在 ざい 数学 すうがく 中 なか 有限 ゆうげん 域 いき 英語 えいご finite field 或 ある 伽 とぎ 域 いき 英語 えいご Galois field 念 ねん 埃 ほこり 瓦 かわら 里 さと 伽 とぎ 命名 めいめい 是 ぜ 包含 ほうがん 有限 ゆうげん 元素 げんそ 的 てき 域 いき 与 あずか 域 いき 一 いち 有限 ゆうげん 域 いき 是 ぜ 加 か 乘除 じょうじょ 都 と 有定 ありさだ 足 あし 特定 とくてい 的 てき 集合 しゅうごう 有限 ゆうげん 域 いき 最 さい 常 つね 例 れい 子 こ 是 ぜ 当 とう p 数 すう 整数 せいすう p 取 と 模 も
有限 ゆうげん 域 いき 的 てき 元素 げんそ 称 しょう 的 てき 阶
有限 ゆうげん 域 いき 在 ざい 数学 すうがく 和 わ 机 つくえ 科学 かがく 的 てき 基 もと 包括 ほうかつ 数 かず 代数 だいすう 伽羅 きゃら 瓦 かわら 理論 りろん 有限 ゆうげん 幾何 きか 學 がく 密 みつ 和 わ 编码理 り 。
有限 ゆうげん 域 いき 的 てき 有限 ゆうげん 域 いき 中元 ちゅうげん 素的 すてき 是 ぜ 一 いち 素数 そすう 的 てき 幂 。对于每 ごと 数 すう p 和 かず 每 まい 整数 せいすう n 在 ざい 同 どう 意 い 存在 そんざい 惟 おもんみ 一 いち 的 てき
p
n
{\displaystyle p^{n}}
有限 ゆうげん 域 いき 所有 しょゆう 元素 げんそ 都 と 是 ぜ 方 かた 程 ほど
x
p
n
−
x
=
0
{\displaystyle x^{p^{n}}-x=0}
的 てき 根 ね 的 てき 特 とく 征 せい p 。
有限 ゆうげん 域 いき 的 てき 乘法 じょうほう 群 ぐん 是 ぜ 循环群 ぐん 。即 そく 若 わか F 是 ぜ 有限 ゆうげん 體 たい 存在 そんざい
α あるふぁ ∈
F
{\displaystyle \alpha \in F}
使 つかい 得 とく
F
∗
=
{
x
∈
F
|
x
≠
0
}
=
⟨
α あるふぁ ⟩
{\displaystyle F^{*}=\{x\in F|x\neq 0\}=\langle \alpha \rangle }
有限 ゆうげん 域 いき 是 ぜ 完 かん 美 び 域 いき 即 そく 任 にん 何 なに 代数 だいすう 一定 いってい 是 ぜ 可分 かぶん 有限 ゆうげん 域 いき 的 てき 有限 ゆうげん 一定 いってい 是 ぜ 伽 とぎ 的 てき 伽 とぎ 群 ぐん 是 これ 循环群 ぐん 。存在 そんざい 性 せい 與 あずか 唯一 ゆいいつ 性 せい [ 编辑 ] 設 しつらえ q = pn 為 ため 質 しつ 數 すう 冪 べき F 為 ため 多項式 たこうしき
P
=
X
q
−
X
{\displaystyle P=X^{q}-X}
於質數 すう 域 いき GF(p ) 上 うえ 的 てき 分裂 ぶんれつ 域 いき 換言 かんげん 之 の F 是 ぜ 最低 さいてい 階 かい 的 てき 有限 ゆうげん 域 いき 使 つかい 得 とく P 在 ざい F q 個 こ 的 てき 根 ね 注意 ちゅうい P 的 てき 形式 けいしき 導 しるべ 數 すう 為 ため
−
1
≠
0
{\displaystyle -1\neq 0}
因 いん P 無 む 重根 しこね
利用 りよう 二 に 項 こう 式 しき 定理 ていり 可 か 證 あかし 恆等 こうとう 式 しき
(
x
+
y
)
p
=
x
p
+
y
p
{\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}
在 ざい 特徵 とくちょう 為 ため p 的 てき 域 いき 上 じょう 成立 せいりつ 中 ちゅう 一新 いっしん 生 せい 之 の 夢 ゆめ 等式 とうしき 說明 せつめい P 任 にん 兩 りょう 根 ね 之 の 和 やわ 或 ある 積 せき P 的 てき 根 ね 同時 どうじ P 的 てき 根 ね 的 てき 乘法 じょうほう 逆 ぎゃく 元 もと 根 ね 因 いん P 的 てき 根 ね 構成 こうせい 一 いち 個 こ q 階 かい 的 てき 域 いき 由 ゆかり F 的 てき 最小 さいしょう 性 せい 可知 かち 即 そく 為 ため F
由 よし 分裂 ぶんれつ 域 いき 在 ざい 同 どう 意義 いぎ 下 か 唯一 ゆいいつ q 階 かい 域 いき 同 どう 意義 いぎ 下 か 唯一 ゆいいつ 已 やめ 證 しょう
P
=
X
q
−
X
{\displaystyle P=X^{q}-X}
的 てき 分裂 ぶんれつ 域 いき 若 わか 域 いき F 有 ゆう 一 いち 個 こ 階 かい 為 ため
q
=
p
k
{\displaystyle q=p^{k}}
的 てき 子 こ 域 いき 則 のり 元素 げんそ
X
q
−
X
{\displaystyle X^{q}-X}
的 てき q 個 こ 根 ね 所以 ゆえん F 不能 ふのう 包含 ほうがん 一 いち 個 こ 階 かい 為 ため q 的 てき 子 こ 域 いき
E·H·摩 ま 爾 なんじ 於 1893 年 ねん 證明 しょうめい 了 りょう 以下 いか 的 てき 分類 ぶんるい 定理 ていり 可 か 作為 さくい 本節 ほんぶし 的 てき 總 そう 結 ゆい [1]
有限 ゆうげん 域 いき 的 てき 階 かい 為 ため 質 しつ 數 すう 冪 べき 對 たい 任意 にんい 一 いち 個 こ 質 しつ 數 すう 冪 べき q, 都 と 存在 そんざい q 階 かい 的 てき 域 いき 並 なみ 任意 にんい 兩個 りゃんこ q 階 かい 的 てき 域 いき 都 と 同 どう 域 いき 中 ちゅう 任意 にんい 的 てき 元素 げんそ x 都 と 滿足 まんぞく
x
q
=
x
,
{\displaystyle x^{q}=x,}
且多項式 たこうしき Xq − X 可 か 分解 ぶんかい 成 なり
X
q
−
X
=
∏
a
∈
F
(
X
−
a
)
.
