核かく (代数だいすう)

在ざい归入线性代数だいすう的てき各かく种数学すうがく分ぶん支ささえ中ちゅう，同どう态的てき核かく测量同どう态不及于单射的まと程度ていど。

核かく的てき定てい义在不同ふどう上下じょうげ文中ぶんちゅう采さい用よう不同ふどう的てき形式けいしき。但ただし是ぜ在ざい所有しょゆう形式けいしき中ちゅう，同どう态的核かく是ぜ平凡へいぼん的てき（在ざい与那よな个上下じょうげ文ぶん有ゆう关的意い义上），当とう且仅当とう这个同どう态是单射。同どう态基本きほん定理ていり（或ある第だい一同いちどう构定理ていり）是ぜ应用于核所定しょてい义的商しょう代数だいすう的てき采さい用よう了りょう各かく种形式しき的てき一いち个定理ていり。

例れい子こ纵览

线性算さん子こ

设 V 和わ W 是これ向むかい量りょう空そら间并设 T 是ぜ从 V 到いた W 的てき线性变换。如果0_W 是これ W 的てき零れい向こう量りょう，则 T 的てき核かく是ぜ单元素げんそ集合しゅうごう {0_W} 的てき前まえ像ぞう；就是说 V 的てき由よし被ひ T 映うつ射い到いた元素げんそ 0_W 的てき那な些 V 的てき元素げんそ构成的てき子こ集しゅう。核かく通常つうじょう指示しじ为“ker T”，或ある者もの：

$\mathop {\mathrm {ker} } \,T:=\{\mathbf {v} \in V:T\mathbf {v} =\mathbf {0} _{W}\}{\mbox{.}}\!$

因いん为线性せい变换保持ほじ零れい向こう量りょう，V 的てき零れい向こう量りょう0_V 必须属ぞく于核。变换 T 是ぜ单射的てき，当とう且仅当とう它的核かく只ただ是ぜ单元素げんそ集合しゅうごう {0_V}。

ker T 显然总是 V 的てき子こ空そら间。因よし此，它使谈论商しょう空そら间 V/(ker T) 有意ゆうい义。对向量りょう空そら间的第だい一同构定理声称这个商空间自然しぜん同どう构于 T 的てき像ぞう（它是 W 的てき子こ空そら间）。作さく为结论，V 的てき维度等とう于核的てき维度加か上うえ像ぞう的てき维度。

如果 V 和わ W 是ぜ有限ゆうげん维的向むこう量りょう空そら间，并且基もと已やめ经选择好了りょう，则 T 可か以用矩のり阵 M 描述，而这个核可か以通过解齐次线性方かた程ほど组 Mv = 0 来らい计算。在ざい这种表示ひょうじ中ちゅう，核かく对应于 M 的てき零れい空そら间。零れい空そら间的维度叫さけべ做 M 的てき零れい化か度ど（nullity）由ゆかり M 的てき纵列数すう减去 M 的てき秩得え到いた，这是秩-零れい化か度ど定理ていり的てき结论。

解かい齐次微分びぶん方かた程ほど经常涉わたる及计算さん特定とくてい微分びぶん算さん子こ的てき核かく。例れい如，为了找到从实数轴到いた自身じしん的てき所有しょゆう二に次じ可か微ほろ函数かんすう f 使つかい得とく

x'f''(x) + 3f(x) = f(x),

设 V 是ぜ二次可微函数的空间，设 W 是ぜ所有しょゆう函数かんすう的てき空そら间，定てい义从 V 到いた W 的てき线性算さん子こ T 为

(T''f)(x) = x'f''(x) + 3f(x) - f(x)

对于在ざい V 中なか的てき f 而 x 是ぜ任意にんい实数。这个微分びぶん方かた程ほど的てき所有しょゆう解かい都と在ざい ker T 中なか。

你可以用类似方式ほうしき定てい义在环之上じょう的てき模も之これ间的同どう态的てき核かく。这包括ほうかつ了りょう在ざい阿おもね贝尔群ぐん之これ间的同どう态的核かく作さく为特殊とくしゅ情じょう况。这个例れい子こ捕捉ほそく了りょう在ざい一般いっぱん阿おもね贝尔范畴内的ないてき核かく的てき本ほん质；参さん见核かく (范畴论)。

群ぐん同どう态

设 G 和わ H 是これ群ぐん并设 f 是ぜ从 G 到いた H 的てき群ぐん同どう态。如果 e_H 是これ H 的てき单位元もと，则 f 的てき核かく是ぜ单元素げんそ集合しゅうごう {e_H} 的てき前まえ像ぞう；就是说，G 的てき由よし被ひ f 映うつ射い到いた元素げんそ e_H 的てき所有しょゆう G 的てき元素げんそ构成的てき子こ集しゅう。核かく通常つうじょう指示しじ为“ker f”。或ある者もの：

$\mathop {\mathrm {ker} } f:=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}{\mbox{.}}\!$

因いん为群同どう态保持ほじ单位元素げんそ，G 的てき单位元素げんそ e_G 必须属ぞく于这个核。同どう态 f 是ぜ单射，当とう且仅当とう它的核かく只ただ是ぜ单元素げんそ集合しゅうごう{e_G}。

ker f 明あかり显不只ただ是これ G 的てき子こ群ぐん，实际上じょう还是正せい规子群ぐん。因よし此它使し谈论商しょう群ぐん G/(ker f) 有意ゆうい义。群ぐん的てき第だい一同构定理声称这个商群自然しぜん同どう构于 f 的てき像ぞう（它是 H 的てき子こ群ぐん）。

在ざい阿おもね贝尔群ぐん的てき特殊とくしゅ情じょう况下，这以同どう前面ぜんめん章あきら节的完全かんぜん同どう样的方式ほうしき工作こうさく。