倍ばい立方りっぽう

尺せき规作图三さん大だい难题
三さん等分とうぶん角かく
化か圓えん為ため方かた
倍ばい立方りっぽう

倍ばい立方りっぽう問題もんだい

倍ばい立方りっぽう是これ古希こき腊数学すうがく里さと尺せき规作图领域當とう中なか的てき著名ちょめい问题，和わ三さん等分とうぶん角かく、化か圓えん為ため方かた問題もんだい被ひ並列へいれつ為ため古希こき臘尺规作图三さん大だい难题。尺しゃく规作图是古希こき腊人的てき数学すうがく研究けんきゅう课题之の一いち，是ぜ对具体ぐたい的てき直ちょく尺しゃく和わ圆规画が图可能かのう性せい的てき抽象ちゅうしょう化か，研究けんきゅう是ぜ否ひ能のう用よう规定的てき作さく图法在ざい有限ゆうげん步ふ内ない达到给定的てき目め标。倍ばい立方りっぽう问题的てき内容ないよう是ぜ：

“能否のうひ用よう尺じゃく规作图的方法ほうほう作出さくしゅつ一いち立方体りっぽうたい的てき稜りょう长，使つかい该立方体りっぽうたい的てき体からだ积等于一给定立方体的两倍？”

倍ばい立方りっぽう问题的てき实质是ぜ能否のうひ通どおり过尺规作图从单位长度出で发作出で${\sqrt[{3}]{2}}$的てき问题。

三さん大だい難題なんだい提出ていしゅつ后きさき，在ざい漫长的てき两千余よ年ねん中ちゅう，曾有众多的てき尝试，但ただし没ぼっ有人ゆうじん能のう够给出で严格的てき答案とうあん。随ずい着ぎ十じゅう九世纪群论和域论的发展，法ほう国こく数学すうがく家か皮かわ埃ほこり尔·汪ひろし策さく尔首くび先さき利用りよう伽とぎ罗瓦理り论证明，三等分角問題的答案是否定的。运用类似的てき方法ほうほう，可か以证明あかり倍ばい立方りっぽう问题的てき答案とうあん同どう样是否定ひてい的てき。具体ぐたい来らい说，给定单位长度後ご，所有しょゆう能のう够经由よし尺じゃく规作图达到的てき长度值被称しょう为规矩数すう，而如果はて能のう够作出で${\sqrt[{3}]{2}}$，那な么就能のう做出不ふ属ぞく于规矩のり数すう的てき长度，从而反はん证出で通どおり过尺规作图作出で给定立方体りっぽうたい体たい积两倍ばい的てき立方体りっぽうたい是ぜ不可能ふかのう的てき。

如果不ふ将しょう手段しゅだん局限きょくげん在ざい尺しゃく规作图法中ちゅう，放ひ宽限制せい或ある借か助じょ更さら多た的てき工具こうぐ的てき话，作出さくしゅつ给定立方体りっぽうたい体たい积两倍ばい的てき立方体りっぽうたい是ぜ可か行ぎょう的てき。

背景はいけい简介

相あい关传说

传说中ちゅう，这问题的来らい源げん，可か追おい溯さかのぼ到いた公おおやけ元もと前まえ429年ねん。一场瘟疫袭击了希腊提ひさげ洛らく岛（Delos），造成ぞうせい四よん分ふん之の一いち的てき人口じんこう死亡しぼう。岛民们去神しん庙请示しめせ阿波あわ罗的旨むね意い，神かみ谕说：要よう想そう遏止瘟疫，得とく将はた阿波あわ罗神殿どの中ちゅう那な正せい立方りっぽう的てき祭さい坛加大だい一いち倍ばい。人ひと们便把わ每ごと边增长一いち倍ばい，结果体たい积当然とうぜん就变成なり了りょう8倍ばい，瘟疫依よ旧きゅう蔓延まんえん；接せっ著ちょ人じん们又试著把わ体たい积改成原なりはら来らい的てき2倍ばい，但ただし形状けいじょう却变为一个长方体ほうたい……第だい罗斯岛人在ざい万般无奈的情况下，只ただ好こう鼓こ足あし勇いさむ气到雅典まさのり去さ求もとめ救すくい於当时著名めい的てき学者がくしゃ柏かしわ拉ひしげ图。

