平坦へいたん模も

在ざい抽象ちゅうしょう代數だいすう中ちゅう，一いち個こ環たまき $R$ 上うえ的てき平坦へいたん模も是ぜ一いち個こ $R$-模も $M$，使つかい得とく函はこ子こ $-\otimes _{R}M$ 保持ほじ序列じょれつ的てき正せい合性あいしょう；若わか此函子こ還かえ是これ忠實ちゅうじつ函はこ子こ，則のり稱しょう之の為ため忠實ちゅうじつ平坦へいたん模も

域いき上うえ的てき向むかい量りょう空間くうかん都みやこ是ただし平坦へいたん模も。自由じゆう模も或ある更さら一般いっぱん的てき射影しゃえい模も也是平坦へいたん模も。对于一いち个局部きょくぶ諾だく特とく環たまき上うえ的てき有限ゆうげん生成せいせい模も，平坦へいたん性せい、射影しゃえい性せい與あずか自由じゆう性せい三さん者しゃ等價とうか。

自じ塞ふさが爾しか的てき論文ろんぶん《代數だいすう幾何きか與あずか微分びぶん幾何きか》以降いこう，平坦へいたん性せい便びん在ざい同調どうちょう代數だいすう與あずか代數だいすう幾何きか中ちゅう扮ふん演えんじ重要じゅうよう角かく色しょく。其幾何なん意義いぎ甚深，詳しょう見み條目じょうもく平坦へいたん態たい射しゃ。

交換こうかん環たまき的てき情じょう形がた

當とう $R$ 為ため交換こうかん環たまき，一いち個こ $R$-模かたぎ的てき平坦へいたん性せい等價とうか於 $N\mapsto N\otimes _{R}M$ 是これ個こ從したがえ $R$-模も到いた$R$-模も之の正せい合ごう函はこ子こ。

將はた環たまき $R$ 對たい一いち個こ積せき性せい子こ集しゅう $S$ 的てき局部きょくぶ化か $S^{-1}R$ 視み作づく $R$-模も，則のり它是平坦へいたん的てき。

當とう $R$ 是これ諾だく特とく環たまき而 $M$ 是ぜ有限ゆうげん生成せいせい $R$-模も時じ，平坦へいたん性せい在ざい下した述じゅつ意義いぎ等價とうか於局部きょくぶ自由じゆう模も：$M$ 是ぜ平坦へいたん $R$-模も若わか且唯若わか對たい任にん何なに素す理想りそう ${\mathfrak {p}}$，局部きょくぶ化か $M_{\mathfrak {p}}$ 是ぜ自由じゆう $R_{\mathfrak {p}}$-模も。事實じじつ上じょう，對たい條件じょうけん中ちゅう的てき ${\mathfrak {p}}$ 僅須考慮こうりょ極大きょくだい理想りそう即そく可か。

一般いっぱん的てき環たまき

當とう $R$ 非ひ交換こうかん時じ的てき定義ていぎ須作如下修おさむ改あらため：假設かせつ $M$ 是ぜ左ひだり $R$-模も，則のり稱しょう之の左ひだり平坦へいたん模も，若わか且唯若わか對たい $M$ 的てき張はり量りょう積せき將はた右みぎ $R$-模かたぎ的てき正せい合ごう序列じょれつ映うつ至いたり阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき正せい合ごう序列じょれつ。

環かん上うえ的てき張はり量りょう積せき總そう是ぜ右みぎ正せい合ごう函はこ子こ，所以ゆえん左ひだり $R$-模も $M$ 是ぜ平坦へいたん模も的てき充たかし要よう條件じょうけん是ぜ：對たい任にん何なん右みぎ $R$-模かたぎ的てき單たん射しゃ $K\rightarrow L$，取と張ちょう量りょう積せき後ご的てき同どう態たい $K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M$ 仍為單たん射しゃ。

極限きょくげん

一般いっぱん來らい說せつ，平坦へいたん模も的てき歸納きのう極限きょくげん仍是平坦へいたん模も；此陳述ちんじゅつ可か由ゆかり $-\otimes _{R}M$ 與あずか $\mathrm {Hom} _{R}(M,-)$ 的てき伴とも隨ずい性質せいしつ形式けいしき地ち推出。平坦へいたん模も的てき子こ模も與あずか商しょう模も不ふ一定いってい是ぜ平坦へいたん模も，然しか而我們有下か述じゅつ定理ていり：一個平坦模的同態像是平坦模，若わか且唯若わか其核為ため純子じゅんこ模も。

Lazard 在ざい1969年ねん證明しょうめい了りょう：模も $M$ 平坦へいたん的てき充たかし要よう條件じょうけん是ぜ它可表ひょう成なり有限ゆうげん生成せいせい自由じゆう模も的てき歸納きのう極限きょくげん。由よし此可知かち有限ゆうげん展示てんじ的てき平坦へいたん模も都と是ぜ射影しゃえい模も。

