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伽 とぎ 群 ぐん 法語 ほうご Groupe de Galois ）是 これ 抽象 ちゅうしょう 代数 だいすう 中 なか 域 いき 的 てき 概念 がいねん 表示 ひょうじ 与 あずか 某 ぼう 型 がた 的 てき 域 いき 相伴 しょうばん 的 てき 群 ぐん 是 ぜ 伽 とぎ 理 り 的 てき 基 もと 概念 がいねん 域 いき 源 げん 多 た 通 つう 群 ぐん 研究 けんきゅう 域 いき 多 た 的 てき 理 り 称 しょう 伽 とぎ 理 り 是 ぜ 十 じゅう 九 きゅう 世 せい 法 ほう 国 こく 数学 すうがく 家 か 埃 ほこり 瓦 かわら 里 さと 伽 とぎ 了解 りょうかい 高次 こうじ 多 た 方 かた 程 ほど 是 これ 否 いや 有 ゆう 根 ね 式 しき 解 かい 的 てき 造 づくり 的 てき 后 きさき 世 よ 他 た 的 てき 名字 みょうじ 命名 めいめい 相 しょう 概念 がいねん
用 よう 置 おけ 更 さら 初等 しょとう 地 ち 伽 とぎ 群 ぐん 参 まいり 伽 とぎ 理 り 一文 いちぶん
定 てい [ 编辑 ] 设有域 いき L/K 考 こう 所有 しょゆう L 上 うえ 的 てき K- 自 じ 同 どう 集合 しゅうごう 的 てき K- 自 じ 同 どう 指 ゆび 的 てき 是 ぜ L 映 うつ 射 い 到 いた L 的 てき 域 いき 同 どう 限 げん 制 せい 在 ざい K 上 うえ 的 てき 部分 ぶぶん 是 ぜ 平凡 へいぼん 的 てき 即 そく 恒等 こうとう 映 うつ 射 い 用 よう 数学 すうがく 一 いち K- 自 じ 同 どう 是 ぜ 指 ゆび 以下 いか 条件 じょうけん 的 てき 同 どう σ しぐま [1] :15-16 [2] :125 ：
σ しぐま 是 ぜ L 映 うつ 射 い 到 いた L 上 うえ 的 てき 双 そう 射 い σ しぐま 是 これ 域 いき 同 どう 即 そく
∀
a
,
b
,
∈
L
,
σ しぐま (
a
+
b
)
=
σ しぐま (
a
)
+
σ しぐま (
b
)
,
σ しぐま (
a
b
)
=
σ しぐま (
a
)
σ しぐま (
b
)
.
{\displaystyle \forall a,b,\in L,\;\sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\;\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b).}
σ しぐま 将 はた 所有 しょゆう K 中元 ちゅうげん 素 もと 映 うつ 射 い 到 いた 自身 じしん
∀
x
∈
K
,
σ しぐま (
x
)
=
x
.
{\displaystyle \forall x\in K,\;\sigma (x)=x.}
可 か 明 あきら 任意 にんい 的 てき 域 いき L/K 所有 しょゆう L 上 うえ 的 てき K- 自 じ 同 どう 射的 しゃてき 群 ぐん 称 しょう L/K 的 てき 自 じ 同 どう Aut(L/K ) [1] :16 。
如果L/K 是 ぜ 一 いち 伽 とぎ Aut(L/K ) 称 しょう L/K 上 うえ 的 てき 伽 とぎ 群 ぐん 通常 つうじょう Gal(L/K ) 有 ゆう 文献 ぶんけん 中 ちゅう Gal(L : K ) [1] :16 。
在 ざい 某 ぼう 理 り 中 ちゅう 将 はた 任 にん 何 なん 域 いき 上 じょう 的 てき 自 じ 同 どう 都 と 称 しょう 群 ぐん 作 さく Gal(L/K ) σ しぐま [2] :125 。
例 れい 子 こ [ 编辑 ] 设F 是 ぜ 一 いち
Q
,
R
,
C
{\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
分 ぶん 有理数 ゆうりすう 实数 与 あずか 复数 域 いき F (a )表示 ひょうじ 在 ざい F 中 ちゅう 添加 てんか 元素 げんそ a 生成 せいせい 的 てき 域 いき
F/F 是 ぜ 平凡 へいぼん 可分 かぶん 正 せい 即 そく 伽 とぎ 群 ぐん Gal(F /F ) 是 ぜ 只 ただ 包含 ほうがん 一 いち 元素 げんそ 即 そく 恒等 こうとう 映 うつ 射 い 的 てき 平凡 へいぼん 群 ぐん
C
/
R
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
