向むかい量りょう空そら间

向むかい量りょう空間くうかん是ぜ可か以縮放ひ和わ相しょう加か的てき（叫さけべ做向むかい量りょう的まと）對象たいしょう的てき集合しゅうごう

向むかい量りょう空間くうかん是ぜ一いち群ぐん可か縮ちぢみ放ひ和わ相あい加か的てき數學すうがく實體じったい（如實數じっすう甚至是ぜ函数かんすう）所しょ構成こうせい的てき特殊とくしゅ集合しゅうごう，其特殊とくしゅ之の處しょ在ざい於縮放ひ和わ相しょう加か後ご仍屬於這個こ集合しゅうごう。這些數學すうがく實體じったい被ひ稱しょう為ため向むかい量りょう，而向量りょう空間くうかん正せい是ぜ線せん性せい代數だいすう的てき主要しゅよう研究けんきゅう对象。

正式せいしき定義ていぎ

給きゅう定じょう域いき $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 和かず某ぼう集合しゅうごう $V$ ，它們具有ぐゆう了りょう以下いか兩りょう種たね运算（函数かんすう）：

• 向むかい量りょう加法かほう $\oplus :V\times V\to V$ （其中 $\oplus (u,\,v)$ 慣例かんれい上じょう簡記為ため $u\oplus v$ ）
• 标量乘法じょうほう $\cdot :K\times V\to V$ （其中 $\cdot \,(a,\,v)$ 慣例かんれい上じょう簡記為ため $a\cdot v$ 甚至是ぜ $av$ ）

且這兩りょう種たね運算うんざん滿足まんぞく：（特別とくべつ注意ちゅうい $+$ 和わ $\times$ 是これ域いき $K$ 是ぜ本身ほんみ具有ぐゆう的てき加法かほう和わ乘法じょうほう）

名稱めいしょう		前提ぜんてい條件じょうけん	內容
向むかい量りょう加法かほう	的てき单位元もと與あずか逆ぎゃく元素げんそ	存在そんざい $V$ 的てき元素げんそ $e\in V$ 對たい所有しょゆう $u\in V$	有ゆう $e\oplus u=u\oplus e=u$
			且存在そんざい $w\in V$ 使つかい得とく $w\oplus u=u\oplus w=e$
	的てき结合律りつ	對たい所有しょゆう $u,\,v,\,w\in V$	$u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w$
	的てき交换律りつ	對たい所有しょゆう $u,\,v\in V$	$u\oplus v=v\oplus u$
标量乘法じょうほう	的てき单位元もと	對たい所有しょゆう $u\in V$	若わか $1_{K}\in K$ 是これ $K$ 的てき乘法じょうほう单位元もと，則のり $1_{K}\cdot u=u$
	对向量りょう加法かほう的てき分配ぶんぱい律りつ	對たい所有しょゆう $u,\,v\in V$ 和わ所有しょゆう $a\in K$	$a\cdot (u\oplus v)=a\cdot u\oplus a\cdot v$
	对域加法かほう的てき分配ぶんぱい律りつ	對たい所有しょゆう $u\in V$ 和わ所有しょゆう $a,\,b\in K$	$(a+b)\cdot u=a\cdot u\oplus b\cdot u$
	与あずか域いき乘法じょうほう		$a\cdot (b\cdot u)=(a\times b)\cdot v$

這樣稱しょう 「 $V$ 為ため定義ていぎ在ざい域いき $K$ 上うえ的てき向むかい量りょう空間くうかん」，而 $V$ 裡うら的てき元素げんそ $u\in V$ 被ひ稱しょう為ため向むかい量りょう；域いき $K$ 裡うら的てき元素げんそ $a\in K$ 被ひ稱しょう為ため标量。這樣域いき $K$ 就是囊括所有しょゆう标量的てき集合しゅうごう，所以ゆえん為ため了解りょうかい說せつ方便ほうべん，有ゆう時じ會かい將はた $K$ 暱稱為ため标量域いき或ある是ぜ标量母はは空間くうかん。在ざい不ふ跟域的てき加法かほう混淆こんこう的てき情況じょうきょう下か，向むこう量りょう加法かほう $\oplus$ 也可以簡寫うつし成なり $+$ 。

