循環じゅんかん群ぐん

在ざい群論ぐんろん中なか，循環じゅんかん群ぐん（英文えいぶん：cyclic group），是ぜ指ゆび能のう由ゆかり單たん個こ元素げんそ所しょ生成せいせい的てき群ぐん。有限ゆうげん循环群ぐん同どう构于整数せいすう同どう余よ加法かほう群ぐん $\mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z}$，无限循环群ぐん则同どう构于整数すう加法かほう群ぐん。每まい個こ循環じゅんかん群ぐん都みやこ是ただし阿おもね贝尔群ぐん，亦また即そく其運算うんざん是ぜ可か交換こうかん的てき。在ざい群ぐん论中，循环群ぐん的てき性せい质已经被研究けんきゅう的てき较为透とおる彻，是ぜ更さら为复杂的代数だいすう研究けんきゅう中ちゅう常用じょうよう到いた的てき基もと础工具ぐ。

定義ていぎ

6次じ单位根ね在ざい乘法じょうほう下か形成けいせい循環じゅんかん群ぐん。z是ぜ本原もとはら元もと而 z² 不ふ是ぜ，因よし為ためz的てき奇數きすう次じ冪べき不ふ是ぜz²的てき冪べき。

设 $(G,\cdot )$ 為ため一いち个群，若わか存在そんざい一いち個こ元素げんそ $g\in G$，使つかい得とく $G=\left\langle \,g\,\right\rangle =\left\{g^{k}|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$，则 $(G,\cdot )$ 形成けいせい一いち个循环群ぐん。群ぐん $G$ 內任意にんい一个元素所生成的群都是循环群，而且是ぜ $G$ 的てき子こ群ぐん。

分ぶん类

令れい循环群ぐん $G=\left\{g^{k}|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$。如果存在そんざい两个相しょう異い整数せいすう $m,n$ 使つかい得とく $g^{m}=g^{n}$，那な么 $d=\vert m-n\vert$ 满足 $g^{d}=e$，其中 $e$ 是ぜ單位たんい元もと。所以ゆえん对於任意にんい整数せいすう $k$，$g^{k}=g^{r}$，其中 $r$ 是これ $k$ 除じょ以 $d$ 得え到いた的てき余あまり数すう，$0\leq r\leq d-1$。这说明あきら $G$ 是これ有限ゆうげん群ぐん。设 $d_{m}$ 是ぜ所有しょゆう这样的てき正せい整数せいすう中ちゅう最小さいしょう的てき一いち个，则 $G$ 可か以表示ひょうじ为：

$G=\left\{g^{k}|\;k=0,1,\ldots ,d_{m}-1\right\}$

可か以证明あかり它同どう构于模 $d_{m}$ 的てき加法かほう群ぐん $\left(\mathbb {Z} {\big /}d_{m}\mathbb {Z} ,+\right)$。事こと实上，對たい每ごと一いち個こ正せい整數せいすう $n$，都と存在そんざい唯一ゆいいつ一いち個こ（在ざい同どう构的てき意い义上）阶為ため此正整數せいすう $n$ 的てき循環じゅんかん群ぐん。而所有しょゆう的てき $n$ 阶循環じゅんかん群ぐん都和つわ模も $n$ 的てき同どう余よ类构成なり的てき加法かほう群ぐん $\left(\mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z} ,+\right)$ 同どう构。如果一个循环群的阶是无限的，那な么它同どう构于整數せいすう关于加法かほう构成的てき群ぐん $\left(\mathbb {Z} ,+\right)$。因よし此，循環じゅんかん群ぐん已やめ被ひ完全かんぜん分ぶん类，是ぜ最さい簡單かんたん的てき一いち种群。

例れい如，$G=\left\{e,g,g^{2},g^{3},g^{4},g^{5}\right\}$，則のり $G$ 為ため循環じゅんかん群ぐん。$G$ 同どう構於模も $6$ 的てき加法かほう群ぐん：$\mathbb {Z} _{6}=\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}},{\overline {5}}\right\}$。考こう虑映うつ射い：

