商しょう群ぐん

在ざい數學すうがく中なか，商しょう群ぐん或ある因子いんし群ぐん是ぜ通どおり过保持ほじ群ぐん结构的てき等とう价关系けい来らい把わ较大群ぐん中ちゅう的てき类似元素げんそ聚类而产生せい的てき群ぐん。例れい如，加法かほう模もn的てき循环群ぐん是ぜ由ゆかり在ざい整数せいすう加法かほう群ぐん中将ちゅうじょう相差おうさつn倍ばい的てき整数せいすう定てい义为一いち类（称しょう为同余あまり类）得とく到いた的てき一系列可作为一个整体进行二元运算的群结构。

給きゅう定じょう一いち個こ群ぐんG和わG的てき正規せいき子こ群ぐんN，G在ざいN上うえ的てき商しょう群ぐん或ある因子いんし群ぐん，在ざい直覺ちょっかく上じょう是これ把わ正規せいき子こ群ぐんN“萎縮いしゅく”為ため單位たんい元もと的まと群ぐん。商しょう群ぐん寫うつし為ためG/N并念作さくG mod N（mod是これ模も的てき簡寫）。

商しょう群ぐん的てき重要じゅうよう性せい很大程度ていど上じょう源げん自他じた們與同どう態たい的てき關係かんけい。第だい一同いちどう構定理ていり指出さしで，任意にんい群ぐん $G$ 在ざい同どう態たい下か的てき像ぞう總そう是ぜ同どう構于 $G$ 的てき商しょう。具體ぐたい而言，同どう態たい $\varphi :G\rightarrow H$ 下した $G$ 的まと像ぞう同どう構于G/ker，其中 ker 代表だいひょう $\varphi$ 的てき核かく。

如果N不ふ是正ぜせい規子のりこ群ぐん，商しょう仍可得え到いた，但ただし結果けっか將はた不ふ是ぜ群ぐん，而是齊ひとし次じ空間くうかん。

群ぐん的てき子こ集しゅう的てき乘じょう積せき

在ざい隨ずい后きさき的てき討論とうろん中ちゅう，我わが們將使用しよう在ざいG的てき子こ集しゅう上じょう的てき二元にげん運算うんざん：如果給きゅう出でG的てき兩個りゃんこ子こ集しゅうS和わT，我わが們定義ていぎ它們的てき乘の積せき為ためST = { st : s∈S并且t∈T }。這個運算うんざん是ぜ符合ふごう結合けつごう律りつ的てき并有單位たんい元もと為ため單たん元素げんそ集合しゅうごう{e}，這里的てきe是これG的てき單位たんい元もと。因よし此，G的てき所有しょゆう子こ集しゅう的てき集合しゅうごう形成けいせい了りょう在ざい這個運算うんざん下か的てき幺半群ぐん。

憑借這個運算うんざん我わが們可以首先さき解釋かいしゃく商しょう群ぐん是ぜ什么，并接著ちょ解釋かいしゃく正規せいき子こ群ぐん是ぜ什么：

群ぐんG的てき商しょう群ぐん是ぜG的てき一いち個こ劃分，而它在ざい這個乘じょう積せき運算うんざん下か是ぜ群ぐん。

它完全ぜん由よし包含ほうがんe的てき子こ集しゅう所しょ確定かくてい。G的てき正規せいき子こ群ぐん是ぜ在任ざいにん何なん這種劃分中ちゅう包含ほうがんe的てき集合しゅうごう。在ざい劃分中ちゅう的てき子こ集しゅう是ぜ這個正規せいき子こ群ぐん的てき陪集。

群ぐんG的てき子こ群ぐんN是正ぜせい規子のりこ群ぐん，當とう且僅當とう陪集等式とうしきaN = Na對たい于所有しょゆうG中なか的てきa都と成立せいりつ。依據いきょ上述じょうじゅつ定義ていぎ的てき在ざい子こ集しゅう上じょう的てき二に元もと運算うんざん，G的てき正規せいき子こ群ぐん是ぜ交換こうかん於G的てき所有しょゆう子こ集しゅう的てき子こ群ぐん，并指示しじ為ためN ⊲ G。置換ちかん於G的てき所有しょゆう子こ群ぐん的てき子こ群ぐん叫さけべ做可か置換ちかん子こ群ぐん。

