单位根ね

复平面めん上じょう的てき三さん次じ单位根ね

数学すうがく上うえ，$\,n\,$次じ單位たんい根ね是これ$\,n\,$次つぎ冪べき為ため1的てき複數ふくすう。它們位い於复平面めん的てき单位圆上うえ，構成こうせい正せい多た边形的てき頂點ちょうてん，但ただし最多さいた只ただ可か有ゆう兩個りゃんこ頂點ちょうてん同時どうじ標しるべ在ざい實數じっすう線せん上うえ。

定てい义

$z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )$

这方程ほど的てき複數ふくすう根ね $z\,$為ため$n\,$次じ單位たんい根ね。

單位たんい的てき $n\,$次じ根ね有ゆう $n\,$個こ：

$e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}\qquad (k=0,1,2,\cdots ,n-1)$。

本原もとはら根ね

單位たんい的てき $n\,$次じ根ね以乘法ほう構成こうせい$n$階かい循環じゅんかん群ぐん。它的生成せいせい元もと是ぜ $n\,$次つぎ本原もとはら單位たんい根ね。$n\,$次つぎ本原もとはら單位たんい根ね是ぜ$e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}$，其中$k\,$和わ$n\,$互質。$n\,$次つぎ本原もとはら單位たんい根ね數すう目もく為ため歐おう拉ひしげ函數かんすう$\varphi (n)$。 全体ぜんたいi次じ单位根ね对普通どおり乘法じょうほう作成さくせい群ぐん，即そくi次じ单位根ね群ぐん。所有しょゆう全体ぜんたいi次じ单位根ね群ぐん在ざい普通ふつう乘法じょうほう下か也可作成さくせい群ぐん，且这是ぜ一个无限交换群，这个无限交换群ぐん里さと的てき每まい个元素的すてき阶都有限ゆうげん。

例れい子こ

一いち次じ單位たんい根ね有ゆう一いち個こ: $1\,$。

二に次じ單位たんい根ね有ゆう兩個りゃんこ: $1\,$和わ$-1\,$，只ただ有ゆう$-1\,$是ぜ本原もとはら根ね。

三さん次じ单位根ね是これ

$\left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},$

其中${i}$是これ虚數きょすう單位たんい；除じょ$1\,$外そと都と是ぜ本原もとはら根ね。

四よん次じ單位たんい根ね是ぜ

$\left\{1,i,-1,-i\right\},$

其中$i$和わ$-i$是ぜ本原もとはら根ね。

和式わしき

當とう$n\,$不ふ小しょう於$2\,$时，$n\,$次じ單位たんい根ね總和そうわ為ため$0\,$。這一結果可以用不同的方法證明。一いち個こ基本きほん方法ほうほう是ぜ等比とうひ級數きゅうすう：

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}={\frac {e^{\frac {2\pi {n}i}{n}}-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}={\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}=0$。

第だい二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱たいしょう性せい知ち這多邊形たへんけい的てき重心じゅうしん在ざい原點げんてん。

還かえ有ゆう一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理ていり，由よし分ぶん圓えん方かた程ほど的てき$x^{n-1}\,$項こう係數けいすう為ため零れい得とく出で。