$\varphi :\;G\longrightarrow \mathbb {Z} _{6}$

$\left.\;\,\right.g^{k}\,\mapsto \;\,{\overline {k}}$

可か以证明あかり其为群ぐん同どう态，而且是ぜ双そう射い，因いん此是群ぐん同どう构。

标记

由よし于循环群必然ひつぜん是ぜ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん，且与加法かほう群ぐん $\mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z}$ 或ある整数せいすう的てき加法かほう群ぐん $\mathbb {Z}$ 同どう构，它的运算常つね以加法ほう表示ひょうじ並なみ記き為ため $\mathbb {Z} _{n}$。然しか而數論ろん中ちゅう一般會避免使用這種標記，因いん為ため它和p进整数すう构成的てき環たまき或ある群ぐん的てき局部きょくぶ化か的てき標記ひょうき相しょう衝突しょうとつ，容易ようい混淆こんこう。因よし此，数すう论中一般いっぱん直接ちょくせつ记作 $\mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z}$，或ある以乘法ほう表示ひょうじ運算うんざん並なみ記き為ため $C_{n}$。

性質せいしつ

每まい一いち個こ循環じゅんかん群ぐん要よう么同どう構于整数すう模も $n$ 的てき加法かほう群ぐん：$\mathbb {Z} _{n}=\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},\cdots ,{\overline {n-1}}\right\}$，要よう么同构于整數せいすう的てき加法かほう群ぐん $\mathbb {Z}$。因よし此要研究けんきゅう循环群ぐん的てき性せい质，只ただ需要じゅよう研究けんきゅう $\mathbb {Z} _{n}$和わ $\mathbb {Z}$ 作さく为加法ほう群ぐん的てき性せい质即可か。设 $G$ 是ぜ一いち个 $n$ 阶的循環じゅんかん群ぐん，$g\in G$，则：

• $G$ 為ため交換こうかん群ぐん。這是因いん為ため $g+h\equiv h+g{\pmod {n}}$ 。
• 若わか $n$ 為ため正せい整数せいすう，則のり $g^{n}=e$，因よし為ため$n\equiv 0{\pmod {n}}$ 。而且 $n$ 是ぜ所有しょゆう使し得とく $g^{k}=e$ 的てき正せい整数せいすう $k$ 中ちゅう最小さいしょう的てき一いち个。
• 若わか $n$ 為ため無限むげん大だい，則のり $G$ 有ゆう且仅有ゆう兩個りゃんこ生成せいせい元もと，分ふん别对应于整数せいすう中ちゅう的てき $1$ 和わ $-1$。
• 若わか $n$ 為ため正せい整数せいすう，则 $G$ 的てき各かく个生成せいせい元もと分ぶん别对应整数すう模も $n$ 加法かほう群ぐん中ちゅう与あずか $n$ 互质的てき数すう的てき同どう余よ类。例れい如当 $n=12$ 时，$G$ 的てき生成せいせい元もと有ゆう四よん个，分ふん别对应着 $\mathbb {Z} _{12}$ 中なか的てき${\overline {1}},{\overline {5}},{\overline {7}},{\overline {11}}$四よん个同余あまり类。
• $G$ 的まと每ごと一いち個こ子こ群ぐん都と是ぜ循環じゅんかん群ぐん。每まい一いち個こ $G$ 的てき $m$ 阶有限げん子こ群ぐん皆みな為ため整数せいすう模も $m$ 的てき加法かほう群ぐん。而每一いち個こ $G$ 的てき無限むげん子こ群ぐん都と可か以表示ひょうじ成なり $m\mathbb {Z}$，同どう構於 $\mathbb {Z}$。
• 设 $p$ 是これ質しつ數すう，則のり阶為 $p$ 的まと群ぐん都と同どう构于 $p$ 阶循環じゅんかん群ぐん。
• 兩個りゃんこ循環じゅんかん群ぐん的てき直積ちょくせき $\mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{m}$是ぜ循環じゅんかん群ぐん若わか且唯若わか $n$ 和わ $m$ 互質。故こ $\mathbb {Z} _{12}$ 同どう構於 $\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{4}$，而不是ぜ $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{6}$。
• 阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき基本きほん定理ていり说明每ごと一いち個こ有限ゆうげん生成せいせい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん都みやこ是ただし有限ゆうげん多た個こ循環じゅんかん群ぐん的てき直積ちょくせき。