开始，柏かしわ拉ひしげ图和かず他た的てき学生がくせい认为这个问题很容易えき。他た们根据すえ平ひら时的经验，觉得利用りよう尺せき规作图可か以轻而易举地作さく一いち个正方形せいほうけい，使つかい它的面めん积等于已知ち正方形せいほうけい的てき2倍ばい，那な么作一いち个正方体ほうたい，使つかい它的体たい积等于已知正ともまさ方体ほうたい体たい积的2倍ばい，还会难吗?

尺せき规作图法

主しゅ条目じょうもく：尺せき规作图

在ざい叙述じょじゅつ倍ばい立方りっぽう问题前まえ，首しゅ先さき需要じゅよう介かい绍尺せき规作图。尺しゃく规作图问题是从现实中具体ぐたい的てき“直ちょく尺せき和かず圆规画が图可能かのう性せい”问题抽象ちゅうしょう出来でき的てき数学すうがく问题，将はた现实中ちゅう的てき直ちょく尺せき和かず圆规抽象ちゅうしょう为数学がく上じょう的てき设定，研究けんきゅう的てき是能これよし不能ふのう在ざい若干じゃっかん个具体ぐたい限げん制せい之の下した，在ざい有限ゆうげん的てき步ふ骤内作出さくしゅつ给定的てき图形、结构或ある其他目め标的问题。在ざい尺しゃく规作图中，直ちょく尺せき和かず圆规的てき定てい义是：

直ちょく尺しゃく：一侧为无穷长的直线，没ぼつ有ゆう刻こく度ど也无法ほう标识刻こく度ど的てき工具こうぐ。只ただ可か以让笔摹下か这个直ちょく线的全部ぜんぶ或ある一部分いちぶぶん。

圆规：由よし两端点てん构成的てき工具こうぐ。可か以在保持ほじ两个端はし点てん之の间的距离不ふ变的情じょう况下，将はた两个端点たんてん同どう时移动，或ある者もの只ただ固定こてい其中一いち个端点てん，让另一个端点移动，作出さくしゅつ圆弧或ある圆。两个端はし点てん之の间的距离只ただ能取のとろ已やめ经作出で的てき两点之の间的距离，或ある者もの任意にんい一いち个未知的ちてき距离。

定てい义了直ちょく尺せき和かず圆规的てき特性とくせい後ご，所有しょゆう的てき作さく图步骤都可か以归化か为五种基本的步骤，称しょう为作图公法ほう：

• 通過つうか兩個りゃんこ已やめ知ち點てん，作さく一直線いっちょくせん。
• 已やめ知ち圓心えんしん和わ半徑はんけい，作さく一いち個こ圓えん。
• 若わか兩りょう已やめ知直ともなお線せん相しょう交，确定其交點てん。
• 若わか已やめ知直ともなお線せん和わ一已知圓相交，确定其交點てん。
• 若わか兩りょう已やめ知ち圓えん相しょう交，确定其交點てん。

尺せき规作图研究けんきゅう的てき，就是是ぜ否ひ能のう够通过以上じょう五种步骤的有限次重复，达到给定的てき作さく图目标。尺しゃく规作图问题常见的形式けいしき是ぜ：“给定某某ぼうぼう条件じょうけん，能否のうひ用よう尺じゃく规作出で某某ぼうぼう对象？”比ひ如：“给定一いち个圆，能否のうひ用よう尺じゃく规作出で这个圆的圆心？”，等とう等とう。

