阿おもね贝尔群ぐん

阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん（Abelian group）也稱爲ため交換こうかん群ぐん（commutative group）或ある可か交換こうかん群ぐん，它是滿足まんぞく其元素的すてき運算うんざん不ふ依賴いらい於它們的次序じじょ（交換こうかん律りつ公理こうり）的てき群ぐん。阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん推廣了りょう整數せいすう集合しゅうごう的てき加法かほう運算うんざん。阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん以挪威い數學すうがく家か尼あま尔斯·阿おもね貝かい爾なんじ命名めいめい。

阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき概念がいねん是ぜ抽象ちゅうしょう代數だいすう的てき基本きほん概念がいねん之の一いち。其基本きほん研究けんきゅう對象たいしょう是ぜ模も和わ向むかい量りょう空間くうかん。阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき理論りろん比ひ其他非ひ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん簡單かんたん。有限ゆうげん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん已やめ經けい被ひ较为徹底てってい地ち研究けんきゅう了りょう。無限むげん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん理論りろん則そく是ぜ目前もくぜん正ただし在ざい研究けんきゅう的てき領域りょういき。

定義ていぎ

群ぐん $(A,\circ )$ 對たい於所有しょゆう的てき $a,\,b\in A$，都と滿足まんぞく $a\circ b=b\circ a$ （交換こうかん律りつ）的てき話ばなし，稱しょう $(A,\circ )$ 為ため阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん或ある交換こうかん群ぐん，反はん之これ被ひ稱しょう爲ため「非ひ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん」或ある「非ひ交換こうかん群ぐん」。

符號ふごう

群ぐん有ゆう兩りょう種たね主要しゅよう表示ひょうじ運算うんざん的てき符號ふごう—加法かほう和わ乘法じょうほう。

運算うんざん	表示法ひょうじほう	單位たんい元もと	冪べき	逆ぎゃく元もと
加法かほう運算うんざん	$x+y$	0	$nx$	$-x$
乘法じょうほう運算うんざん	$x\cdot y$ 或ある $xy$	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

乘法じょうほう符號ふごう是ぜ群ぐん的てき常用じょうよう符號ふごう，而加法ほう符號ふごう是ぜ模も的てき常用じょうよう符號ふごう。當とう同時どうじ考慮こうりょ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん和わ非ひ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん時じ，加法かほう符號ふごう還かえ可か以用來らい強調きょうちょう阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん是ぜ特定とくてい群ぐん。

乘法じょうほう表ひょう

驗けん證しょう有限ゆうげん群ぐん是ぜ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん，可か以構造こうぞう類似るいじ乘法じょうほう表ひょう的てき一いち種しゅ表ひょう格かく（或ある說せつ矩のり陣じん），稱たたえ爲ため凱萊表ひょう。如果群ぐん $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ 在ざい運算うんざん $\cdot$ 下した，則のり這個表ひょう的てき $(i,j)$ 元素げんそ即そく是ぜ $g_{i}\cdot g_{j}$。群ぐん是ぜ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん若わか且唯若わか這個表ひょう是ぜ關せき於主對角線たいかくせん是ぜ對稱たいしょう的てき（或ある說せつ這個矩のり陣じん是ぜ對稱たいしょう矩のり陣じん）。這是因いん為ため對たい於阿貝かい爾なんじ群ぐん，$g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$，即そく表ひょう格かく中ちゅう的てき $(i,j)$ 元素げんそ等とう於 $(j,i)$ 元素げんそ。如下表ひょう所しょ示しめせ：

	$e$	$\cdots$	$g_{j}$	$\cdots$
$e$	$e$
$\vdots$
$g_{i}$			$g_{i}\cdot g_{j}$
$\vdots$