例れい子こ

在ざい二維和三維空间裡，$n$ 折おり旋轉せんてん對稱たいしょう的てき對稱たいしょう群ぐん為ため $C_{n}$，屬ぞく $\mathbb {Z} _{n}$ 抽象ちゅうしょう群ぐん類型るいけい。在ざい三さん維裡，亦また存在そんざい其他代數だいすう地相ちそう同どう的てき對稱たいしょう群ぐん，詳しょう見み三さん維點群ぐん。

需留意りゅうい的てき是ぜ，圓えん的てき所有しょゆう旋轉せんてん所しょ組成そせい之これ群ぐんS¹(圓えん群ぐん)不ふ是ぜ循環じゅんかん的てき，甚至不ふ是ぜ可か數すう的てき。

• $n$ 次つぎ單位たんい根ね形成けいせい一いち個こ关于乘法じょうほう的てき $n$ 阶循環じゅんかん群ぐん。

• 每まい一いち個こ有限ゆうげん域いき之これ有限ゆうげん扩张的てき伽羅きゃら瓦かわら群ぐん是ぜ有限ゆうげん且循環じゅんかん的てき；相反あいはん地ち，給きゅう定じょう一いち有限ゆうげん域いきF和わ一いち有限ゆうげん循環じゅんかん群ぐん $G$，則のり存在そんざい一いち個こ $F$ 的てき有限ゆうげん域いき擴張かくちょう，其伽羅きゃら瓦かわら群ぐん為ため $G$。

表示ひょうじ

有限ゆうげん循環じゅんかん群ぐん的てき環たまき圖ず全ぜん是ぜ有ゆう著ちょ其元素げんそ在ざい各個かっこ角かく上じょう的てき $n$ 邊あたり形がた。下面かめん環たまき圖ず中ちゅう的てき黑くろ角かく表示ひょうじ是ぜ單位たんい元素げんそ，而其他た的てき角かく則そく為ため群ぐん的てき其他元素げんそ。一個環包括著連接著單位元之元素的接續之次方。

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7	Z8

子こ群ぐん

所有しょゆう循環じゅんかん群ぐん的てき子こ群ぐん及商しょう群ぐん都みやこ是ただし循環じゅんかん的てき。特別とくべつ地ち，$\mathbb {Z}$ 的てき子こ群ぐん為ため $m\mathbb {Z}$ 的てき形式けいしき，其中 $m$ 為ため非ひ负整數すう。对于不同ふどう的てき $m$ ，$m\mathbb {Z}$ 形式けいしき的てき子こ群ぐん是ぜ不同ふどう的てき，且除了りょう當然とうぜん群ぐん（$m=0$）外そと都と同どう構於 $\mathbb {Z}$。$\mathbb {Z}$ 的てき子こ群ぐん格かく同どう構於以可か除じょ性せい排はい序じょ之の自然しぜん數すう格かく的てき對偶たいぐう。所有しょゆう $\mathbb {Z}$ 的てき商しょう群ぐん都と是ぜ有限ゆうげん的てき，除じょ了りょう一いち個こ當然とうぜん的てき例外れいがい $\mathbb {Z} \backslash \{0\}$ 之これ外がい。對たい每まい個こ $n$ 的てき正せい因數いんすう $d$ ，群ぐん $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 恰好かっこう有ゆう一いち個こ $d$ 目的もくてき子こ群ぐん，它由 $n/d$ 的てき剩餘じょうよ類るい所產しょさん生せい。其不存在そんざい其他的てき子こ群ぐん。故こ其子群ぐん格かく會同かいどう構於以可除じょ性せい排はい序じょ之の $n$ 的てき因數いんすう所しょ組成そせい的てき集合しゅうごう。