问题叙述じょじゅつ

倍ばい立方りっぽう问题的てき完かん整せい叙述じょじゅつ是ぜ：

“ 任意にんい给定一いち个线段だんl，是ぜ否ひ能のう够通过以上じょう说明的てき五种基本步骤，于有限げん次じ内ない作出さくしゅつ另一个长度的线段，使つかい得とく以它为棱长的立方体りっぽうたい的てき体からだ积是以l为棱长的立方体りっぽうたい的てき体からだ积的2倍ばい？ ”

如果将はた给定线段的てき长度定てい为单位い长度，则倍立方りっぽう问题实质上じょう就是要よう作出さくしゅつ长度为单位い长度的てき${\sqrt[{3}]{2}}$倍ばい的てき线段。

倍ばい平方へいほう

与あずか倍ばい立方りっぽう问题相しょう比ひ，倍ばい平方へいほう问题要よう简单得とく多た。给定一个单位长度的线段，只ただ需做一个以它为边长的正方形，以正方形せいほうけい的てき对角线为边长的てき正方形せいほうけい，面めん积就是ぜ2. 也即是ぜ说，尺しゃく规作图可以作出で长度为单位い长度的てき${\sqrt {2}}$倍ばい的てき线段。然しか而，${\sqrt[{3}]{2}}$和わ${\sqrt {2}}$虽然形状けいじょう相近すけちか，却有本ほん质性的てき区く别。数学すうがく家か们直到いた十じゅう九きゅう世せい纪后，才さい从群论和域いき论的工具こうぐ中ちゅう了解りょうかい了りょう这个区く别。

不可能ふかのう性せい的てき證明しょうめい

主しゅ条目じょうもく：規矩きく數すう

以下いか內容已やめ移うつり至いたり於規矩きく數すう

尺せき规作图三さん大だい难题提出ていしゅつ後ご，有ゆう許多きょた基もと於平面めん幾何きか的てき論證ろんしょう和わ嘗試，但ただし在ざい十じゅう九きゅう世紀せいき以前いぜん，一直沒有完整的解答。沒ぼつ有人ゆうじん能のう夠給出で倍ばい立方りっぽう问题的てき解法かいほう，但ただし開始かいし懷疑かいぎ其可能かのう性的せいてき人じん之の中なか，也沒有人ゆうじん能のう夠證明しょうめい這樣的てき解法かいほう一定いってい不ふ存在そんざい。直ちょく到いた十じゅう九きゅう世紀せいき後ご，伽羅きゃら瓦かわら和わ阿おもね貝かい爾しか開ひらけ創そう了りょう以群論ろん來らい討論とうろん有理ゆうり係數けいすう多項式たこうしき方かた程ほど之の解かい的てき方法ほうほう，人にん們才認識にんしき到いた这三さん个問題もんだい的てき本質ほんしつ 。

尺せき规可作さく性せい和わ规矩数すう

在ざい研究けんきゅう各かく种尺规作图问题的时候，数学すうがく家か们留意りゅうい到いた，能否のうひ用よう尺じゃく规作出で特定とくてい的てき图形或ある目め标，本ほん质是能否のうひ作出さくしゅつ符合ふごう的てき长度。引进直角ちょっかく坐すわ标系和わ解析かいせき几何以后，又また可か以将长度解かい释为坐标。比ひ如说，作出さくしゅつ一いち个圆，实际上じょう是ぜ作出さくしゅつ圆心的てき位置いち（坐すわ标）和かず半径はんけい的てき长度。作出さくしゅつ特定とくてい的てき某ぼう个交点てん或ある某ぼう条じょう直ちょく线，实际上じょう是ぜ找出它们的てき坐すわ标、斜はす率りつ和わ截距。为此，数学すうがく家か引入了りょう尺じゃく规可作さく性せい这一概念がいねん。假かり设平面めん上じょう有ゆう两个已やめ知的ちてき点てんO和わA，以OA为单位い长度，射しゃ线OA为x-轴正向こう可か以为平面へいめん建立こんりゅう一いち个标准じゅん直角ちょっかく坐すわ标系，平面へいめん中ちゅう的てき点てん可か以用横よこ坐すわ标和纵坐标表示ひょうじ，整せい个平面めん可か以等价于$\mathbb {R} ^{2}$。