定義ていぎ

設しつらえN是ぜ群ぐんG的てき正規せいき子こ群ぐん。我わが們定義ていぎ集合しゅうごうG/N是これN在ざいG中なか的てき所有しょゆう左ひだり陪集的てき集合しゅうごう，就是說せつG/N = { aN : a∈G }。在ざいG/N上うえ的てき群ぐん運算うんざん定義ていぎ如上じょじょう。換かわ句く話はなし說せつ，對たい于每個こG/N中なかaN和わbN，aN和わbN的てき乘じょう積せき是ぜ (aN)（bN）。這個運算うんざん是ぜ閉合的てき，因いん為ため (aN)(bN)實際じっさい上じょう是ぜ左ひだり陪集：

(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N =(ab)NN =(ab)N。

N的てき正規せいき性せい被ひ用もちい在ざい了りょう這個等式とうしき中ちゅう。因よし為ためN的てき正規せいき性せい，N在ざいG中なか的てき左ひだり陪集和わ右みぎ陪集是ぜ相等そうとう的てき，所以ゆえんG/N也可以定義ていぎ為ためN在ざいG中ちゅう所有しょゆう的てき右みぎ陪集的てき集合しゅうごう。因よし為ため運算うんざん是ぜ從したがえG的てき子こ集しゅう的てき乘じょう積せき得とく出で的てき，這個運算うんざん是ぜ良好りょうこう定義ていぎ的てき（不ふ依賴いらい於表示ひょうじ的てき特定とくてい選擇せんたく），符合ふごう結合けつごう律りつ的てき，并有單位たんい元もとN。G/N的てき元素げんそaN的てき逆ぎゃく元もと是ぜa⁻¹N。

定義ていぎ的てき動機どうき

G/N被ひ稱しょう爲ため商しょう群ぐん的てき契機けいき來き自じ整數せいすう的てき除法じょほう。12除じょ以3時どき會得えとく到いた答案とうあん4，是ぜ因いん為ため我わが們可以把12個こ對象たいしょう重じゅう新しん分ぶん組ぐみ為ため各かく含3個こ對象たいしょう的てき4個こ子こ搜さがせ集しゅう。商しょう群ぐん的てき誕生たんじょう出で于同樣どうよう的てき想そう法ほう，但ただし用もちい一個群作為最終結果而非一個數，因いん為ため比ひ起おこり任意にんい對象たいしょう構成こうせい的てき集合しゅうごう，群ぐん有ゆう更さら嚴密げんみつ的てき結構けっこう。

更さら細ほそ致的說せつ，當とうN是これG的てき正規せいき子こ群ぐん的てき時候じこう，G/N這一群ぐん結構けっこう形成けいせい了りょう一いち種しゅ自然しぜん的てき“重じゅう新しん分ぶん組ぐみ”。它們是ぜN在ざいG中ちゅう陪集。因よし為ため這種運算うんざん涉わたる及一個群和它的正規子群，最終さいしゅう我わが們得到いた的てき商しょう不ふ只ただ是ぜ陪集的てき（正常せいじょう除法じょほう所產しょさん生せい的てき）數すう目もく，還かえ包含ほうがん更さら多た的てき信しん息いき，得とく到いた了りょう一いち個こ群ぐん結構けっこう。

例れい子こ

• 考慮こうりょ整數せいすう集しゅうZ（在ざい加法かほう下か）的てき群ぐん和わ所有しょゆう偶數ぐうすう構成こうせい的てき子こ群ぐん2Z。這是個こ正規せいき子こ群ぐん，因よし為ためZ是これ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん。只ただ有ゆう兩個りゃんこ陪集：偶數ぐうすう的てき集合しゅうごう和わ奇數きすう的てき集合しゅうごう；因いん此商群ぐんZ/2Z是ぜ兩個りゃんこ元素げんそ的てき循環じゅんかん群ぐん。這個商しょう群ぐん同どう構於集合しゅうごう{ 0, 1 }帶おび有ゆう模も2加法かほう運算うんざん的てき群ぐん；非ひ正式せいしき的てき說せつ，有ゆう時じ稱しょうZ/2Z等とう于集合しゅうごう{ 0, 1 }帶おび有ゆう模も2加法かほう。

• 上うえ個こ例れい子こ的てき稍やや微ほろ一般いっぱん化か。再さい次つぎ考慮こうりょ整數せいすう集しゅうZ在ざい加法かほう下か的てき群ぐん。設しつらえn是ぜ任にん何なん正せい整數せいすう。我わが們考慮こうりょ由よしn的てき所有しょゆう倍數ばいすう構成こうせい的てきZ的てき子こ群ぐんnZ。nZ在ざいZ中ちゅう還かえ是正ぜせい規子のりこ群ぐん因いん為ためZ是ぜ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん。陪集們是搜さがせ集しゅう{nZ,1+nZ,...,(n−2)+nZ,(n−1)+nZ}。整數せいすうk屬ぞく于陪集しゅうr+nZ，這里的てきr是これk除じょ以n的てき馀數。商しょうZ/nZ可か以被認みとめ為ため模も以n的てき“馀數”的てき群ぐん。這是個こn階かい循環じゅんかん群ぐん。