其中有ちゅうう一いち個こ很特別べつ的てき：一いち個こ循環じゅんかん群ぐん是ぜ簡單かんたん的てき若わか且唯若わか其目（元もと素數そすう目め）為ため質しつ數すう。

舉一いち個こ實際じっさい的てき問題もんだい，給きゅう定じょう一いち個こ $n$ 目め之の有限ゆうげん子こ群ぐん $C$，其生成せいせい元もと為ため $g$，並なみ要求ようきゅう求もとめ得え以某一いち整數せいすう $k$ 之これ $g^{k}$ 所ところ生成せいせい的てき子こ群ぐん之の大小だいしょう $m$。這裡，$m$ 會かい是能これよし使し $mk$ 能のう被ひ $n$ 整除せいじょ之の最小さいしょう正せい整數せいすう。因よし此其為ため $n/t$，其中 $t$ 為ため $k$ 和わ $n$ 的てき最さい大公たいこう因數いんすう。換かわ句く話はなし說せつ，由ゆかり $g^{k}$ 產さん生せい之子ゆきこ群ぐん之の指標しひょう為ため $t$。其理由りゆう在ざい數かず論ろん中ちゅう被ひ稱しょう為ため指標しひょう計算けいさん演算えんざん法ほう。

自じ同どう態たい

阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん $\mathbb {Z} _{n}$ 的てき自じ同どう態たい環たまき會かい同どう構於此阿貝かい爾なんじ群ぐん，且使其構成こうせい一いち個こ環たまき。在ざい此同構之下か，數字すうじ $r$ 會かい對應たいおう於將每ごと個こ元素げんそ映うつ射い至いたり其 $n$ 次つぎ乘じょう積せき之の值上之の $\mathbb {Z} _{n}$ 的てき自じ同どう態たい。此一自同態只有在r和わn互質時じ會かい是これ個こ雙そう射しゃ函數かんすう，所以ゆえん $\mathbb {Z} _{n}$ 的てき自じ同どう構群會同かいどう構於群ぐん $\mathbb {Z} _{n}^{\times }$(見上みあげ面めん)。$\mathbb {Z} _{n}$ 的てき自じ同どう構群有ゆう時じ會かい被ひ稱しょう為ため $\mathbb {Z} _{n}$ 的てき特徵とくちょう群ぐん，且此一群的建構會直接導致對狄利克かつ雷かみなり特徵とくちょう的てき定義ていぎ。

相似そうじ地ち，加法かほう群ぐん $\mathbb {Z}$ 的てき自じ同どう態たい環たまき會同かいどう構於環たまき $\mathbb {Z}$ ，且其自じ同どう構群會同かいどう構於環たまき $\mathbb {Z}$ 的てき單位たんい群ぐん，即そく$\{-1,+1\}\cong \mathbb {Z} _{2}$。

逼肖循環じゅんかん群ぐん

一いち個こ群ぐん稱たたえ為ため逼肖循環じゅんかん（virtually cyclic）的てき，如果這個群ぐん包含ほうがん一いち個こ有限ゆうげん指數しすう的てき循環じゅんかん子こ群ぐん。換言かんげん之の，一個逼肖循環群的任何元素，都と可か表示ひょうじ為ため這個循環じゅんかん子こ群ぐん的てき一個元素乘以群中某個有限子集的一個元素。一個無限群是逼肖循環的，當とう且僅當とう這個群ぐん是ぜ有限ゆうげん生成せいせい並なみ且正好こう有ゆう兩個りゃんこ端はし。逼肖循環じゅんかん群ぐん的てき一いち個こ簡單かんたん例れい子こ是ぜ $\mathbb {Z} /n$ 和わ $\mathbb {Z}$ 的てき直積ちょくせき，因子いんし $\mathbb {Z}$ 有ゆう有限ゆうげん指數しすう $n$。任にん何なに格かく羅ら莫夫雙そう曲きょく群ぐん的てき阿おもね貝かい爾なんじ子こ群ぐん都と是ぜ逼肖循環じゅんかん群ぐん。

相あい关文献ぶんけん

• Gallian, Joseph, Contemporary abstract algebra 4th, Boston: Houghton Mifflin, 1998, ISBN 978-0-669-86179-2 （英えい语） , especially chapter 4.
• Herstein, I. N., Abstract algebra 3rd, Prentice Hall, 1996, ISBN 978-0-13-374562-7, MR1375019 , especially pages 53–60.

另見

• 三さん維循環じゅんかん對稱たいしょう群ぐん
• 循環じゅんかん擴張かくちょう
• 循環じゅんかん模も
• 同どう餘よ