设E是これ$\mathbb {R} ^{2}$的てき一いち个非ひ空そら子こ集しゅう。如果某ぼう直ちょく线${\mathcal {l}}$经过E中ちゅう不同ふどう的てき两点，就说${\mathcal {l}}$是これE-尺せき规可作さく的てき，简称E-可か作さく。同どう样地，如果某ぼう个圆${\mathcal {C}}$的てき圆心和わ圆上的てき某ぼう个点是ぜE中なか的てき元素げんそ，就说${\mathcal {C}}$是これE-可か作さく的てき。进一いち步ほ地ち说，如果$\mathbb {R} ^{2}$里さと的てき某ぼう个点P是ぜ某ぼう两个E-可か作さく的てき直ちょく线或圆的交点こうてん（直ちょく线－直ちょく线、直ちょく线－圆以及圆－圆），就说点てんP是これE-可か作さく的てき。这样的てき定てい义是基もと于五个基本步骤得来的，包括ほうかつ了りょう尺じゃく规作图中从已知ち条件じょうけん得え到いた新しん元素げんそ的てき五ご种基本きほん方法ほうほう。如果将しょう所有しょゆうE-尺せき规可作さく的てき点てん的てき集合しゅうごう记作s(E)，那な么当E中ちゅう包含ほうがん超ちょう过两个点的てき时候，E肯定こうてい是ぜs(E)的てき真子しんじ集しゅう。从某个点集しゅうE₀开始，经过一步能作出的点构成集合E₁=s(E)，经过两步能のう作出さくしゅつ的てき点てん就是E₂=s(E₁)，……以此类推，经过n步ふ能のう作出さくしゅつ的てき点てん集しゅう就是E_n=s(E_n-1)。而所有しょゆう从E能のう尺じゃく规作出で的てき点てん集しゅう就是：

$C(\mathrm {E} _{0})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {E} _{n}.$

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设H是ぜ从集合しゅうごうE₀={(0,0), (0,1)}开始，尺しゃく规可作さく点てん的てき集合しゅうごう：$\mathrm {H} =C(\mathrm {E} _{0}),$ 那な么规矩のり数すう定てい义为H中なか的てき点てん的てき横よこ坐すわ标和纵坐标表示ひょうじ的てき数すう。

定てい义：实数a和わb是ぜ规矩数すう当とう且仅当とう(a, b)是これH中なか的てき一いち个点。

可か以证明あきら，有理数ゆうりすう集しゅう$\mathbb {Q}$是ぜ所有しょゆう规矩数すう构成的てき集合しゅうごうK的てき子こ集しゅう，而K又また是ぜ实数集しゅう$\mathbb {R}$的てき子こ集しゅう。另外，为了在ざい复数集しゅう$\mathbb {C}$内うち讨论问题，也会将はた平面へいめん$\mathbb {R} ^{2}$看み作さく复平面めん$\mathbb {C}$，同どう时定义一个复数すうa+bi是ぜ（复）规矩数すう当とう且仅当とう点てん(a, b)是これH中なか的てき一いち个点。所有しょゆう复规矩のり数すう构成的てき集合しゅうごうL也包含ほうがん$\mathbb {Q}$作さく为子集しゅう，并且是ぜ复数集しゅう$\mathbb {C}$的てき子こ集しゅう。从尺规可作さく性せい到いた解析かいせき几何下か的てき规矩数すう，尺しゃく规作图问题从几何问题转成了りょう代数だいすう的てき问题。

