同どう态

抽象ちゅうしょう代数だいすう中なか，同どう态是ぜ两个代数だいすう结构（例れい如群ぐん、环、或ある者もの向むかい量りょう空そら间）之の间的保持ほじ结构不ふ变的映うつ射い。英文えいぶん的てき同どう态(homomorphism)来らい自じ希まれ腊语:ὁμός (homos)表示ひょうじ"相しょう同どう"而μορφή (morphe)表示ひょうじ"形がた态"。注意ちゅうい相似そうじ的てき词根ὅμοιος (homoios)表示ひょうじ"相似そうじ"出で现在另一个数学がく概念がいねん同どう胚はい的てき英文えいぶん(homeomorphism)中ちゅう。

非ひ正式せいしき表ひょう述じゅつ

因いん为抽象ちゅうしょう代数だいすう研究けんきゅう带有能ゆうのう产生有意ゆうい义的集合しゅうごう上じょう的てき结构或ある者もの属性ぞくせい的てき运算的てき集合しゅうごう，最さい有意ゆうい义的函数かんすう就是能これよし够保持ほじ这些运算不ふ变的那な些。它们被ひ称しょう为同どう态。

例れい如，考こう虑带加法かほう运算的てき自然しぜん数すう。保持ほじ加法かほう不ふ变的函数かんすう有ゆう如下性せい质：f(a + b) = f(a) + f(b).例れい如f(x) = 3x就是这样的てき一いち个同态，因いん为f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b)。注意ちゅうい这个同どう态从自然しぜん数すう映うつ射い回まわ自然しぜん数すう。

同どう态不必从集合しゅうごう映うつ射い到いた带相同どう运算的てき集合しゅうごう。例れい如，存在そんざい保持ほじ运算的てき从带加法かほう的てき实数集しゅう到いた带乘法的ほうてき正せい实数集しゅう。保持ほじ运算的てき函数かんすう满足：f(a + b) = f(a) * f(b)，因いん为加法ほう是ぜ第だい一个集合的运算而乘法是第二个集合的运算。指数しすう定律ていりつ表明ひょうめいf(x) = e^x满足如下条件じょうけん : 2 + 3 = 5变为e² * e³ = e⁵.

同どう态的一个特别重要的属性是如果幺元存在そんざい，它将被ひ保持ほじ，也即，被ひ映うつ射い为另一个集合中的幺元。注意ちゅうい第だい一いち个例子中こなかf(0) = 0,而零是ぜ加法かほう幺元。第だい二に个例子中こなか，f(0) = 1，因いん为0是ぜ加法かほう幺元，而1是ぜ乘法じょうほう幺元。

若わか考こう虑集合しゅうごう上じょう的てき多た个运算さん，则保持ほじ所有しょゆう运算的てき函数かんすう可か以视为同态。虽然集合しゅうごう相しょう同どう，相そう同どう的てき函数かんすう可か以是群ぐん论（只ただ考こう虑带一いち个运算さん的てき集合しゅうごう）中ちゅう的てき同どう态，而非环论（带两个相关运算さん的てき集合しゅうごう）中ちゅう的てき同どう态，因いん为它可能かのう不ふ保持ほじ环论中ちゅう需要じゅよう的てき另外那な个运算さん。

形式けいしき化か定てい义

同どう态是ぜ从一个代数だいすう结构到いた同どう类代数だいすう结构的てき映うつ射い，它保持ほじ所有しょゆう相しょう关的结构不ふ变；也即，所有しょゆう诸如幺元、逆ぎゃく元もと、和わ二元にげん运算之これ类的属性ぞくせい不ふ变。

注意ちゅうい：有ゆう些作者しゃ在ざい更さら广的意い义下使用しよう同どう态一いち词，而不仅是在ざい代数だいすう中ちゅう。有ゆう些人将はた它作为任何なん保持ほじ结构的てき映うつ射的しゃてき名称めいしょう（例れい如拓つぶせ扑学上うえ的てき连续函数かんすう），或ある者もの抽象ちゅうしょう的てき一般いっぱん称しょう为范畴论中なか的てき态射的てき映うつ射しゃ。本条ほんじょう目め只ただ考こう虑代数学すうがく上じょう的てき同どう态。更さら广义的てき用法ようほう请参看さんかん态射条目じょうもく。

例れい如，考こう虑两个有单一二元にげん运算的てき集合しゅうごう $X$ 和わ $Y$ (称しょう为原はら群ぐん的てき代数だいすう结构），同どう态就是ぜ映うつ射い $\phi :X\rightarrow Y$ 使つかい得とく

\phi (u\cdot v)=\phi (u)\circ \phi (v)

其中 $\cdot$ 是これ $X$ 上うえ的てき运算而 $\circ$ 是これ $Y$ 上うえ的てき运算。

每まい类代数すう结构有ゆう它的同どう态。特定とくてい的てき定てい义参看さんかん：

同どう态的概念がいねん在ざい研究けんきゅう所有しょゆう代数だいすう结构共有きょうゆう的てき思想しそう的てき泛代数すう中ちゅう可か以给一个形式化的定义。这个情じょう况下，同どう态 $\phi :A\rightarrow B$ 是ぜ两个同どう类代数すう结构之の间的映うつ射い，使つかい得とく

\phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))\,

对于所有しょゆうn元もと运算 $f$ 和わ所有しょゆう $A$ 中なか的てき $x_{i}$ 成立せいりつ。

同どう态的类型

同どう构（isomorphism）：就是双そう射い的てき同どう态。两个对象称しょう为同构的，如果存在そんざい相互そうご间的同どう构映射しゃ。同どう构的对象就其上じょう的てき结构而言是ぜ无法区分くぶん的てき。
满同态（epimorphism）：就是满射的てき同どう态。
单同态（monomorphism）：（有ゆう时也称しょう扩张）是これ单射的てき同どう态。
双そう同どう态（bimorphism）：若わかf既すんで是ぜ满同态也是ぜ单同态，则称f为双そう同どう态。
自じ同どう态（endomorphism）：任にん何なん同どう态f : X → X称しょう为X上うえ的てき一いち个自じ同どう态。
自じ同どう构（automorphism）：若わか一个自同态也是同构的，那な么称之の为自じ同どう构。

上面うわつら的てき术语也适用よう于范畴论。但ただし是これ范畴论中なか的てき定てい义更微妙びみょう一いち些：细节参看さんかん态射条目じょうもく。

注意ちゅうい在ざい保ほ结构映射的しゃてき意い义下，定てい义同构为双そう同どう态是不ふ够的。必须要求ようきゅう逆ぎゃく也是同どう类的态射。在ざい代数だいすう意い义上（至いたり少しょう在ざい泛代数すう的てき意い义下）这个额外的てき条件じょうけん是ぜ自じ动满足あし的てき。

各かく类同态之间的关系。
H = 同どう态的集合しゅうごう， M = 单同态的集合しゅうごう，
P = 满同态的集合しゅうごう， S = 同どう构的集合しゅうごう，
N = 自じ同どう态的集合しゅうごう， A = 自じ同どう构的集合しゅうごう.
注意ちゅうい: M ∩ P = S, S ∩ N = A,
(M ∩ N) \ A 并且 (P ∩ N) \ A 只ただ包含ほうがん无限代数だいすう结构到自身じしん的てき同どう态.

同どう态的核かく

任意にんい同どう态 f : X → Y 都みやこ定じょう义了一いち个 X 上うえ的てき等とう价关系けい ~ 。 X 中元ちゅうげん素もと a ~ b 当とう且仅当とう f(a) = f(b)。等とう价关系けい被ひ称しょう为 f 的てき核かく。这个关系也是 X 上うえ的てき一いち个同余あまり关系，因いん此在其商しょう集しゅう X/~ 上うえ也可以自然しぜん地ち定てい义一个结构：[x] * [y] = [x * y]。这时，X 通つう过同态 f 在ざい Y 中なか的てき像ぞう必然ひつぜん同どう构于 X/~。这就是ぜ所しょ谓的同どう构基本きほん定理ていり之これ一いち。注意ちゅうい到いた在ざい有ゆう些情况下（比ひ如说在ざい群ぐん结构或ある环结构时），仅仅一いち个等とう价类 K 就可以决定てい商しょう集しゅう的てき结构，因いん此这时我们可以将它记作さく X/K（一般いっぱん读作 X 模も K ）。在ざい这种情じょう况下，一般いっぱん将しょう K，而不是ぜ ~，称しょう作さく f 的てき核かく（参まいり见正せい规子群ぐん和わ理想りそう）。

关系结构的てき同どう态

模型もけい论中なか，代数だいすう的てき结构推广到いた同どう时涉及运算さん和わ关系的てき结构上じょう。令れいL为由函数かんすう和わ关系符号ふごう组成的てき标识，而A,B为两个L-结构。则从A到いたB的てき同どう态是ぜ映うつ射いh：从A的てき域いき到いたB的てき域いき，使つかい得とく

h(F^A(a₁,…,a_n)) = F^B(h(a₁),…,h(a_n))对于每ごと个L中なか的てきn元もと函数かんすう符号ふごうF成立せいりつ，
R^A(a₁,…,a_n)推出R^B(h(a₁),…,h(a_n))对于每ごと个L中なか的てきn元もと关系符号ふごうR成立せいりつ。

在ざい只ただ有ゆう一个二元关系的特殊情况，这就是ぜ图同态的てき概念がいねん。

同どう态和形式けいしき语言理り论中的てき无幺元もと同どう态

同どう态也被ひ用よう于形式けいしき语言的てき研究けんきゅう中ちゅう。^[1]给定字母じぼ表ひょう $\Sigma _{1}$ 和わ $\Sigma _{2}$ ，函数かんすうh : $\Sigma _{1}^{*}$ → $\Sigma _{2}^{*}$ 使つかい得とく $h(uv)=h(u)h(v)$ 对于所有しょゆう $\Sigma _{1}^{*}$ 中なか的てきu和わv成立せいりつ，则称为 $\Sigma _{1}^{*}$ 上うえ的てき同どう态.^[2]令れいe表示ひょうじ空そら词。若わかh为 $\Sigma _{1}^{*}$ 上うえ同どう态， $h(x)\neq e$ 对于 $\Sigma _{1}^{*}$ 上うえ所有しょゆう $x\neq e$ 成立せいりつ，则h成なり为无幺元同どう态（e-free homomorphism）。

参看さんかん

参考さんこう

^ Seymour Ginsburg, Algebraic and automata theoretic properties of formal languages, North-Holland, 1975, ISBN 0-7204-2506-9.
^ 在ざい形式けいしき化か语言的てき同どう态中，*运算是ぜKleene星ほし号ごう。 $\cdot$ 和わ $\circ$ 都みやこ是ただし拼接，通常つうじょう用よう连写表示ひょうじ。

免めん费在线专著ちょ：

Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra.（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

外部がいぶ連結れんけつ

[1] Seymour Ginsburg, Algebraic and automata theoretic properties of formal languages, North-Holland, 1975, ISBN 0-7204-2506-9.

[2] 在ざい形式けいしき化か语言的てき同どう态中，*运算是ぜKleene星ほし号ごう。 $\cdot$ 和わ $\circ$ 都みやこ是ただし拼接，通常つうじょう用よう连写表示ひょうじ。

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