是 ぜ 次数 じすう 的 てき 伽 とぎ 群 ぐん
G
a
l
(
C
/
R
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}
有 ゆう 元素 げんそ 恒等 こうとう 映 うつ 射 い 与 あずか 复共轭 自 じ 同 どう [2] :127 。
R
/
Q
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }
不 ふ 是 ぜ 伽 とぎ 同 どう
G
a
l
(
R
/
Q
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} )}
是 ぜ 只 ただ 包含 ほうがん 恒等 こうとう 映 うつ 射的 しゃてき 平凡 へいぼん 群 ぐん 事 こと 可 か 明 あきら 任 にん 何 なん 在 ざい
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上 うえ 等 とう 映 うつ 射的 しゃてき
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
到 いた
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的 てき 自 じ 同 どう 都 と 保持 ほじ 的 てき 序 じょ 是 ぜ 只 ただ 要 よう 某 ぼう 同 どう σ しぐま 将 はた 每 まい 理数 りすう 都 と 映 うつ 射 い 到 いた 自身 じしん 那 な 任 にん 何 なに a < b 都 みやこ 有 ゆう σ しぐま a ) < σ しぐま b )明 あきら 同 どう 整 せい 数 すう 集 しゅう 上 じょう 都 と 是 ぜ 恒等 こうとう 映 うつ 射 しゃ
C
/
Q
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }
是 ぜ 伽 とぎ 群 ぐん 是 ぜ 群 ぐん
Q
(
2
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }
是 ぜ 次数 じすう 的 てき 伽 とぎ 群 ぐん
G
a
l
(
Q
(
2
)
/
Q
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}
有 ゆう 元素 げんそ 恒等 こうとう 映 うつ 射 い 与 あずか 将 はた √2 与 あずか -√2 的 てき 自 じ 同 どう [2] :127 。考 こう
K
=
Q
(
2
3
)
{\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}
K
/
Q
{\displaystyle K/\mathbb {Q} }
不 ふ 是 ぜ 正 せい 故 こ 不 ふ 是 ぜ 伽 とぎ 同 どう
A
u
t
(
K
/
Q
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} (K/\mathbb {Q} )}
只 ただ 包含 ほうがん 恒等 こうとう 映 うつ 射 い [2] :127 。现在考 こう
L
=
Q
(
2
3
,
ω おめが )
{\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )}
ω おめが 是 これ 本原 もとはら 三次 みつじ 根 ね L 是 ぜ 有理数 ゆうりすう 域 いき 上 うえ 不可 ふか 多 た P = X 3 - 2的 てき 分裂 ぶんれつ 域 いき 因 いん 伽 とぎ 群 ぐん
G
a
l
(
K
/
Q
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )}
同 どう 3次 じ 置 おけ S 3 。这个群 ぐん 是 ぜ 可 か 解 かい 群 ぐん 意味 いみ 着 ぎ 多 た 方 かた 程 ほど X 3 - 2 = 0能 のう 用 よう 根 ね 式 しき 求 もとめ 解 かい [1] :52-53 。 基本 きほん 性 せい [ 编辑 ] 设有域 いき L/K 自 じ 同 どう Aut(L/K )
设P 是 ぜ 一 いち K 中元 ちゅうげん 素 もと 数 すう 的 てき 多 た α あるふぁ L 是 ぜ 一 いち 同 どう 中 ちゅう 任 にん 一 いち 元素 げんそ σ しぐま α あるふぁ 映 うつ 射 い 到 いた P 的 てき 根上 ねあがり [2] :126 。
如果L/K 是 ぜ 有限 ゆうげん 生成 せいせい 的 てき 域 いき 即 そく 存在 そんざい
