 きょくぶ
由 ゆかり 上 うえ 所 ところ 述 じゅつ 任 にん 何 なん 理想 りそう 都 と 是 ぜ 素 もと 理想 りそう 或 ある 等 とう
Z 的 てき 素 す 理想 りそう 是 ぜ 地 ち 理解 りかい 通 つう 的 てき Spec R ：它是 R 的 てき 所有 しょゆう 素 もと 理想 りそう 集合 しゅうごう [nb 1] 上 うえ 已 やめ 提 ひっさげ 到 いた 至 いたり 少 しょう 有 ゆう 一 いち 理想 りそう 空 そら R 是 ぜ 一 いち 惟 おもんみ 一 いち 的 てき 素 もと 理想 りそう 是 ぜ 零 れい 理想 りそう 有 ゆう 一 いち 但 ただし Z 的 てき 包含 ほうがん 零 れい 理想 りそう 的 てき 一 いち 任 にん 何 なん 素数 そすう p （生成 せいせい 素 もと 理想 りそう p Z ）的 てき 一 いち 扎里斯基拓 つぶせ ，这由将子 まさこ 集 しゅう D (f ) = {p ∈ Spec R , f ∉ p } 设定为开集 しゅう f 是 ぜ 任 にん 何 なん 元素 げんそ 分析 ぶんせき 或 ある 微分 びぶん 中 ちゅう 遇 ぐう 到 いた 的 てき 可能 かのう 不同 ふどう 例 れい 譬 たとえ 对应于零理想 りそう 的 てき 点 てん 0 ⊂ Z 的 てき 闭包 ，是 ぜ 整 せい Z 的 てき
谱的概念 がいねん 是 ぜ 代数 だいすう 与 あずか 代数 だいすう 的 てき 公共 こうきょう 基 もと 石 せき 代数 だいすう 将 しょう Spec R 赋予一 いち 层
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
将 はた 不同 ふどう 的 てき 集 しゅう 上 じょう 局部 きょくぶ 定 てい 所有 しょゆう 函数 かんすう 收集 しゅうしゅう 起 おこり 来 らい 的 てき 数 すう 据 すえ 称 しょう 仿射概 がい 形 がた 。给定一个仿射概形，底 そこ R 可 か 作 さく
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
的 てき 整体 せいたい 重 じゅう 新得 しんとく 到 いた 已 やめ 建立 こんりゅう 起 おこり 来 らい 的 てき 放射 ほうしゃ 概 がい 形 がた 之 の 任 にん 何 なに f : R → S 得 とく 出 で 一 いち 方向 ほうこう 相反 あいはん 的 てき 连续映射 しゃ
Spec S → Spec R , q ↦ f −1 (q )，即 そく S 的 てき 任 にん 何 なん 素 もと 理想 りそう 映 うつ 到 いた 在 ざい f 下 した 的 てき 原 はら 像 ぞう R 的 てき 一 いち 理想 りそう 谱也使 し 局部 きょくぶ 化 か 和 わ 商 しょう 的 てき 直 ちょく 切 せつ 化 か 自然 しぜん 映 うつ 射 い R → R f 与 あずか R → R / fR 分 ぶん 将 はた 拓 つぶせ 的 てき 开 、闭嵌入 かんにゅう 。
总之所 しょ 等 とう 反 はん 代数 だいすう 性 せい 方式 ほうしき 表 ひょう 出来 でき 流 ながれ 形 がた 局部 きょくぶ 由 ゆかり R n 与 あずか 之 これ 概 がい 形 がた 的 てき 局部 きょくぶ 模型 もけい 是 ぜ 概 がい 形 がた 代数 だいすう 中 ちゅう 研究 けんきゅう 的 てき 同 どう 概念 がいねん 都 と 源 みなもと 何 なん 直 ちょく
与 あずか 通常 つうじょう 代数 だいすう 学 がく 中 ちゅう 一 いち 之 の f 无疑称 しょう 同 どう 在 ざい 情 じょう 形 がた 中 ちゅう 一 いち 射 しゃ f : R → S 使 つかい 得 とく
f (a + b ) = f (a ) + f (b ), f (ab ) = f (a )f (b ) 且 f (1) = 1。这些条件 じょうけん 保 ほ f (0) = 0，但 ただし 保持 ほじ 乘法 じょうほう 元素 げんそ 的 てき 要求 ようきゅう 不能 ふのう 条 じょう 性 せい 出 で 在 ざい 情 じょう 形 がた 下 か S 也成为一个 R -代数 だいすう 理解 りかい S 中 なか s 可 か R 中 なか r 乘 の 通 つう