例れい子こ

• 整數せいすう集しゅう與あずか加法かほう運算うんざん構成こうせい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん，記き為ため$(\mathbb {Z} ,+)$。兩個りゃんこ整數せいすう相しょう加か仍是整數せいすう，且加法ほう有ゆう結合けつごう律りつ。$0$ 是これ加法かほう單位たんい元もと，所有しょゆう整數せいすう $n$ 都みやこ有ゆう加法かほう逆ぎゃく元もと $-n$。加法かほう運算うんざん有ゆう交換こうかん律りつ，因いん為ため對たい於任意にんい兩個りゃんこ整數せいすう$m,n$ 都みやこ有ゆう $m+n=n+m$。
• 所有しょゆう循環じゅんかん群ぐん $G=\langle g\rangle$ 都みやこ是ただし阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん。如果 $x,y\in G$ ，則のり $xy=g^{m}g^{n}=g^{m+n}=g^{n}g^{m}=yx$。因よし此整數せいすう集しゅう $\mathbb {Z}$ 形成けいせい了りょう在ざい加法かほう下か的てき阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん，整數せいすう模も$n$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$也是。
• 所有しょゆう環たまき都みやこ是ただし關せき于它的てき加法かほう運算うんざん的てき阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん。在ざい交換こうかん環たまき中なか的てき可逆かぎゃく元もと形成けいせい了りょう阿おもね貝かい爾なんじ乘法じょうほう群ぐん。特別とくべつ是ぜ實數じっすう集しゅう是ぜ在ざい加法かほう下か的てき阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん，非ひ零れい實數じっすう集しゅう在ざい乘法じょうほう下か是ぜ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん。
• 所有しょゆう阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき子こ群ぐん都みやこ是ただし正規せいき子こ群ぐん，所以ゆえん每ごと個こ子こ群ぐん都と引發商しょう群ぐん。阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき子こ群ぐん、商しょう群ぐん和わ直和なおかず也是阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん。

矩のり陣じん即そく使つかい是ぜ可逆かぎゃく矩のり陣じん，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因いん為ため矩のり陣じん乘法じょうほう一般いっぱん是ぜ不可ふか交換こうかん的てき。但ただし是ぜ某ぼう些矩陣じん的てき群ぐん是ぜ在ざい矩のり陣じん乘法じょうほう下か的てき阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん - 一いち個こ例れい子こ是ぜ$2\times 2$ 旋轉せんてん矩のり陣じん的まと群ぐん。

歷史れきし注記ちゅうき

阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん是ぜCamille Jordan以挪威數學すうがく家か尼あま尔斯·阿おもね贝尔命名めいめい的てき，他た首くび先さき察覺到いた了りょう阿おもね貝かい爾なんじ首くび先さき發表はっぴょう的てき這種群ぐん與あずか根ね式しき可か解かい性せい的てき聯れん繫的重要じゅうよう性せい。

性質せいしつ

如果 $n$ 是これ自然しぜん數すう而 $x$ 是ぜ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん $(G,+)$ 的てき一いち個こ元素げんそ，則のり $nx$ 可か以定義ていぎ為ため $x+x+\cdots +x$（$n$個數こすう相しょう加か）并且 $(-n)x=-(nx)$。以這種しゅ方式ほうしき，$G$ 變成へんせい在ざい整數せいすう的てき環たまき $\mathbb {Z}$ 上うえ的てき模も。事實じじつ上じょう，在ざい $\mathbb {Z}$ 上うえ的てき模も都と可か以被識別しきべつ為ため阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん。

關せき於阿貝かい爾なんじ群ぐん（比ひ如在主しゅ理想りそう整せい環たまき $\mathbb {Z}$ 上うえ的てき模も）的てき定理ていり經常けいじょう可か以推廣こう到いた在ざい任意にんい主ぬし理想りそう整せい環かん上うえ的てき模も。典型てんけい的てき例れい子こ是ぜ有限ゆうげん生成せいせい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき分類ぶんるい是ぜ在ざい主しゅ理想りそう整せい環かん上うえ的てき有限ゆうげん生成せいせい模も的てき結構けっこう定理ていり的てき特殊とくしゅ情況じょうきょう。在ざい有限ゆうげん生成せいせい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき情況じょうきょう下か，這個定理ていり保證ほしょう阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん可か以分解ぶんかい為ため撓たわわ群ぐん和わ自由じゆう阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき直和なおかず。前者ぜんしゃ可か以被寫うつし為ため形がた如 $\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ 對たい于素數すう $p$ 的てき有限ゆうげん多た個こ群ぐん的てき直和なおかず，而后者しゃ是ぜ有限ゆうげん多た個こ $\mathbb {Z}$ 的てき復ふく本ほん的てき直和なおかず。