N在ざいG中なか的てき陪集

• 考慮こうりょ複數ふくすう十じゅう二に次じ單位たんい一いち的てき根ね的てき乘法じょうほう阿おもね貝かい爾なんじ群ぐんG，它們是ぜ在ざい單位たんい圓えん上うえ的てき點てん，它們在ざい右みぎ圖ず中ちゅう展示てんじ為ため著ちょ色しょく的てき球たま并在每ごと點てん上じょう用よう數すう標記ひょうき出で它們的てき辐角。考慮こうりょ它由單位たんい一いち的てき四よん次じ根ね構成こうせい的てき子こ群ぐんN，在ざい圖ず中ちゅう表示ひょうじ為ため紅色こうしょく球だま。這個正規せいき子こ群ぐん把わ群ぐん分解ぶんかい為ため三さん個こ陪集，分別ふんべつ表示ひょうじ為ため紅色こうしょく、綠色みどりいろ和わ藍色あいいろ。你可以驗證しょう這些陪集形成けいせい了りょう三さん個こ元素げんそ的てき群ぐん（紅色こうしょく元素げんそ和わ藍色あいいろ元素げんそ的てき乘じょう積せき是ぜ藍色あいいろ元素げんそ，藍色あいいろ元素げんそ的てき逆ぎゃく元もと是ぜ綠色みどりいろ元素げんそ等とう等とう）。因よし此商群ぐんG/N是ぜ三さん種しゅ顏色かおいろ元素げんそ的てき群ぐん，它又是ぜ三さん個こ元素げんそ的てき循環じゅんかん群ぐん。

• 考慮こうりょ實數じっすう集しゅうR在ざい加法かほう下か的てき群ぐん，和かず整せい數すう集しゅう子こ群ぐんZ。Z在ざいR中なか的てき陪集們是形がた如a + Z的てき所有しょゆう集合しゅうごう，這里0 ≤ a < 1是ぜ實數じっすう。這種陪集的てき加法かほう是ぜ通過つうか做相應おう的てき實數じっすう的てき加法かほう，并在結果けっか大だい於或等とう于1的てき時候じこう減げん去さ1完成かんせい的てき。商しょう群ぐんR/Z同どう構於圓えん群ぐんS¹，它是絕對ぜったい值為ため1的てき複數ふくすう在ざい乘法じょうほう下か的てき群ぐん，或ある者もの說せつ關せき于原點てん的てき二に維旋轉せんてん的まと群ぐん，也就是ぜ特殊とくしゅ正せい交群SO(2)。有ゆう一個同構給出為f(a + Z) = exp（2πぱいia，參まいり見み歐おう拉ひしげ恒等こうとう式しき）。

• 如果G是ぜ可逆かぎゃく的てき3 × 3實數じっすう矩のり陣じん的まと群ぐん，而N是ぜ帶たい有ゆう行列ぎょうれつ式しき為ため1的てき3 × 3實數じっすう矩のり陣じん的てき子こ群ぐん，那な么N在ざいG中ちゅう是正ぜせい規子のりこ群ぐん（因いん為ため它是行列ぎょうれつ式しき同どう態たい的てき核かく）。N的てき陪集們是帶たい有給ゆうきゅう定てい行列ぎょうれつ式しき的てき矩のり陣じん的てき集合しゅうごう們，因いん此G/N同どう構於非ひ零れい實數じっすう的てき乘法じょうほう群ぐん。

• 考慮こうりょ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐんZ₄ = Z/4Z（也就是ぜ集合しゅうごう{ 0, 1, 2, 3 }帶おび有ゆう加法かほう模も4），和かず它的子こ群ぐん{ 0, 2 }。商しょう群ぐんZ₄ / { 0, 2 }是ぜ{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }。這是帶たい有ゆう單位たんい元もと{ 0, 2 }的てき群ぐん，群ぐん運算うんざん如{ 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子こ群ぐん{ 0, 2 }和かず商しょう群ぐん{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }同どう構於Z₂。

