群ぐん的てき直和なおかず

在ざい數學すうがく中なか，群ぐん G 叫さけべ做子こ群ぐん的てき集合しゅうごう {H_i} 的てき直和なおかず，如果

• 每まい個こ H_i 是これ G 的てき正規せいき子こ群ぐん，
• 每まい對たい不同ふどう的てき子こ群ぐん都と有ゆう平凡へいぼん的てき交集，并且
• G = <{H_i}>；換かわ句く話はなし說せつ，G 是ぜ子こ群ぐん {H_i} 生成せいせい的てき。

解說かいせつ

如果 G 是ぜ子こ群ぐん H 和わ K 的てき直和なおかず，則のり我わが們寫為ため G = H + K；如果 G 是ぜ子こ群ぐん集合しゅうごう {H_i} 的てき直和なおかず，我わが們經常つね寫うつし為ため G = ∑H_i。不ふ嚴格げんかく的てき說せつ，直和なおかず同どう構於子群ぐん的てき弱じゃく直積ちょくせき。

在ざい抽象ちゅうしょう代數だいすう中なか，這種構造こうぞう方法ほうほう可か以推廣ひろ為ため向むかい量りょう空間くうかん、模も和かず其他結構けっこう的てき直和なおかず；詳しょう情じょう參さん見み條目じょうもく直和なおかず。

這個符號ふごう是ぜ符合ふごう交換こうかん律りつ的てき；所以ゆえん在ざい兩個りゃんこ子こ群ぐん的てき直和なおかず的てき情況じょうきょう下か，G = H + K = K + H。它還是ぜ符合ふごう結合けつごう律りつ的てき，在ざい如果 G = H + K 并且 K = L + M 則のり G = H + (L + M) = H + L + M 的てき意義いぎ上じょう。

可か以表達たち為ため非ひ平凡へいぼん子こ群ぐん的てき直和なおかず的てき群ぐん被ひ叫さけべ做“可か分解ぶんかい”的てき；否ひ則そく叫さけべ做“不可ふか分解ぶんかい”的てき。

如果 G = H + K，則のり可か以證明しょうめい:

• 對たい於所有しょゆう H 中なか的てき h 和わ K 中なか的てき k，有ゆう h*k = k*h。
• 對たい於所有しょゆう G 中なか的てき g，存在そんざい唯一ゆいいつ的てき H 中なか的てき h 和わ K 中なか的てき k 使つかい得とく g = h*k。
• 有ゆう直和なおかず在ざい商しょう群ぐん中ちゅう的てき消けし除じょ，即そく (H + K)/K 同どう構於 H。

上述じょうじゅつ斷言だんげん可か以推廣こう到いた G = ∑H_i 的てき情況じょうきょう，這里的てき {H_i} 是ぜ子こ群ぐん的てき有限ゆうげん集合しゅうごう。

• 如果 i ≠ j，則のり對たい于所有しょゆう H_i 中なか的てき h_i 和わ H_j 中なか的てき h_j，有ゆう著ちょ h_i * h_j = h_j * h_i。
• 對たい於每個こ G 中なか的てき g，有ゆう唯ただ一いち的てき {h_i ∈ H_i} 使つかい得とく

g = h₁*h₂* ... * h_i * ... * h_n。

• 有ゆう直和なおかず在ざい商しょう群ぐん中ちゅう的てき消けし除じょ；即そく ((∑H_i) + K)/K 同どう構於 ∑H_i。

注意ちゅうい類似るいじ於直積ちょくせき，這里的てき每まい個こ g 可か以唯一いち的てき表ひょう達たち為ため

g = (h₁,h₂, ..., h_i, ..., h_n)。

因よし為ため h_i * h_j = h_j * h_i 對たい於所有しょゆう i ≠ j，可か推出在ざい直和なおかず中ちゅう的てき元素げんそ的てき乘じょう積せき同どう構於對應たいおう的てき在ざい直積ちょくせき中ちゅう的てき元素げんそ的てき乘じょう積せき；因いん此對於子群ぐん的てき有限ゆうげん集合しゅうごう，∑H_i 同どう構於直積ちょくせき ×{H_i}。