r · s := f (r ) · s 。f 的 てき 核 かく 与 あずか 像 ぞう 定 てい f ) = {r ∈ R , f (r ) = 0} 与 あずか f ) = f (R ) = {f (r ), r ∈ R }。核 かく 与 あずか 像 ぞう 分 ぶん R 与 あずか S 的 てき 子 こ
交换代数 だいすう 的 てき 外部 がいぶ 由 よし 考 こう 上 じょう 的 てき 线性代数 だいすう 确定，即 そく 研究 けんきゅう 模 も 理 り 向 むかい 量 りょう 空 そら 除 じょ 了 りょう 底 そこ 不 ふ R 。R -模 かたぎ 的 てき 理 り 向 むこう 量 りょう 空 そら 代数 だいすう 要 よう 得 とく 多 た 模 かたぎ 理 り 理 り 自由 じゆう 模 も 的 てき 即 そく 向 こう 量 りょう 空 そら 之 の 可能 かのう 不 ふ 是 ぜ 良好 りょうこう 定 てい 的 てき 有限 ゆうげん 生成 せいせい 模 も 的 てき 子 こ 模 も 不 ふ 有限 ゆうげん 生成 せいせい 的 てき 除 じょ 非 ひ R 是 ぜ 见下 ）。
环 R 中 なか 的 てき 理想 りそう 可 か R -模 も R 的 てき 子 こ 模 も 方面 ほうめん 欲 よく 的 てき 理解 りかい R -模 かたぎ 知道 ともみち R 足 あし 息 いき 然 しか 代数 だいすう 中通 なかとおり R 的 てき 理想 りそう 研究 けんきゅう 技巧 ぎこう
一个环称为诺特环（为了纪念埃 ほこり 米 まい 展 てん 了 りょう 概念 がいねん 理想 りそう 的 てき 升 ます
0 ⊆ I 0 ⊆ I 1 ... ⊆ I n I n + 1 成 なり 定 じょう 的 てき 即 そく 某 ぼう n 后 きさき 常 つね 等 とう 任 にん 何 なん 理想 りそう 由 よし 有限 ゆうげん 多 た 元素 げんそ 生成 せいせい 或 ある 同 どう 有限 ゆうげん 生成 せいせい 模 も 的 てき 子 こ 模 も 是 ぜ 有限 ゆうげん 生成 せいせい 的 てき 阿 おもね 埃 ほこり 米 まい 阿 おもね 命名 めいめい 任 にん 何 なん 理想 りそう 的 てき 降 くだ
R ⊇ I 0 ⊇ I 1 ... ⊇ I n I n + 1最 さい 成 なり 的 てき 尽 つき 管 かん 条件 じょうけん 的 てき 出 で 阿 おもね 更 さら 一般 いっぱん 例 れい Z 是 ぜ 的 てき 因 いん 何 なん 理想 りそう 可 か 由 よし 一 いち 元素 げんそ 生成 せいせい 但 ただし 不 ふ 是 ぜ 阿 おもね 比 ひ 降 くだ
Z ⊋ 2Z ⊋ 4Z ⊋ 8Z ⊋ ...。事 こと 每 まい 是 ぜ
诺特环是一个特别重要的有限性条件。此条件 じょうけん 在 ざい 中 ちゅう 出 で 下 か 保持 ほじ R 是 ぜ R [X 1 , X 2 , ..., X n 由 ゆかり 希 まれ 特 とく 基 もと 定理 ていり 任 にん 何 なん 局部 きょくぶ 化 か S −1 R 以及商 しょう R / I 都 みやこ 是 ただし
一 いち R 的 てき 克 かつ 或 ある R 是 ぜ 大小 だいしょう 的 てき 一 いち 概念 がいねん 非常 ひじょう 粗略 そりゃく 地 ち 数 すう R 中 ちゅう 元素 げんそ 准 じゅん 素 もと 理想 りそう n
0 ⊆ p 0 ⊆ p 1 ⊆ ... ⊆ p n 例 れい 因 いん 一 いち 的 てき 理想 りそう 是 ぜ 零 れい 理想 りそう 即 そく 理想 りそう 都 と 是 ぜ 理想 りそう 整数 せいすう 是 ぜ 任 にん 何 なん 素 もと 理想 りそう 具有 ぐゆう 形式 けいしき
0 = p 0 ⊆ p Z = p 1 ，这里 p 是 ぜ 一 いち 素数 そすう 因 いん Z 中 ちゅう 任 にん 何 なん 理想 りそう 都 と 是 ぜ 主 ぬし 理想 りそう
