整せい环

  提示ていじ：此条目め页的主ぬし题不是ぜ整数せいすう环。

整せい环（Integral domain），又また譯わけ作さく整せい域いき，是ぜ抽象ちゅうしょう代數だいすう中なか的てき一いち个概念がいねん，指ゆび含乘法ほう单位元もと的てき无零れい因子いんし的てき交换环。一般假设环中乘法单位元1不等ふとう于加法ほう单位元もと0，以除去じょきょ平凡へいぼん的てき环$\{0\}$。整せい环是整数せいすう环的てき抽象ちゅうしょう化か，它很好地こうち继承了りょう整数せいすう环的整除せいじょ性せい质，使つかい得え我わが们能够更好地こうち研究けんきゅう整除せいじょ理り论。

整せい环也可か以定义为理想りそう$\{0\}$是ぜ素もと理想りそう的てき交换环，或ある交换的てき无零因子いんし环。

形式けいしき定てい义

设$\left({\mathcal {R}},+,\times \right)$是ぜ一いち个交换环，存在そんざい$e\in {\mathcal {R}}$，$e\neq 0$（0为加法ほう单位元もと），使つかい得とく

$\forall a\in {\mathcal {R}},a\times e=e\times a=a,$（存在そんざい乘法じょうほう单位元もと）

并且对任意にんい的てき$a,b\in {\mathcal {R}}$，如果$a\times b=0$，那な么或者しゃ$a=0$，或ある者もの$b=0$。用よう数学すうがく方式ほうしき表示ひょうじ为：

$\forall (a,b)\in {\mathcal {R}}^{2},\ a\times b=0\quad \Rightarrow \quad (a=0\;\;\lor \;\;b=0).$（没ぼつ有ゆう零れい因子いんし）

就称其为整せい环。

定てい义中的てき无零因子いんし性せい质也可か以用环中乘法じょうほう的てき消去しょうきょ律りつ替がえ代だい：如果$a\times c=b\times c$，并且$c\neq 0$，那な么$a=b$。用よう数学すうがく方法ほうほう表示ひょうじ就是：

$\forall (a,b,c)\in {\mathcal {R}}^{3},\ (a\times c=b\times c\;\;\land \;\;c\neq 0)\quad \Rightarrow \quad a=b.$

例れい子こ

• 整せい环的代表だいひょう性せい例れい子こ是ぜ整数せいすう环$\mathbb {Z}$。$(\mathbb {Z} ,+,\times )$是ぜ一いち个交换环，并且乘法じょうほう单位元もと1不等ふとう于加法ほう单位0。最さい后きさき，两个整数せいすう相乘そうじょう等とう于0，则必然しか有ゆう其中一いち个等于0。
• 多た项式环是整せい环当且仅当とう其系数すう构成整せい环。比ひ如整系けい数すう一元多项式环$\mathbb {Z} [X]$和かず实系数すう二元多项式环$\mathbb {R} [X,Y]$。
• 每まい个域いき都みやこ是ただし整せい环。相あい对的，每まい个阿おもね廷整环都みやこ是ただし域いき。特とく别地，每まい个有限げん的てき整せい环都是ぜ有限ゆうげん域いき。整数せいすう环$\mathbb {Z}$就是一个非阿廷整环不是域的例子，因いん为它有ゆう无穷递降的てき理想りそう列れつ：

$\mathbb {Z} \;\supset \;2\mathbb {Z} \;\supset \;\ldots \;\supset \;2^{n}\mathbb {Z} \;\supset \;2^{n+1}\mathbb {Z} \;\supset \;\cdots$

• 对每个整数すう$n>0$，$\mathbb {Z} +{\sqrt {n}}\mathbb {Z}$是ぜ实数域いき$\mathbb {R}$的てき子こ环，因いん此是整せい环。$\mathbb {Z} +i{\sqrt {n}}\mathbb {Z}$是ぜ复数域いき$\mathbb {C}$的てき子こ环，因いん此是整せい环。当とう$n=1$时，后きさき者しゃ被ひ称しょう为高こう斯整数すう环。
• 若わか${\mathcal {R}}$是ぜ一いち个交换环，$P$是これ${\mathcal {R}}$的てき一いち个理想おもえ，那な么商环$^{\mathcal {R}}/_{P}$是ぜ整せい环当且仅当とうP是これ素す理想りそう。由よし此可推出${\mathcal {R}}$是ぜ整せい环当且仅当とう$\{0\}=^{\mathcal {R}}/_{\mathcal {R}}$是これ素す理想りそう。

整除せいじょ、素もと元もと、既すんで约元

在ざい整せい环上可か以定义类似に于整数すう环里的てき整除せいじょ性せい质。

a与あずかb是これR中なか的てき两个元素げんそ，定てい义a整除せいじょb或あるa是これb的てき约数或あるb是これa的てき倍数ばいすう，当とう且仅当とう存在そんざいR中なか的てき一いち个元素げんそx使つかい得とくax = b。

整除せいじょ关系满足传递性せい，即そくa整除せいじょb，b整除せいじょc推出a整除せいじょc。a整除せいじょb，则a整除せいじょb的てき所有しょゆう倍数ばいすう。a的てき两个倍数ばいすう的てき和わ与あずか差さ仍是a的てき倍数ばいすう。

1的てき约数称しょう为R的てき可逆かぎゃく元もと。可逆かぎゃく元もと整除せいじょ所有しょゆう元素げんそ。

若わかa整除せいじょb并且b整除せいじょa，则称a与あずかb相伴しょうばん。a与あずかb相伴しょうばん当とう且仅当とう存在そんざい可逆かぎゃく元もとu使つかい得とくau = b。

非ひ可逆かぎゃく元もとq称しょう为既すんで约元，如果q不能ふのう写うつし成なり两个非ひ可逆かぎゃく元もと的てき乘じょう积。

如果p不ふ是ぜ零れい元げん或ある可逆かぎゃく元もと，且对任意にんいa，b，如果p整除せいじょab可か推出p整除せいじょa或あるp整除せいじょb，则称p为素もと元もと。

这两个定义是整数せいすう环中素数そすう的てき推广。如果p是ぜ素もと元もと，那な么p生成せいせい的てき主しゅ理想りそう是ぜ素もと理想りそう。每まい个素元もと都と是ぜ既すんで约元，但ただし反はん过来则只有ゆう当とうR是これ唯一ゆいいつ分解ぶんかい环才ざい正せい确。