α あるふぁ
1
,
α あるふぁ
2
,
⋯
,
α あるふぁ
m
∈
L
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{m}\in L}
使 つかい 得 とく L = K (α あるふぁ 1 , α あるふぁ 2 , ... , α あるふぁ m 那 な 同 どう 中 ちゅう 任 にん 一 いち 元素 げんそ σ しぐま 被 ひ 元素 げんそ 唯一 ゆいいつ 是 ぜ 知道 ともみち 了 りょう σ しぐま α あるふぁ 1 ), σ しぐま α あるふぁ 2 ), ... , σ しぐま α あるふぁ m 的 てき 取 と 知道 ともみち σ しぐま 作用 さよう 在 ざい L 中 ちゅう 任 にん 何 なん 元素 げんそ 上 じょう 的 てき [2] :126 。
有限 ゆうげん 的 てき 自 じ 同 どう 是 ぜ 有限 ゆうげん 群 ぐん [2] :126 ，其元素 げんそ |Aut(L/K )| 整除 せいじょ 次数 じすう [L : K ] 因 いん [L : K ] 相等 そうとう 当 とう 当 とう L/K 是 ぜ 伽 とぎ [2] :150 。设域扩张L/K 以下 いか 的 てき 性 せい 可 か 没 ぼつ 有 ゆう 伽 とぎ 理 り 基本 きほん 定理 ていり 的 てき 情 じょう
|
G
a
l
(
L
/
K
)
|
=
[
L
:
K
]
{\displaystyle |\mathrm {Gal} (L/K)|=[L:K]}
[2] :130 令 れい
G
=
G
a
l
(
L
/
K
)
{\displaystyle G=\mathrm {Gal} (L/K)}
G 的 てき 不 ふ 即 そく
L
G
=
{
x
∈
L
|
∀
σ しぐま ∈
G
,
σ しぐま (
x
)
=
x
}
{\displaystyle L^{G}=\{x\in L|\forall \sigma \in G,\sigma (x)=x\}}
是 ぜ K 反 はん 之 これ 有限 ゆうげん L/K 的 てき 自 じ 同 どう 的 てき 不 ふ 是 ぜ K 那 な 是 ぜ 伽 とぎ [2] :150 设F 是 ぜ LF 存在 そんざい 那 な
G
a
l
(
L
F
/
F
)
↪
G
a
l
(
L
/
K
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (LF/F)\hookrightarrow \mathrm {Gal} (L/K)}
即 そく Gal(LF/F ) 和 わ Gal(L/K ) 的 てき 一 いち 子 こ 群 ぐん 同 どう 由 ゆかり 正 せい 和 わ 可分 かぶん 的 まと 性 せい KF/F 是 ぜ 因 いん Gal(LF/F ) 伽 とぎ 的 てき 重要 じゅうよう 性 せい 在 ざい 有限 ゆうげん 的 てき 伽 とぎ 伽 とぎ 理 り 基本 きほん 定理 ていり 伽 とぎ 群 ぐん 的 てき 子 こ 群 ぐん 与 あずか 域 いき 的中 てきちゅう 之 の 存在 そんざい 着 ぎ 反 はん 向 こう 包含 ほうがん 的 てき 一 いち 一 いち
如果Gal(L/K ) 是 ぜ 伽 とぎ 群 ぐん Gal(L/K ) 上 うえ 可 か 拓 つぶせ 称 しょう 克 かつ 拓 つぶせ 使 つかい 投射 とうしゃ 有限 ゆうげん 群 ぐん 在 ざい 即 そく 便 びん Gal(L/K ) 是 ぜ 群 ぐん 的 てき 闭 子 こ 群 ぐん 与 あずか 域 いき 的中 てきちゅう 存在 そんざい 着 ぎ 反 はん 向 こう 包含 ほうがん 的 てき 一 いち 一 いち 有 ゆう 伽 とぎ 理 り 基本 きほん 定理 ていり 的 てき
参 まいり [ 编辑 ] 参考 さんこう 来 らい 源 げん [ 编辑 ] 外部 がいぶ [ 编辑 ] 
![{\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ab6f0f55e563f7b81969a6956d3bc4eb443d26)
![{\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d104ddaabc69dec42b20385df0ccf88f9e4ac63c)
![{\displaystyle |\mathrm {Gal} (L/K)|=[L:K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563c3dc8c570143d9a89a10cce1a9a7b6abddfea)