域いき的てき扩张与最小さいしょう多た项式

以集合しゅうごう的てき观念来らい说，L与あずか$\mathbb {Q}$、$\mathbb {C}$之これ间是子こ集しゅう与あずか包含ほうがん的てき关系。以抽象ちゅうしょう代数だいすう的てき观点来らい说，可か以证明あきらL是ぜ有理数ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$的てき扩域，是ぜ实数域いき$\mathbb {C}$的てき子こ域いき。记作$\mathbb {Q} \subseteq \mathrm {L} \subseteq \mathbb {C}$。域いき是ぜ抽象ちゅうしょう代数だいすう中ちゅう的てき概念がいねん，是能これよし够进行ぎょう“加か减乘除じょうじょ”运算的てき集合しゅうごう。从单位い长度出で发，很容易ようい得え到いた任にん何なん有理数ゆうりすう长度的てき线段，所以ゆえん直ちょく线OA（也就是ぜ实数轴）上じょう所有しょゆう的てき有理数ゆうりすう坐すわ标的点てん都と是ぜ尺じゃく规可作さく点てん。如果平面へいめん上じょう还有另一个尺规可作点（对应复数z），那な么也能のう做出任意にんいpz+q的まと点てん，甚至于任何なん形かたち如：

${\frac {P_{1}(z)}{P_{2}(z)}}$

的まと点てん（其中P₁和わP₂是ぜ两个多た项式）。有理数ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$和わ所有しょゆう因いん为z而多出来でき的てき尺しゃく规可作さく点てん仍旧构成一いち个域，称しょう为$\mathbb {Q}$关于z的てき扩张，记作$\mathbb {Q} (z)$。然しか而，$\mathbb {Q} (z)$中なか的てき元素げんそ并没有ゆう表面ひょうめん上じょう那な么“多た”。一般いっぱん来らい说，如果有ゆう一いち个多项式P使つかい得とくP(z)=0，那な么$\mathbb {Q} (z)$中なか的てき元素げんそ都と可か以写成なりλらむだ₁+λらむだ₂z+...+λらむだ_dz^d-1的てき形式けいしき，其中d是これP的てき阶数。这样的てき情じょう况称为域$\mathbb {Q}$的てき有限ゆうげん扩张，因いん为$\mathbb {Q} (z)$可か以看成なり关于$\mathbb {Q}$的てき有限ゆうげん维线性空そら间。为了确定这个线性空そら间的维数，需要じゅよう为它找一个基底きてい，也就是ぜ一いち个线性无关的てき最小さいしょう生成せいせい集しゅう。为此，寻找使し得とくm(z)=0的てき多た项式中ちゅう阶数最小さいしょう的てき，并称m是これz最小さいしょう多た项式。在ざい最小さいしょう多た项式确定后きさき，便びん可か确定1, z, ... , z^d_m-1是これ$\mathbb {Q} (z)$的てき一いち个基底そこ，$\mathbb {Q} (z)$是ぜ一いち个d_m维的$\mathbb {Q}$-线性空そら间（d_m是これm的てき阶数）。这时候こう也称d_m是ぜ域いき扩张$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)$的てき阶数，记作：

$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=\mathrm {d} _{m}$

规矩扩张的てき阶数

对任何なん一个尺规可作点，都と可か以考察它对应的てき域いき扩张的てき阶数。由よし于每个尺规可作さく点てん都と是ぜ通どおり过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中ちゅう生成せいせい新しん点てん（也就是ぜ新しん坐すわ标）的てき只ただ有ゆう後ご三さん种。所以ゆえん只ただ需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假かり设某个时刻こく，已やめ知的ちてき所有しょゆう尺じゃく规可作さく点てん构成的てき域いき是ぜL，那な么生成せいせい新しん点てん时的直ちょく线和圆的系けい数すう都と在ざいL里さと面めん。

直ちょく线的方かた程ほど是ぜ：$ax+by+c=0,\quad a,b,c\in \mathrm {L} ,\qquad \qquad \cdots \;\;(1)$

圆的方かた程ほど是ぜ：$(x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}=r^{2},\quad c_{1},c_{2},r\in \mathrm {L} .\qquad \qquad \cdots \;\;(2)$