前ぜん四よん個こ條件じょうけん規定きてい $\left(V,\,\oplus \right)$ 是これ交換こうかん群ぐん。上述じょうじゅつ的てき完かん整せい定義ていぎ也可以抽象ちゅうしょう地ち概がい述じゅつ成なり「 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 是これ個こ域いき，且 $V$ 是ぜ一いち個こ $K-$模も」。

基本きほん性せい质

以下いか定理ていり都と沿用正式せいしき定義ていぎ一節的符號與前提條件。

定理ていり （1） — 向むかい量りょう加法かほう的てき單位たんい元もと是ぜ唯一ゆいいつ的てき。

以上いじょう的てき定理ていり事實じじつ上じょう繼承けいしょう自じ群ぐん的てき單位たんい元もと唯ただ一いち性せい。這樣的てき話ばなし，可か以仿造づくり群ぐん的てき習慣しゅうかん以記號ごう $0_{V}$ 代表だいひょう「向むこう量りょう加法かほう $\oplus$ 的てき唯ただ一いち單位たんい元もと」，並稱へいしょう之の為ため $V$ 的てき零れい向こう量りょう。

在ざい不ふ跟标量りょう域いき的てき加法かほう單位たんい元もと $0_{K}\in K$ 混淆こんこう的てき情況じょうきょう下か，零れい向こう量りょう $0_{V}\in V$ 也可以簡寫うつし成なり $0$ 。

定理ていり （2） — 任意にんい向こう量的りょうてき向こう量りょう加法かほう逆ぎゃく元素げんそ是ぜ唯一ゆいいつ的てき。

以上いじょう的てき定理ていり事實じじつ上じょう繼承けいしょう自じ群ぐん的てき逆ぎゃく元もと唯ただ一いち性せい，這樣的てき話ばなし，可か以仿造づくり群ぐん的てき習慣しゅうかん以 $u^{-1}$ 代表だいひょう「向むこう量りょう $u$ 在ざい向むこう量りょう加法かほう $\oplus$ 下した的てき唯ただ一いち逆ぎゃく元素げんそ」，甚至可か以把 $v\oplus u^{-1}$ 簡記為ため $v\ominus u$ ，並なみ暱稱為ため向むかい量りょう減法げんぽう。在ざい不ふ跟标量的りょうてき加法かほう混淆こんこう的てき情況じょうきょう下か， $u^{-1}$ 也可記き為ため $-u$ ； $v\ominus u$ 也可記き為ため $v-u$ 。

定理ていり （3） — 對たい所有しょゆう的てき純量じゅんりょう $a\in K$ 都みやこ有ゆう $a\cdot 0_{V}=0_{V}$ 。（零れい向こう量的りょうてき伸縮しんしゅく還かえ是ぜ零れい向こう量りょう）

證明しょうめい

考慮こうりょ到いた标量乘法じょうほう对向量りょう加法かほう的てき分配ぶんぱい律りつ和わ零れい向こう量りょう的てき性質せいしつ會かい有ゆう

$a\cdot 0_{V}=a\cdot (0_{V}+0_{V})=a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V}$

那な取と向こう量りょう $u\in V$ 為ため $a\cdot 0_{V}$ 的まと向むこう量りょう加法かほう逆ぎゃく元素げんそ，配はい上向うわむき量りょう加法かほう的てき结合律りつ和わ单位元もと的てき定義ていぎ會かい有ゆう

${\begin{aligned}0_{V}&=u+a\cdot 0_{V}\\&=u+(a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V})\\&=(u+a\cdot 0_{V})+a\cdot 0_{V}\\&=0_{V}+a\cdot 0_{V}\\&=a\cdot 0_{V}\\\end{aligned}}$

故こ得とく証しょう。$\Box$

定理ていり （4） — 對たい所有しょゆう的てき向むこう量りょう $u\in V$ ，若わか純量じゅんりょう $0_{K}\in K$ 是ぜ域いき加法かほう的てき单位元もと，則のり $0_{K}\cdot u=0_{V}$ 。

證明しょうめい

考慮こうりょ到いた域いき $K$ 自身じしん的てき定義ていぎ，還かえ有ゆう标量乘法じょうほう对域加法かほう的てき分配ぶんぱい律りつ的まと話ばなし有ゆう

$0_{K}\cdot u=(0_{K}+0_{K})\cdot u=0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u$