{\displaystyle X^{q}-X=\prod _{a\in F}(X-a).}
由 よし 可知 かち GF(pn ) 有 ゆう 同 どう GF(pm ) 的 てき 子 こ 域 いき 當 とう 當 とう m 整除 せいじょ n 況 きょう 下 か 唯 ただ GF(pm ) 同 どう 多項式 たこうしき Xpm − X 整除 せいじょ Xpn − X 當 とう 當 とう m 整除 せいじょ n.
弗 どる 羅 ら 貝 かい 尼 あま 烏 がらす 同 どう 伽羅 きゃら 瓦 かわら 理論 りろん [ 编辑 ] 設 しつらえ p 為 ため 質 しつ 數 すう q = p n 為 ため 質 しつ 數 すう 冪 べき
在 ざい GF(q ) 中 なか 恆等 こうとう 式 しき (x + y )p xp + yp 說明 せつめい 映 うつ 射 い
φ ふぁい :
x
↦
x
p
{\displaystyle \varphi :x\mapsto x^{p}}
是 これ GF(q ) 上 うえ GF(p ) 線 せん 性 せい 的 てき 域 いき 自 じ 同 どう 持子 もちこ 域 いき GF(p ) 的 てき 元素 げんそ 射 しゃ 稱 たたえ 為 ため 弗 どる 尼 あま 自 じ 同 どう 得 とく 名 めい 费迪南 みなみ 德 とく 格 かく 奥 おく 弗 どる 尼 あま 。
記 き φ ふぁい k 為 ため φ ふぁい 的 てき k 次 じ 疊 たたみ 代 だい 則 のり
φ ふぁい
k
:
x
↦
x
p
k
.
{\displaystyle \varphi ^{k}:x\mapsto x^{p^{k}}.}
此前已 やめ 證明 しょうめい φ ふぁい n 為 ため 恆 つね 同 どう 映 うつ 射 しゃ 若 わか 0 < k < n 則 のり 自 じ 同 どう φ ふぁい k 並 なみ 非 ひ 恆 つね 同 どう 映 うつ 射 い 否 いや 則 のり 多項式 たこうしき
X
p
k
−
X
{\displaystyle X^{p^{k}}-X}
就有多 た pk 個 こ 根 ね 矛盾 むじゅん
此外 GF(q ) 並無 ならびな GF(p ) 自 じ 同 どう 換言 かんげん 之 の GF(pn ) n 個 こ GF(p ) 自 じ 同 どう
I
d
=
φ ふぁい
0
,
φ ふぁい ,
φ ふぁい
2
,
…
,
φ ふぁい
n
−
1
.
{\displaystyle \mathrm {Id} =\varphi ^{0},\varphi ,\varphi ^{2},\ldots ,\varphi ^{n-1}.}
以伽羅 きゃら 瓦 かわら 理論 りろん 觀 かん 之 の GF(pn ) 是 これ GF(p ) 的 てき 伽羅 きゃら 瓦 かわら 伽羅 きゃら 瓦 かわら 群 ぐん 為 ため 循環 じゅんかん 群 ぐん
弗 どる 羅 ら 貝 かい 尼 あま 烏 がらす 射 しゃ 為 ため 滿 まん 射 い 因 いん 任意 にんい 完 かん 美 び 域 いき
F 2 :
F 3 :
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
·
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
F 4 : 考 こう
x
2
+
x
+
1
=
0
,
{\displaystyle x^{2}+x+1=0,}
方 ほう 程 ほど 的 てき 根 ね 不在 ふざい F 2 中 なか 記 き 一 いち 根 ね 為 ため A , 則 のり
A
2
+
A
+
1
=
0
,
{\displaystyle A^{2}+A+1=0,}
一 いち 根 ね 為 ため
B
=
A
2
.
{\displaystyle B=A^{2}.}
+
0
1
A B
0
0
1
A B
1
1
0
B A
A
A B 0
1
B
B A 1
0
·
0
1
A B
0
0
0
0
0
1
0
1
A B
A
0
A B 1
B
0
B 1
A
^ Moore, E. H. , A doubly-infinite system of simple groups, E. H. Moore; et al (编), Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World's Columbian Exposition, Macmillan & Co.: 208–242, 1896