无论是ぜ两个(1)类方程ほど，两个(2)类方程ほど，还是一いち个(1)类和一いち个(2)类方程ほど联立求もとめ解かい，得とく到いた的てきx和わy值都会かい是ぜ形がた同どう

${\begin{cases}x=p_{1}+q_{1}{\sqrt {t}}&p_{1},\;q_{1},\;t\;\in \mathrm {L} \\y=p_{2}+q_{2}{\sqrt {t}}&p_{2},\;q_{2}\;\in \mathrm {L} \end{cases}}$

的てき数すう值。所以ゆえん复规矩のり数すうz=x+yi满足一いち个二に次じ方かた程ほど：

$(z-(p_{1}+p_{2}i))^{2}=t(q_{1}+q_{2}i)^{2}$

其中的てきp₁+p₂i、q₁+q₂i以及t都みやこ是ただしL中なか的てき元素げんそ。这意味いみ着ぎ，域いき扩张L⊆L(z)的てき阶数最多さいた是ぜ2（最小さいしょう多た项式的てき阶数至いたり多た是ぜ2）。这又说明，从L开始，经过一いち系列けいれつ（n次つぎ）基本きほん步ふ骤得到いた的てき尺しゃく规可作さく点てん，代表だいひょう了りょうn次じ域いき扩张：

$\mathrm {L} \subseteq \mathrm {L} _{1}\subseteq \cdots \subseteq \mathrm {L} _{n}.$

而每次じ域いき扩张的てき阶数：[L_k : L_k-1]都と不ふ超ちょう过2。因よし此，如果从基本きほん的てき有理数ゆうりすう域いき出で发的话，就能得え到いた如下的てき定理ていり：

任にん何なん复规矩のり数すうz对应的てき域いき扩张$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)$的てき阶数$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]$都と是ぜ2的てき某ぼう个幂次じ： $[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=2^{s}$

其中的てきs是ぜ某ぼう个小于n的てき自然しぜん数すう（n是ぜ已やめ知ち所有しょゆう有理数ゆうりすう坐すわ标点时，作出さくしゅつz对应的てき点てん要よう经过的てき基本きほん步ふ骤数目め）。

倍ばい立方りっぽう不可能ふかのう性せい的てき证明

证明使用しよう反はん证法。倍ばい立方りっぽう问题是ぜ指ゆび已やめ知ち单位长度1，要よう作出さくしゅつ${\sqrt[{3}]{2}}$的てき长度。反はん设${\sqrt[{3}]{2}}$可か以作出で，说明它是一いち个规矩のり数すう。所以ゆえん域いき扩张的てき阶数$[\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} ]$应该是ぜ2的てき幂次。然しか而，$z={\sqrt[{3}]{2}}$的てき最小さいしょう多た项式是ぜ：

$z^{3}-2=0$

这说明あかり域いき扩张$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$的てき阶数是ぜ3，不ふ是ぜ2的てき幂次，这与先さき前まえ的てき结论矛盾むじゅん。所以ゆえん，用よう尺じゃく规方法ほう无法作出さくしゅつ一いち个立方体りっぽうたい，使つかい得とく它的体たい积是已やめ知立ちりゅう方体ほうたい的てき两倍。

倍ばい立方りっぽう的てき方法ほうほう

如果放ひ宽条件じょうけん，比ひ如使用しよう有ゆう刻こく度ど的てき直じき尺じゃく（二に刻こく尺じゃく）或ある折おり纸等，則のり倍ばい立方りっぽう是ぜ有ゆう可能かのう的てき：