那な取と向こう量りょう $w\in V$ 為ため $0_{K}\cdot u$ 的まと向むこう量りょう加法かほう逆ぎゃく元素げんそ，配はい上向うわむき量りょう加法かほう的てき结合律りつ和わ单位元もと的てき定義ていぎ會かい有ゆう

$0_{V}=w+0_{K}\cdot u=w+(0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u)=(w+0_{K}\cdot u)+0_{K}\cdot u=0_{V}+0_{K}\cdot u=0_{K}\cdot u$

故こ得とく証しょう。$\Box$

定理ていり （5） — 對たい所有しょゆう的てき向むこう量りょう $u\in V$ 和かず标量 $a\in K$ ，如果 $a\cdot u=0_{V}$ ，则 $u=0_{V}$ 或ある $a=0_{K}$ ( 其中 $0_{K}\in K$ 是ぜ域いき加法かほう的てき单位元もと)。

證明しょうめい

若わか $K=\{0_{K}\}$ ，根據こんきょ定理ていり(3)本ほん定理ていり顯然けんぜん成立せいりつ。下面かめん只ただ考慮こうりょ $K\neq \{0_{K}\}$ 的てき狀況じょうきょう。

假設かせつ存在そんざい向こう量りょう $u\in V$ 和かず标量 $a\in K$ 滿足まんぞく $u\neq 0_{V}$ 且 $a\neq 0_{K}$ ，但ただし $a\cdot u=0_{V}$ 。若わか以 $1_{K}\in K$ 表示ひょうじ域いき的てき乘法じょうほう單位たんい元もと，那な根據こんきょ其性質せいしつ與あずか和わ定義ていぎ關せき於标量りょう乘法じょうほう單位たんい元もと的てき部分ぶぶん會かい有ゆう

${\begin{aligned}u&=1_{K}\cdot u\\&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\end{aligned}}$

那な再さい根據こんきょ定義ていぎ關せき於标量りょう乘法じょうほう与あずか域いき乘法じょうほう的てき部分ぶぶん，還かえ有ゆう域いき乘法じょうほう的てき交換こうかん律りつ會かい有ゆう

${\begin{aligned}u&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\\&=({\frac {1}{a}}\times a)\cdot u\\&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\end{aligned}}$

那な再さい套用定理ていり(3)和かず前提ぜんてい假設かせつ會かい有ゆう

${\begin{aligned}u&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\\&={\frac {1}{a}}\cdot 0_{V}\\&=0_{V}\end{aligned}}$

這跟前提ぜんてい假設かせつ是ぜ矛盾むじゅん的てき，所以ゆえん根據こんきょ反證はんしょう法ほう和わ德とく摩ま根ね定理ていり，對たい所しょ有向ゆうこう量りょう $u\in V$ 和わ所有しょゆう标量 $a\in K$ ，只ただ有ゆう可能かのう「 $u=0_{V}$ 或ある $a=0_{K}$ 」或ある「$a\cdot u\neq 0_{V}$」，但ただし這段敘述正ただし好こう等價とうか於定理想りそう證明しょうめい的てき，故こ得とく証しょう。$\Box$

定理ていり （6） — 如果 $-a\in K$ 是これ $a\in K$ 的てき域いき加法かほう逆ぎゃく元素げんそ，那な對たい所有しょゆう的てき向むこう量りょう $u\in V$ ，$a\cdot u$ 的まと向むこう量りょう加法かほう逆ぎゃく元素げんそ必為 $-a\cdot u$ 。

證明しょうめい

以下いか設しつらえ純量じゅんりょう $0_{K}\in K$ 是ぜ域いき加法かほう的てき单位元もと。

考慮こうりょ到いた域いき $K$ 自身じしん的てき定義ていぎ，還かえ有ゆう标量乘法じょうほう对域加法かほう的てき分配ぶんぱい律りつ會かい有ゆう

$0_{K}\cdot u=(-a+a)\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u$

$0_{K}\cdot u=[a+(-a)]\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u$

然しか後こう考慮こうりょ到いた前面ぜんめん的てき定理ていり(4)，就有

$0_{V}=0_{K}\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u$

$0_{V}=0_{K}\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u$

然しか後こう考慮こうりょ到いた定理ていり(2)保證ほしょう的てき逆ぎゃく元素げんそ唯一ゆいいつ性せい，就可以知道どう向むこう量りょう $a\cdot u$ 的てき加法かほう逆ぎゃく元素げんそ必為 $-a\cdot u$ 。$\Box$