一個阿貝爾群是平坦 $\mathbb {Z}$-模かたぎ的てき充たかし要よう條件じょうけん是ぜ其中沒ぼつ有ゆう撓たわわ元もと。

同調どうちょう代數だいすう

與あずかTor函はこ子こ的てき關係かんけい

平坦へいたん性せい也可以用Tor函はこ子こ的てき消けし沒ぼつ性せい表示ひょうじ。Tor函はこ子こ是ぜ張はり量りょう積せき的てき左ひだり導しるべ函はこ子こ。一いち個こ左ひだり $R$-模も $M$ 的てき平坦へいたん性せい等價とうか於 $n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(-,M)=0$；類るい此，一いち個こ右みぎ $R$-模も $N$ 的てき平坦へいたん性せい等價とうか於 $n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(N,-)=0$。藉Tor函はこ子こ的てき長正ながまさ合ごう序列じょれつ可か以導出どうしゅつ下か列れつ關せき於基本きほん性質せいしつ：

考慮こうりょ短みじか正せい合ごう序列じょれつ

$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

• 若わか $A,C$ 平坦へいたん，則のり $B$ 亦また然しか。
• 若わか $B,C$ 平坦へいたん，則のり $A$ 亦また然しか。
• 若わか $A,B$ 平坦へいたん，$C$ 不ふ一定いってい平坦へいたん；若わか假設かせつ $A$ 是これ $B$ 的てき純子じゅんこ模も而 $B$ 平坦へいたん，則のり可か推出 $A$ 與あずか $C$ 皆みな平坦へいたん。

局部きょくぶ判ばん準じゅん

設しつらえ $R$ 為ため交換こうかん環たまき，$I\subset R$ 為ため一いち理想りそう，則のり我わが們有下か述じゅつ平坦へいたん性せい的てき局部きょくぶ判ばん準じゅん。

定理ていり（Bourbaki）. 以下いか諸しょ條件じょうけん等價とうか：

1. $M$ 是ぜ平坦へいたん $R$-模も。
2. $R/I\otimes _{R}M$ 是ぜ平坦へいたん $R/I$-模も，且 $\mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,R/I)=0$。
3. $R/I\otimes _{R}M$ 是ぜ平坦へいたん $R/I$-模も，且典範てんぱん同どう態たい $I\otimes _{R}M\rightarrow IM$ 為ため同どう構。
4. 對たい所有しょゆう $R$-模も $N$，有ゆう $IN=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0$。
5. 對たい所有しょゆう $R$-模も $N$，有ゆう $\exists s\in \mathbb {N} \;I^{s}N=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0$。
6. 對たい所有しょゆう $s\in \mathbb {N}$，$R/I^{s}\otimes _{R}M$ 是ぜ平坦へいたん $R/I^{s}$-模も。
7. $R/I\otimes _{R}M$ 是ぜ平坦へいたん $R/I$-模も，且典範てんぱん態たい射しゃ $\gamma :\mathrm {gr} _{I}^{0}(M)\otimes _{R/I}\mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(A)\rightarrow \mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(M)$ 為ため同どう構。

此判準じゅん在ざい代數だいすう幾何きか中なか的てき用途ようと尤ゆう大だい。

平坦へいたん分解ぶんかい

一いち個こ模も $M$ 的てき平坦へいたん分解ぶんかい是ぜ如下形式けいしき的てき正せい合ごう序列じょれつ：

$\cdots \rightarrow F_{i}\rightarrow F_{i-1}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$

使つかい得とく其中每ごと個こ $F_{i}$ 都みやこ是ただし平坦へいたん模も。

任にん何なに射影しゃえい分解ぶんかい都みやこ是ただし平坦へいたん分解ぶんかい。

忠實ちゅうじつ平坦へいたん模も

一いち個こ $R$-模も $M$ 被ひ稱しょう作さく忠實ちゅうじつ平坦へいたん的てき，若わか且唯若わか $-\otimes _{R}M$ 是これ個こ忠實ちゅうじつ的てき正せい合ごう函はこ子こ。這也就是說せつ：

1. $M$ 是これ個こ平坦へいたん $R$-模も。
2. 典範てんぱん映うつ射い $\mathrm {Hom} _{R}(N_{1},N_{2})\rightarrow \mathrm {Hom} (N_{1}\otimes _{R}M,N_{2}\otimes _{R}M)$ 是ぜ單たん射しゃ。

當とう $R$ 為ため交換こうかん環たまき時じ，有ゆう以下いか幾いく種しゅ等價とうか的てき刻こく劃：

• $M$ 是ぜ忠實ちゅうじつ平坦へいたん的てき。
• $M$ 是ぜ平坦へいたん的てき，且 $N\otimes _{R}M=0\Rightarrow N=0$。
• $M$ 是ぜ平坦へいたん的てき，且對所有しょゆう極大きょくだい理想りそう ${\mathfrak {m}}\subset R$ 都みやこ有ゆう $R/{\mathfrak {m}}\otimes _{R}M\neq 0$。
• 一いち個こ序列じょれつ $N_{\bullet }$ 正せい合ごう，若わか且唯若わか $N_{\bullet }\otimes _{R}M$ 正せい合ごう。

文獻ぶんけん

• Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
• Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.