如果 $f,g:G\to H$ 是ぜ在ざい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん之の間あいだ的てき兩個りゃんこ群ぐん同どう態たい，則のり它們的てき和わ $f+g$，定義ていぎ為ため $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$，也是阿おもね貝かい爾しか同どう態たい。（如果 $H$ 是非ぜひ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん則そく這就不成立ふせいりつ。）所有しょゆう從したがえ $G$ 到いた $H$ 的まと群ぐん同どう態たい的てき集合しゅうごう ${\text{Hom}}(G,H)$ 因いん此是自身じしん方式ほうしき下か的てき阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん。

某ぼう種たね程度ていど上じょう類似るいじ於向むかい量りょう空間くうかん的てき維度，所有しょゆう阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん都みやこ有ゆう秩。它定義ていぎ為ため群ぐん的てき線せん性せい無關むせき元素げんそ的てき最大さいだい集合しゅうごう的てき勢いきおい。整數せいすう集しゅう和わ有理數ゆうりすう集しゅう和わ所有しょゆう的てき有理數ゆうりすう集しゅう的てき子こ群ぐん都と有ゆう秩1。

阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき所有しょゆう子こ群ぐん都と是正ぜせい規子のりこ群ぐん，但ただし反はん之これ不成立ふせいりつ——四よん元げん群ぐん $Q_{8}$ 就是一いち個こ例れい子こ——它不是ぜ一いち個こ交換こうかん群ぐん，但ただし它的所有しょゆう子こ群ぐん都と是正ぜせい規子のりこ群ぐん。所有しょゆう子こ群ぐん都と是正ぜせい規子のりこ群ぐん的てき群ぐん叫さけべ做戴德金きん群ぐん。

有限ゆうげん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん

整數せいすう模も以 $n$ 的てき循環じゅんかん群ぐん $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 是ぜ最さい常見つねみ的てき群ぐん的てき例れい子こ。已やめ證しょう實じつ了りょう任意にんい有限ゆうげん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん都と同どう構於素數そすう階かい的てき有限ゆうげん循環じゅんかん群ぐん的てき直和なおかず，并且這些階數かいすう是ぜ唯一ゆいいつ確定かくてい的てき，形成けいせい了りょう一いち個こ不變ふへん量りょう（invariant）的てき完備かんび系統けいとう。有限ゆうげん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき自じ同どう構群可か以依據いきょ這些不變ふへん量りょう來らい直接ちょくせつ描述。有ゆう關せき理論りろん最初さいしょ發展はってん自じ费迪南みなみ德とく·格かく奥おく尔格·弗どる罗贝尼あま乌斯和わLudwig Stickelberger在ざい1879年ねん的てき論文ろんぶん，后きさき來き被ひ簡化和わ推廣到いた在ざい主しゅ理想りそう整せい環かん上うえ的てき有限ゆうげん生成せいせい模も，形成けいせい了りょう線せん性せい代數だいすう的てき一いち個こ重要じゅうよう組成そせい部分ぶぶん。

分類ぶんるい

有限ゆうげん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき基本きほん定理ていり聲こえ稱しょう所有しょゆう有限ゆうげん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん $G$ 都と可か以表達たち為ため質しつ數すう冪べき階かい的てき循環じゅんかん子こ群ぐん的てき直和なおかず。這是有限ゆうげん生成せいせい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき基本きほん定理ていり在ざい $G$ 有ゆう零れい秩時どき的てき特殊とくしゅ情況じょうきょう。

$mn$階かい的てき循環じゅんかん群ぐん$\mathbb {Z} _{mn}$同どう構於$\mathbb {Z} _{m}$與あずか$\mathbb {Z} _{n}$的てき直和なおかず，當とう且僅當とう$m$與あずか$n$是これ互素的てき。可か推出任にん何なん有限ゆうげん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん $G$ 同どう構於如下形式けいしき的てき直和なおかず

$\mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}$

以任何なん下か列れつ規ぶんまわし范方式しき：

• 數かず $k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}$ 是ぜ素數そすう的てき冪べき
• $k_{1}$ 整除せいじょ $k_{2}$，它又整除せいじょ $k_{3}$，如此直ちょく到いた $k_{u}$。

例れい如，$\mathbb {Z} _{15}$可か以被表ひょう達たち為ため3階かい和わ5階かい的てき兩個りゃんこ循環じゅんかん群ぐん的てき直和なおかず：$\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$。對たい于任何なん15階かい的てき阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん這也成立せいりつ，導しるべ致了所有しょゆう15階かい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん都みやこ是ただし同どう構的てき顯著けんちょ結論けつろん。