二に刻こく尺じゃく作さく图

用もちい有ゆう刻こく度ど的てき直じき尺じゃく来らい进行倍ばい立方りっぽう

1. 作さく一いち個こ邊あたり長ちょう為ため 1 的てき等邊とうへん三角形さんかっけい ABC。
2. 把わ AB 延長えんちょう，作さく線せん AD ，使つかい得とく BD = 1。
3. 把わ BC 延長えんちょう，作さく線せん BE。
4. 把わ D 和わ C 相あい連れん並なみ延長えんちょう，作さく線せん DF。
5. 利用りよう直じき尺じゃく上じょう的てき刻こく度ど，作さく線せん AGH，使つかい得とく GH = 1 ，其中 G 和わ H 分別ふんべつ在ざい DF 和わ BE 之これ上じょう。
6. AG 的てき長ちょう度ど就是${\sqrt[{3}]{2}}$，作圖さくず完かん畢

證明しょうめい

由ゆかり $\angle CBD=120^{\circ },{\overline {BC}}={\overline {BD}}$

得とく

$\angle BCD=30^{\circ },\angle ACG=90^{\circ }$

又また根據こんきょ畢氏定理ていり

${\overline {CD}}={\sqrt {3}}$

現在げんざい設しつらえ${\overline {AG}}=x$，則のり${\overline {CG}}={\sqrt {x^{2}-1}}$由ゆかり孟はじめ氏し定理ていり

${\frac {\overline {DB}}{\overline {BA}}}\cdot {\frac {\overline {AH}}{\overline {HG}}}\cdot {\frac {\overline {GC}}{\overline {CD}}}=1$

可か得とく

${\frac {(x+1){\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {3}}}=1$

兩邊りょうへん平方へいほう後ご整理せいり

$(x+1)^{2}(x^{2}-1)-3$

$=x^{4}+2x^{3}-2x-4$

$=(x+2)(x^{3}-2)=0$

此方こちら程ほど式しき有ゆう唯ただ一いち正せい實根みね

$x={\sqrt[{3}]{2}}$

折おり纸

通つう过折纸的方式ほうしき求もとめ出で2的てき立方根りっぽうこん

将はた一张正方形纸折三等份留下痕迹之后，点てんP折おり向こう正方形せいほうけい的てき边AB，并且点てんP的てき位置いち要よう使つかい得とく左ひだり三さん等分とうぶん点てんQ折おり到いた与あずか右みぎ三さん等分とうぶん线重合じゅうごう。此时有ゆう${\frac {\overline {PB}}{\overline {AP}}}={\sqrt[{3}]{2}}$。

证明

将はた图中左ひだり边被折おり的てき点てん命名めいめい为C，以及AB边上右みぎ三さん等分とうぶん点てん命名めいめい为D。

设正方形せいほうけい连长为1以及AC长度为$x$，则有CP长度为$1-x$，AP长度通どおり过勾股定理ていり为${\sqrt {1-2x}}$；另一方面ほうめんPQ长度为${\frac {1}{3}}$，PD长度为${\frac {2}{3}}-{\sqrt {1-2x}}$。

根ね据すえ相似そうじ三角形さんかっけい（$\triangle ACP\sim \triangle DPQ$），可か以得到いた方かた程ほど：

${\frac {x}{1-x}}={\frac {{\frac {2}{3}}-{\sqrt {1-2x}}}{\frac {1}{3}}}$

取と其正根ね解かい得とく$x={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}$，又また由よし于PB长度为$1-{\sqrt {1-2x}}$，于是代入だいにゅう$x={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}$得とく${\frac {1-{\sqrt {1-2x}}}{\sqrt {1-2x}}}={\sqrt[{3}]{2}}$，证毕。

相關そうかん條目じょうもく

• 三さん等分とうぶん角かく
• 化か圆为方かた
• 蔓づる葉は線せん

外部がいぶ链接

• HPM 通どおり訊第6卷かん第だい6期き, 3大だい作圖さくず題だい 介かい紹在較寬鬆す的てき條件下じょうけんか（允許いんきょ使用しよう其他曲線きょくせん）用よう尺せき規ただし作圖さくず，來らい求もとめ解かい倍ばい立方りっぽう問題もんだい。