系けい理り — 如果 ${-1}_{K}\in K$ 是ぜ域いき加法かほう單位たんい元もと $1_{K}\in K$ 的てき域いき加法かほう逆ぎゃく元素げんそ，那な對たい所有しょゆう的てき向むこう量りょう $u\in V$ ，其向量りょう加法かほう逆ぎゃく元素げんそ必為 ${-1}_{K}\cdot u$ 。

額がく外がい結構けっこう

研究けんきゅう向こう量りょう空間くうかん很自然しぜん涉わたる及一些額外がい結構けっこう。額がく外がい結構けっこう如下：

• 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範はん數すう）則のり成なり為ため賦ふ範はん向むこう量りょう空間くうかん。
• 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間くうかん。
• 一個向量空間加上拓ひらけ撲なぐ結構けっこう并滿足まんぞく連續れんぞく性せい要求ようきゅう（加法かほう及標量りょう乘法じょうほう是ぜ連れん續映ぞくえい射しゃ）則のり成なり為ため拓ひらけ撲なぐ向こう量りょう空間くうかん。
• 一個向量空間加上雙そう線せん性せい算さん子こ（定義ていぎ為ため向むこう量りょう乘法じょうほう）則のり成なり為ため域いき代數だいすう。

例れい子こ

對たい一いち般域F，V记為F-向むかい量りょう空間くうかん。若わかF是これ實數じっすう域いきℝ，则V稱たたえ為ため實數じっすう向むこう量りょう空間くうかん；若わかF是これ複數ふくすう域いきℂ，则V稱たたえ為ため複數ふくすう向むこう量りょう空間くうかん；若わかF是これ有限ゆうげん域いき，则V稱たたえ為ため有限ゆうげん域いき向むこう量りょう空間くうかん。

最さい简单的てきF-向むこう量りょう空間くうかん是ぜF自身じしん。只ただ要よう定てい义向量りょう加法かほう为域中元ちゅうげん素的すてき加法かほう，标量乘法じょうほう为域中元ちゅうげん素的すてき乘法じょうほう就可以了。例れい如当F是ぜ实数域いきℝ时，可か以验证对任意にんい实数a、b以及任意にんい实数u、v、w，都みやこ有ゆう：

1. u + (v + w) = (u + v) + w，
2. v + w = w + v，
3. 零れい元素げんそ存在そんざい：零れい元素げんそ0满足：对任何なん的てき向むこう量りょう元素げんそv，v + 0 = v，
4. 逆ぎゃく元素げんそ存在そんざい：对任何なん的てき向むこう量りょう元素げんそv，它的相反あいはん数すうw = −v就满足あしv + w = 0。
5. 标量乘法じょうほう对向量りょう加法かほう满足分配ぶんぱい律りつ：a(v + w) = a v + a w.
6. 向むかい量りょう乘法じょうほう对标量りょう加法かほう满足分配ぶんぱい律りつ：(a + b)v = a v + b v.
7. 标量乘法じょうほう与あずか标量的てき域いき乘法じょうほう相しょう容よう：a(bv) =(ab)v。
8. 标量乘法じょうほう有ゆう單位たんい元もと：ℝ中なか的てき乘法じょうほう单位元もと，也就是ぜ实数“1”满足：对任意にんい实数v，1v = v。

更さら为常见的例れい子こ是ぜ给定了りょう直角ちょっかく坐すわ标系的てき平面へいめん：平面へいめん上じょう的てき每ごと一いち点てん$P$都みやこ有一ゆういち个坐标$P(x,y)$，并对应着一いち个向量りょう$(x,y)$。所有しょゆう普通ふつう意い义上的てき平面へいめん向むこう量りょう组成了りょう一いち个空间，记作ℝ²，因いん为每个向量りょう都と可か以表示ひょうじ为两个实数すう构成的てき有ゆう序じょ数すう组$(x,y)$。可か以验证，对于普通ふつう意い义上的てき向むこう量りょう加法かほう和わ标量乘法じょうほう，ℝ²满足向むこう量りょう空そら间的所有しょゆう公理こうり。实际上じょう，向むこう量りょう空そら间是ℝ²的てき推广。