• 考慮こうりょ乘法じょうほう群ぐん$G=\mathbf {Z} _{n^{2}}^{*}$。第だいn個こ馀數的てき集合しゅうごうN是これ$\mathbf {Z} _{n}^{*}$的てきϕ (n)階かい乘法じょうほう子こ群ぐん。則のりN在ざいG中ちゅう是正ぜせい規子のりこ群ぐん并且因子いんし群ぐんG/N有ゆう陪集N,（1+n）N, (1+n)²N,…,(1+n)ⁿ⁻¹N。Pallier加か密みつ系統けいとう基もと于了在ざい不知ふち道どうn的てき因子いんし分解ぶんかい的てき時候じこう難なん于確定かくていG的てき隨ずい機き元素げんそ的てき陪集的てき猜想。

性質せいしつ

商しょう群ぐんG / G 同どう構於平凡へいぼん群ぐん（只ただ有ゆう一いち個こ元素げんそ的てき群ぐん），而G / {e}同どう構於G。

G / N的てき階かい定義ていぎ為ため等とう于[G : N]，它是N在ざいG中なか的てき子こ群ぐん的てき指標しひょう（index）。如果G是ぜ有限ゆうげん的てき，這個指標しひょう還かえ等とう于G的まと階かい除じょ以N的まと階かい。注意ちゅういG / N可か以在G和わN二者是無限的時候是有限的（比ひ如Z / 2Z）。

有ゆう一いち個こ“自然しぜん”滿まん射しゃ群ぐん同どう態たいπぱい : G → G / N，把わ每ごと個こG的てき元素げんそg映うつ射い到いたg所屬しょぞく于的N的てき陪集上じょう，也就是ぜ：πぱい(g) = gN。映うつ射いπぱい有ゆう時じ叫さけべ做“G到いたG / N上うえ的てき規ぶんまわし范投影とうえい”。它的核かく是これN。

在ざい包含ほうがんN的てきG的てき子こ群ぐん和わG / N的てき子こ群ぐん之の間あいだ有ゆう一個雙射映射；如果H是ぜ包含ほうがんN的てきG的てき子こ群ぐん，則のり對應たいおう的てきG / N的てき子こ群ぐん是ぜπぱい(H)。這個映うつ射い對たい于G的てき正規せいき子こ群ぐん和わG / N也成立せいりつ，并在格かく定理ていり中ちゅう形式けいしき化か。

商しょう群ぐん的てき一些重要性質記錄在同どう態たい基本きほん定理ていり和わ同どう構基本きほん定理ていり中なか。

如果G是これ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん、冪べき零れい群ぐん或ある可か解かい群ぐん，則のりG / N也是。

如果G是これ循環じゅんかん群ぐん或ある有限ゆうげん生成せいせい群ぐん，則のりG / N也是。

如果N被ひ包含ほうがん在ざいG的てき中心ちゅうしん內，則のりG也叫做這個こ商しょう群ぐん的てき中心ちゅうしん擴張かくちょう。

如果H是ぜ在ざい有限ゆうげん群ぐんG中なか的てき子こ群ぐん，并且H的まと階かい是ぜG的まと階かい的てき一半いっぱん，則のりH保證ほしょう是正ぜせい規子のりこ群ぐん，因いん此G / H存在そんざい并同構於C₂。這個結果けっか還かえ可か以陳述ちんじゅつ為ため“任にん何なん指標しひょう為ため2的てき子こ群ぐん都と是正ぜせい規子のりこ群ぐん”，并且它的這種形式けいしき還かえ適用てきよう於無限げん群ぐん。

所有しょゆう群ぐん都と同どう構於一いち個こ自由じゆう群ぐん的てき商しょう。

有ゆう時じ但ただし非ひ必然ひつぜん的てき，群ぐんG可か以從G / N和わN重じゅう構為一いち個こ直積ちょくせき或ある半はん直積ちょくせき。判定はんてい何なん時じ成立せいりつ的てき問題もんだい叫さけべ做擴張かくちょう問題もんだい。不成立ふせいりつ的てき一いち個こ例れい子こ如下。Z₄ / { 0, 2 }同どう構於Z₂，并且還かえ同どう構於{ 0, 2 }，但ただし是ぜ唯ただ一的半直積是直積，因いん為ためZ₂只ただ有ゆう一いち個こ平凡へいぼん的てき自じ同どう構。所以ゆえんZ₄不同ふどう于Z₂ × Z₂，它不能ふのう被ひ重じゅう構。

參まいり見み

• 商しょう環たまき，也叫做因子いんし環たまき
• 群ぐん擴張かくちょう
• 格かく定理ていり
• 商しょう范疇
• 短たん正せい合ごう序列じょれつ