如果考 こう 表 ひょう 良好 りょうこう 期待 きたい 的 てき 不等式 ふとうしき 在 ざい 情 じょう 形 がた 下 か 成立 せいりつ
dim R [X ] = dim R + 1， （一般 いっぱん 地 ち 只 ただ 有 ゆう R + 1 ≤ dim R [X ] ≤ 2 · dim R + 1）。另外，维数只 ただ 取 と 一 いち 大 だい R 的 てき 是 ぜ 所有 しょゆう 局部 きょくぶ 化 か R p 的 てき 的 てき 上 うえ p 是 ぜ 任意 にんい 一 いち 理想 りそう 直 ちょく R 的 てき 是 ぜ R 谱的一个局部性质。所以 ゆえん 只 ただ 部 ぶ 尽 つき 管 かん 所有 しょゆう 局部 きょくぶ 化 か 是 ぜ 有限 ゆうげん
确定
k [X 1 , X 2 , ..., X n f 1 , f 2 , ..., f m k 是 ぜ 一 いち f i 是 ぜ 某 ぼう n 变量多 た 的 てき 一般 いっぱん 不 ふ 容易 ようい 特 とく R ，R /I 的 てき 由 ゆかり 克 かつ 主 ぬし 理想 りそう 定理 ていり 至 いたり 少 しょう 是 ぜ R − n ，如果 I 由 ゆかり n 个元素 げんそ 生成 せいせい 不能 ふのう 再 さい 小 しょう 即 そく R / I = dim R − n ，则 R / I 称 しょう 完全 かんぜん 交叉 こうさ
一 いち 部 ぶ R ，即 そく 只 ただ 有 ゆう 一 いち 大 だい 理想 りそう m ，称 しょう 正 せい 的 てき R 的 てき 克 かつ 等 とう 数 すう 余 あまり 切 きり 空 そら m / m 2 （作 さく R / m 上 うえ 的 てき 向 むこう 量 りょう 空 そら 的 てき
有 ゆう 更 さら 化 か 的 てき
科 か 恩 おん 麦 むぎ 考 こう 利 り 葛 かずら 坦 ひろし 正 せい 正 せい 部 ぶ 有 ゆう 多 た 法 ほう 定 じょう 的 てき 造 づくり 出新 いでしん 的 てき 的 てき 目的 もくてき 通常 つうじょう 是 ぜ 改善 かいぜん 某 ぼう 易 えき 理解 りかい 例 れい 分 ぶん 式 しき 域 いき 中 なか 整 せい 称 しょう 正 せい 比 ひ 何 なん 正 せい 是正 ぜせい 将 しょう 正 せい
如果 I 是 ぜ R 中 ちゅう 一 いち 想 おもえ I 的 てき 成 なり 的 てき 一 いち 拓 つぶせ 域 いき R 可 か 一 いち 拓 つぶせ 拓 つぶせ I -进拓扑R 关于这个拓 つぶせ 形式 けいしき 上 じょう I -进拓扑完备化是 ぜ R /In 的 てき 反 はん 向 こう 例 れい k 是 ぜ 一 いち k [[X ]]，k 上 うえ 一 いち 量 りょう 形式 けいしき 数 すう 是 ぜ k [X ] 的 てき I -进完备化，其中 I 是 ぜ 由 ゆかり X 生成 せいせい 的 てき 主 しゅ 理想 りそう 地 ち p -进整数 すう Z 的 てき I -进完备化，其中 I 是 ぜ 由 ゆかり p 生成 せいせい 的 てき 主 しゅ 理想 りそう 任 にん 何 なん 同 どう 完 かん 的 てき 完 かん
由 ゆかり 韦德伯 はく 恩 おん 定理 ていり ，任 にん 何 なん 有限 ゆうげん 除 じょ 是 ぜ 的 てき 是 ぜ 一 いち 有限 ゆうげん 域 いき 属 ぞく 雅 まさ 各 かく 布 ぬの 森 もり 何 なに R 中元 ちゅうげん 素 もと r ，存在 そんざい 一 いち 数 すう n > 1使 つかい 得 とく r n r [1] r 有 ゆう r 2 = r ，环称为布 ぬの 性的 せいてき 更 さら [2]
^ 此概念 がいねん 可 か 谱 联系起 おこり 来 らい 参 まいり C*-代数 だいすう 的 てき 与 あずか 盖尔范德表示 ひょうじ
^ Jacobson 1945 ^ Pinter-Lucke 2007
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