直和なおかず的てき等價とうか

直和なおかず對たい於群不ふ是ぜ唯一ゆいいつ的てき；例れい如在克かつ萊因四よん元げん群ぐん V₄ = C₂ × C₂ 中なか，我わが們有

V₄ = <(0,1)> + <(1,0)> 和わ

V₄ = <(1,1)> + <(1,0)>。

但ただし是ぜ，Remak-Krull-Schmidt定理ていり聲こえ稱しょう給きゅう定てい有限ゆうげん群ぐん G = ∑A_i = ∑B_j，這里的てき每まい個こ A_i 和かず每まい個こ B_j 都みやこ是ただし不ふ平凡へいぼん的てき并且不可ふか分解ぶんかい的てき，則のり兩りょう直和なおかず分別ふんべつ涉わたる及到的てき子こ群ぐん在ざい重じゅう新しん排はい序じょ后きさき同どう构意义下是ぜ等價とうか的てき。

Remak-Krull-Schmidt 定理ていり對たい無限むげん群ぐん無效むこう，所以ゆえん在ざい無限むげん G = H + K = L + M 的てき情況じょうきょう下か，即そく使つかい在ざい所有しょゆう子こ群ぐん都と是非ぜひ平凡へいぼん的てき并且不可ふか分解ぶんかい的てき，我わが們不能ふのう假定かてい H 同どう構於要よう么 L 要よう么 M。

推廣到いた在ざい無限むげん集合しゅうごう上じょう的てき和わ

如果我わが們希望きぼう在ざい G 是ぜ子こ群ぐん的てき無限むげん(可能かのう不可ふか數すう)集合しゅうごう的てき直和なおかず的てき情況じょうきょう下か描述上述じょうじゅつ性質せいしつ，我わが們需要じゅよう更さら加か的てき小心しょうしん。

如果 g 是ぜ群ぐん的てき集合しゅうごう的てき笛ふえ卡爾積せき ∏{H_i} 的てき元素げんそ，設しつらえ g_i 是ぜ在ざい乘じょう積せき中ちゅう的てき g 的てき第だい i 個こ元素げんそ。 群ぐん的てき集合しゅうごう {H_i} 的てき外そと直和なおかず(寫うつし為ため ∑_E{H_i}) 是ぜ ∏{H_i} 的てき子こ集しゅう，這里對たい於每個こ ∑_E{H_i} 的てき元素げんそ g，g_i 是ぜ單位たんい元もと $e_{H_{i}}$ 對たい於除了りょう有限ゆうげん個こ之の外的がいてき所有しょゆう g_i (等價とうか的てき說せつ只ただ有ゆう有限ゆうげん個こ g_i 不ふ是ぜ單位たんい元もと)。在外ざいがい直和なおかず中ちゅう的てき群ぐん運算うんざん是ぜ逐點乘法じょうほう，如在平常へいじょう直積ちょくせき中ちゅう那な樣さま。

應おう當とう容易ようい的てき明白めいはく這個子こ集しゅう確實かくじつ形成けいせい了りょう群ぐん；對たい于群 H_i 的てき無限むげん集合しゅうごう，外そと直和なおかず同どう一いち於直積ちょくせき。

那な么如果はて G = ∑H_i，則のり G 同どう構於 ∑_E{H_i}。因よし此在某ぼう種しゅ意義いぎ上じょう，直和なおかず是ぜ“內部”外そと直和なおかず。我わが們有了りょう對たい於每個こ G 中なか的てき元素げんそ g，有ゆう一いち個こ唯一ゆいいつ有限ゆうげん集合しゅうごう S 和かず唯一ただいち的てき {h_i ∈ H_i : i ∈ S} 使つかい得とく g = ∏ {h_i : i ∈ S}。