同どう样地，高こう维的欧おう几里得とく空そら间ℝⁿ也是向むこう量りょう空そら间的例れい子こ。其中的てき向むこう量りょう表示ひょうじ为$v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$，其中的てき$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$都みやこ是ただし实数。定てい义向量的りょうてき加法かほう和わ标量乘法じょうほう是ぜ：

$\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$， $v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})$ $\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})$

可か以验证这也是一个向量空间。

再考さいこう虑所有しょゆう系けい数すう为实数すう的てき多た项式的てき集合しゅうごう$\mathbb {R} [X]$。对于通常つうじょう意い义上的てき多た项式加法かほう和わ标量乘法じょうほう，$\mathbb {R} [X]$也构成なり一个向量空间。更さら广泛地ち，所有しょゆう从实数すう域いき射い到いた实数域いき的てき连续函数かんすう的てき集合しゅうごう${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$也是向むこう量りょう空そら间，因いん为两个连续函数すう的てき和わ或ある差さ以及连续函数かんすう的てき若干じゃっかん倍ばい都と还是连续函数かんすう。

方かた程ほど组与向むこう量りょう空そら间

向むかい量りょう空そら间的另一种例子是齐次线性方かた程ほど组（常数じょうすう项都是ぜ0的てき线性方かた程ほど组）的てき解かい的てき集合しゅうごう。例れい如下面めん的てき方かた程ほど组：

$3x+2y-z=0$

$x+5y+2z=0$

如果$(x_{1},y_{1},z_{1})$和わ$(x_{2},y_{2},z_{2})$都みやこ是ただし解かい，那な么可以验证它们的“和わ”$(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$也是一いち组解，因いん为：

$3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0$

$(x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0$

同どう样，将はた一组解乘以一个常数后，仍然会かい是ぜ一いち组解。可か以验证这样定义的“向むこう量りょう加法かほう”和かず“标量乘法じょうほう”满足向むこう量りょう空そら间的公理こうり，因いん此这个方程ほど组的所有しょゆう解かい组成了りょう一个向量空间。

一般いっぱん来らい说，当とう齐次线性方かた程ほど组中未知数みちすう个数大だい于方程ほど的てき个数时，方ぽう程ほど组有无限多た组解，并且这些解かい组成一个向量空间。

对于齐次线性微分びぶん方かた程ほど，解かい的てき集合しゅうごう也构成なり向むこう量りょう空そら间。比ひ如说下面かめん的てき方かた程ほど：

$f''+4xf'+\cos(x)f=0$

出で于和上面うわつら类似的てき理由りゆう，方ぽう程ほど的てき两个解かい$f_{1}$和わ$f_{2}$的てき和わ函数かんすう$f_{1}+f_{2}$也满足あし方かた程ほど。可か以验证，这个方かた程ほど的てき所有しょゆう解かい构成一个向量空间。

子こ空間くうかん基底きてい

如果一いち個こ向むこう量りょう空間くうかんV的てき一いち個こ非ひ空そら子こ集合しゅうごうW对于V的てき加法かほう及標量りょう乘法じょうほう都と封ふう闭（也就是ぜ说任意にんいW中なか的てき元素げんそ相しょう加か或ある者もの和わ标量相乘そうじょう之の后きさき仍然在ざいW之これ中ちゅう），那な么将W称しょう为V的てき線せん性せい子こ空間くうかん（简称子こ空そら间）。V的てき子こ空そら间中，最さい平凡へいぼん的てき就是空間くうかんV自己じこ，以及只ただ包含ほうがん0的てき子こ空そら间${0}$。

給きゅう出で一いち個こ向むこう量りょう集合しゅうごうB，那な么包含它的てき最小さいしょう子こ空間くうかん就稱為ため它的生成せいせい子こ空間くうかん，也称線せん性せい包つつみ络，记作span(B)。

給きゅう出で一いち個こ向むこう量りょう集合しゅうごうB，若わか它的生成せいせい子こ空そら间就是ぜ向むこう量りょう空間くうかんV，则稱B為ためV的てき一いち个生成せいせい集しゅう。如果一いち个向量りょう空間くうかんV拥有一个元素个数有限的生成集，那な么就稱しょうV是ぜ一个有限维空间。

