核かく (代數だいすう)

在ざい歸き入いれ線せん性せい代數だいすう的てき各種かくしゅ數學すうがく分ぶん支ささえ中ちゅう，同どう態たい的てき核かく測量そくりょう同どう態たい不ふ及於單たん射い的まと程度ていど。

核かく的てき定義ていぎ在ざい不同ふどう上下じょうげ文中ぶんちゅう採用さいよう不同ふどう的てき形式けいしき。但ただし是ぜ在ざい所有しょゆう形式けいしき中ちゅう，同どう態たい的てき核かく是ぜ平凡へいぼん的てき（在ざい與那よな個こ上下じょうげ文ぶん有ゆう關せき的てき意義いぎ上じょう），若わか且唯若わか這個同どう態たい是ぜ單たん射しゃ。同どう態たい基本きほん定理ていり（或ある第だい一同いちどう構定理ていり）是ぜ應用おうよう於核所しょ定義ていぎ的てき商しょう代數だいすう的てき採用さいよう了りょう各種かくしゅ形式けいしき的てき一いち個こ定理ていり。

例れい子こ縱覽じゅうらん

線せん性せい算さん子こ

設しつらえ V 和わ W 是これ向むかい量りょう空間くうかん並なみ設しつらえ T 是ぜ從したがえ V 到いた W 的てき線せん性せい變換へんかん。如果0_W 是これ W 的てき零れい向こう量りょう，則のり T 的てき核かく是ぜ單たん元素げんそ集合しゅうごう {0_W} 的てき前まえ像ぞう；就是說せつ V 的てき由よし被ひ T 映うつ射い到いた元素げんそ 0_W 的てき那な些 V 的てき元素げんそ構成こうせい的てき子こ集しゅう。核かく通常つうじょう指示しじ為ため「ker T」，或ある者もの：

$\mathop {\mathrm {ker} } \,T:=\{\mathbf {v} \in V:T\mathbf {v} =\mathbf {0} _{W}\}{\mbox{.}}\!$

因いん為ため線せん性せい變換へんかん保持ほじ零れい向こう量りょう，V 的てき零れい向こう量りょう0_V 必須ひっす屬ぞく於核。變換へんかん T 是ぜ單たん射的しゃてき，若わか且唯若わか它的核かく只ただ是ぜ單たん元素げんそ集合しゅうごう {0_V}。

ker T 顯然けんぜん總そう是ぜ V 的てき子こ空間くうかん。因よし此，它使談論だんろん商しょう空間くうかん V/(ker T) 有意義ゆういぎ。對向たいこう量りょう空間くうかん的てき第だい一同構定理聲稱這個商空間自然しぜん同どう構於 T 的てき像ぞう（它是 W 的てき子こ空間くうかん）。作為さくい結論けつろん，V 的てき維度等とう於核的てき維度加か上うえ像ぞう的てき維度。

如果 V 和わ W 是ぜ有限ゆうげん維的向むこう量りょう空間くうかん，並なみ且基もと已やめ經けい選擇せんたく好こう了りょう，則のり T 可か以用矩のり陣じん M 描述，而這個こ核かく可か以通過つうか解かい齊ひとし次つぎ線せん性せい方かた程ほど組ぐみ Mv = 0 來らい計算けいさん。在ざい這種表示ひょうじ中ちゅう，核かく對應たいおう於 M 的てき零れい空間くうかん。零れい空間くうかん的てき維度叫さけべ做 M 的てき零れい化か度ど（nullity）由ゆかり M 的てき縱列じゅうれつ數すう減げん去さ M 的てき秩得え到いた，這是秩-零れい化か度ど定理ていり的てき結論けつろん。

解かい齊ひとし次じ微分びぶん方かた程ほど經常けいじょう涉わたる及計算けいさん特定とくてい微分びぶん算さん子こ的てき核かく。例れい如，為ため了りょう找到從したがえ實數じっすう軸じく到いた自身じしん的てき所有しょゆう二に次じ可か微ほろ函數かんすう f 使つかい得とく

x'f''(x) + 3f(x) = f(x),

設しつらえ V 是ぜ二に次じ可か微ほろ函數かんすう的てき空間くうかん，設しつらえ W 是ぜ所有しょゆう函數かんすう的てき空間くうかん，定義ていぎ從したがえ V 到いた W 的まと線せん性せい算さん子こ T 為ため

(T''f)(x) = x'f''(x) + 3f(x) - f(x)

對たい於在 V 中なか的てき f 而 x 是ぜ任意にんい實數じっすう。這個微分びぶん方かた程ほど的てき所有しょゆう解かい都と在ざい ker T 中なか。

你可以用類似るいじ方式ほうしき定義ていぎ在ざい環たまき之の上うえ的てき模も之これ間あいだ的てき同どう態たい的てき核かく。這包括ほうかつ了りょう在ざい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん之これ間あいだ的てき同どう態たい的てき核かく作為さくい特殊とくしゅ情況じょうきょう。這個例れい子こ捕捉ほそく了りょう在ざい一般いっぱん阿おもね貝かい爾なんじ範疇はんちゅう內的核かく的てき本質ほんしつ；參さん見み核かく (範疇はんちゅう論ろん)。

群ぐん同どう態たい

設しつらえ G 和わ H 是これ群ぐん並なみ設しつらえ f 是ぜ從したがえ G 到いた H 的てき群ぐん同どう態たい。如果 e_H 是これ H 的てき單位たんい元もと，則のり f 的てき核かく是ぜ單たん元素げんそ集合しゅうごう {e_H} 的てき前まえ像ぞう；就是說せつ，G 的てき由よし被ひ f 映うつ射い到いた元素げんそ e_H 的てき所有しょゆう G 的てき元素げんそ構成こうせい的てき子こ集しゅう。核かく通常つうじょう指示しじ為ため「ker f」。或ある者もの：

$\mathop {\mathrm {ker} } f:=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}{\mbox{.}}\!$

因いん為ため群ぐん同どう態たい保持ほじ單位たんい元素げんそ，G 的てき單位たんい元素げんそ e_G 必須ひっす屬ぞく於這個こ核かく。同どう態たい f 是ぜ單たん射い，若わか且唯若わか它的核かく只ただ是ぜ單たん元素げんそ集合しゅうごう{e_G}。

ker f 明あかり顯あらわ不ふ只ただ是ぜ G 的てき子こ群ぐん，實際じっさい上じょう還かえ是これ正規せいき子こ群ぐん。因よし此它使し談論だんろん商しょう群ぐん G/(ker f) 有意義ゆういぎ。群ぐん的てき第だい一同構定理聲稱這個商群自然しぜん同どう構於 f 的てき像ぞう（它是 H 的てき子こ群ぐん）。

在ざい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき特殊とくしゅ情況じょうきょう下か，這以同どう前面ぜんめん章節しょうせつ的てき完全かんぜん同樣どうよう的てき方式ほうしき工作こうさく。