另一いち個こ例れい子こ，所有しょゆう8階段かいだん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん都と同どう構於要よう么 $\mathbb {Z} _{8}$(整數せいすう0到いた7在ざい模も8加法かほう下か)，$\mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}$（奇數きすう1到いた15在ざい模も16乘法じょうほう下か），要よう么 $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$。

小しょう於等于16階かい的てき有限ゆうげん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん可か參さん見み小群おむれ列れつ表ひょう。

自じ同どう構

可か以應用おうよう基本きほん定理ていり去さ計數けいすう（有ゆう時じ確定かくてい）給きゅう定てい有限ゆうげん阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん $G$ 的てき自じ同どう構。要よう這么做，可か利用りよう如果 $G$ 分解ぶんかい為ため互素階かい的てき子こ群ぐん的てき直和なおかず $H\oplus K$，則のり $\operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K)$ 的てき事實じじつ。

基本きほん定理ていり證明しょうめい了りょう要よう計算けいさん$G$的てき自じ同どう構群，分別ふんべつ計算けいさん西にし羅ら $p$-子こ群ぐん的てき自じ同どう構群就足夠了（也就是ぜ所有しょゆう的てき循環じゅんかん子こ群ぐん的てき直和なおかず，每まい個こ都みやこ有ゆう $p$ 的てき冪べき的てき階かい）。固定こてい一いち個こ素數そすう $p$ 并假設かせつ西にし羅ら $p$-子こ群ぐん的てき循環じゅんかん因子いんし的てき指數しすう $e_{i}$ 是ぜ按遞增ぞう次序じじょ安やす排はい的てき：

$e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}$

對たい於某個こ $n>0$。需要じゅよう找到

$\mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}$

的てき自じ同どう構。一個特殊情況是在 $n=1$ 的てき時候じこう，此時在ざい西にし羅ら $p$-子こ群ぐん $P$ 中ちゅう只ただ有ゆう唯一ゆいいつ一いち個こ循環じゅんかん素數そすう冪べき因子いんし。在ざい這個情況じょうきょう下か可か以使用よう有限ゆうげん循環じゅんかん群ぐん的てき自じ同どう構的理論りろん。另一個特殊情況是在 $n$ 為ため任意にんい的てき但ただし $e_{i}=1$ 對たい於 $1\leq i\leq n$ 的てき時候じこう。這里考慮こうりょ $P$ 為ため有ゆう著ちょ形式けいしき

$\mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p}$

所以ゆえん這個子こ群ぐん的てき元素げんそ可か以被看み作さく構成こうせい了りょう在ざい $p$ 元素げんそ的てき有限ゆうげん域いき $\mathbb {F} _{p}$ 上うえ的てき $n$ 維向量りょう空間くうかん。這個子こ群ぐん的てき自じ同どう構因此給出で為ため可逆かぎゃく線せん性せい變換へんかん，因いん此

$\mathrm {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbb {F} _{p})$

它早先さき證明しょうめい了りょう有ゆう階かい

$\left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1})$

在ざい最さい一般いっぱん情況じょうきょう下か，這里的てき$e_{i}$和わ$n$是ぜ任意にんい的てき，自じ同どう構群更さら難なん於確定かくてい。但ただし是ぜ已やめ經けい知道ともみち了りょう如果定義ていぎ

$d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}^{\,}\}$

并且

$c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}$

則のり有ゆう著ちょ特別とくべつ的てき $k\leq d_{k}$，$c_{k}\leq k$，并且

$\left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.$。

可か以檢查這會かい生成せいせい作為さくい特殊とくしゅ情況じょうきょう的てき前面ぜんめん例れい子こ的てき階かい（參まいり見み[Hillar, Rhea]）。

參まいり見み

• 類るい域いき論ろん
• 交換こうかん子こ群ぐん
• 初等しょとう阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん
• 有限ゆうげん生成せいせい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん
• 自由じゆう阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん
• 龐特里さと亞あ金きん對偶たいぐう性せい
• 秩1無む撓たわわ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん

引用いんよう

• Fuchs, László（1970）Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp. MR0255673
• ------（1973）Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp. MR0349869
• Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. 1970. ISBN 0-226-30870-7. 
• Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly 114, no. 10, 917-923. [1] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）.
• Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," Fundamenta Mathematica 41: 203-71.