可か以生成せいせい一いち個こ向むこう量りょう空間くうかんV的てき線せん性せい獨立どくりつ子こ集しゅう，稱しょう為ため這個空間くうかん的てき基もと。若わかV={0}，约定唯一ゆいいつ的てき基もと是ぜ空そら集しゅう。對たい非ひ零れい向こう量りょう空間くうかんV，基もと是ぜV“最小さいしょう”的てき生成せいせい集しゅう。向むこう量りょう空そら间的基もと是ぜ对向量りょう空そら间的一いち种刻画が。确定了りょう向むこう量りょう空そら间的一いち组基B之これ后きさき，空間くうかん內的每ごと個こ向むこう量りょう都と有ゆう唯ただ一的方法表達成基中元素的線せん性せい組合くみあい。如果能のう够把基もと中元ちゅうげん素もと按下标排列はいれつ：$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$，那な么空间中的てき每ごと一いち个向量りょうv便びん可か以通过座標ざひょう系統けいとう來らい呈てい現げん：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots$

这种表示ひょうじ方式ほうしき必然ひつぜん存在そんざい，而且是ぜ唯一ゆいいつ的てき。也就是ぜ说，向むこう量りょう空そら间的基もと提供ていきょう了りょう一いち个坐标系。

可か以证明あきら，一个向量空間的所有基都擁有相同基數きすう，稱しょう為ため該空間あいだ的てき維度。当とうV是ぜ一个有限维空间时，任にん何なん一组基中的元素个数都是定值，等とう于空间的维度。例れい如，各かく种實數すう向むこう量りょう空間くうかん：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中ちゅう， ℝⁿ的てき維度就是n。在ざい一个有限维的向量空间（维度是ぜn）中ちゅう，确定一いち组基$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$，那な么所有しょゆう的てき向むこう量りょう都と可か以用n个标量りょう来らい表示ひょうじ。比ひ如说，如果某ぼう个向量りょうv表示ひょうじ为：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}$

那な么v可か以用数すう组$v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$来らい表示ひょうじ。这种表示ひょうじ方式ほうしき称しょう为向量的りょうてき坐すわ标表示ひょうじ。按照这种表示ひょうじ方法ほうほう，基き中ちゅう元素げんそ表示ひょうじ为：

$e_{1}=(1,0,\cdots ,0)$ $e_{2}=(0,1,\cdots ,0)$ $e_{n}=(0,0,\cdots ,1)$

可か以证明あきら，存在そんざい从任意にんい一いち个n维的$\mathbf {F}$-向むこう量りょう空そら间到空そら间$\mathbf {F} ^{n}$的てき双そう射い。这种关系称しょう为同构。

線せん性せい映うつ射い

給きゅう定てい兩個りゃんこ系けい数すう域いき都と是ぜF的まと向むこう量りょう空間くうかんV和わW,定てい义由V到いたW的てき線せん性せい變換へんかん（或ある称しょう线性映うつ射い）为所有しょゆう从V射い到いたW并且它保持向もちむかい量りょう加法かほう和わ标量乘法じょうほう的てき运算的てき函数かんすうf：

$f:\,V\rightarrow W$ $\forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)$

所有しょゆう线性变换的てき集合しゅうごう记为${\mathcal {L}}(V,W)$，这也是ぜ一个系数域为F的まと向むこう量りょう空そら间。在ざい确定了りょうV和わW上うえ各自かくじ的てき一いち组基之の后きさき，${\mathcal {L}}(V,W)$中なか的てき线性变换可か以通过矩のり阵来らい表示ひょうじ。

如果两个向むこう量りょう空間くうかんV和わW之の间的一个線性映射是一いち一いち映うつ射い，那な么这个线性せい映うつ射い称しょう为（线性）同どう构，表示ひょうじ两个空そら间构造づくり相しょう同どう的てき意思いし。如果在ざいV和わW之の間あいだ存在そんざい同どう構，那な么稱這兩個りゃんこ空間くうかん為ため同どう構的。如果向むこう量りょう空間くうかんV和わW之の间存在そんざい同どう构$f:\,V\rightarrow W$，那な么其逆ぎゃく映うつ射い$g:\,W\rightarrow V$也存在そんざい，并且对所有しょゆう的てき$x\in V,\,y\in W$，都みやこ有ゆう：

$g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y$

參考さんこう文獻ぶんけん

• 《中国ちゅうごく大だい百科ひゃっか全ぜん书》
• Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
• Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8