梅うめ涅劳斯定理ていり

情況じょうきょう1：直線ちょくせんLNM穿ほじ過か三角形さんかっけいABC

情況じょうきょう2：直線ちょくせんLNM在ざい三角形さんかっけいABC外面がいめん(M與あずかN位置いち可能かのう有ゆう錯）

梅うめ涅劳斯定理ていり（Menelaus' theorem），以古希こき腊数学がく家か梅うめ涅勞斯為ため名めい。它指出で：如果一いち直ちょく线与$\triangle ABC$的てき边BC、CA、AB或ある其延長線えんちょうせん分ぶん别交于L、M、N，则有：

${\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1$。

它的逆ぎゃく定理ていり也成立せいりつ：若わか有ゆう三さん点てんL、M、N分ぶん别在$\triangle ABC$的てき边BC、CA、AB或ある其延长线上じょう（有ゆう一点或三点在延长线上），且满足あし

${\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1$

则L、M、N三さん点てん共ども线。利用りよう这个逆ぎゃく定理ていり，可か以判断はんだん三さん点てん共ども线。 如果在ざい上うえ式しき中ちゅう线段用よう有向ゆうこう线段表示ひょうじ，那な么右面めん的てき结果为-1。

该定理ていり与あずか塞ふさが瓦かわら定理ていり的てき等式とうしき仅在条件じょうけん上じょう有ゆう所しょ不同ふどう，二に者しゃ互为对偶定理ていり。

证明

面めん积法证明

如情况一，连接$AL$、$CN$，有ゆう

${\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle LNA}}{\mathrm {S} _{\triangle LNB}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle LNB}}{\mathrm {S} _{\triangle LNC}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle LNC}}{\mathrm {S} _{\triangle ANL}}}=1$

正弦せいげん定理ていり证明

如情況きょう一いち，设$\angle ANM=\alpha$，$\angle AMN=\beta$，$\angle MLC=\gamma$，則のり在ざい$\triangle AMN$中なか由ゆかり正弦せいげん定理ていり，有ゆう

${\frac {AN}{AM}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},$

同どう理り，因いん對頂角たいちょうかく相等そうとう在ざい$\triangle NBL$和わ$\triangle CLM$中有ちゅうう

${\frac {BL}{BN}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }},$

及

${\frac {CM}{CL}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}.$

三さん式しき相乘そうじょう即そく得とく

${\frac {AN}{AM}}\cdot {\frac {BL}{BN}}\cdot {\frac {CM}{CL}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}\cdot {\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}=1,$

即そく

${\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1.$

历史

目前もくぜん不ふ确定是ぜ谁首先さき发现了りょう梅うめ涅劳斯定理ていり。现存最早もはや的てき关于定理ていり的てき内容ないよう出で现在梅うめ涅劳斯的著作ちょさく《球面きゅうめん三角さんかく学がく》中ちゅう。在ざい本ほん书中，定理ていり的てき平面へいめん版本はんぽん被ひ用作ようさく证明该定理ていり的てき球形きゅうけい版本はんぽん的てき引理。

在ざい《天文学てんもんがく大成たいせい》中ちゅう，托たく勒密将はた该定理ていり应用于球形がた天文学てんもんがく中ちゅう的てき许多问题。 在ざい伊い斯兰黄金おうごん时代，穆きよし斯林学者がくしゃ投入とうにゅう了りょう大量たいりょう从事梅うめ涅劳斯定理ていり研究けんきゅう的てき著作ちょさく，他た们称之の为“关于割わり线的命いのち题”（shakl al-qatta'）。完全かんぜん四边形在他们的术语中被称为“割わり线图”。比ひ鲁尼的てき作品さくひん“天文学てんもんがく的てき钥匙”列れつ出で了りょう其中的てき一いち些作品さくひん；这些作品さくひん都と可か被ひ归类为托勒密的てき《天文学てんもんがく大成たいせい》内容ないよう的てき一いち部分ぶぶん，如al-Nayrizi和わal-Khazin的てき作品さくひん，其中每ごと个作品さくひん都と展示てんじ了りょう梅うめ涅劳斯定理ていり的てき特殊とくしゅ形式けいしき（如用角かく的てき正弦せいげん表示ひょうじ的てき等式とうしき），或ある作さく为独立どくりつ论文组成的てき作品さくひん，例れい如：

塔とう比ひ·伊い本ほん·库拉撰せん写うつし的てき“关于割わり线图的てき论述”（Risala fi shakl al-qatta'）。 Husam al-DIn al-Salar的てき《揭开割わり线图的てき奥秘おうひ》（Kashf al-qina'as asrar al-shakl al-qatta'），也被称しょう为《割わり线图之の书》（Kitab al-shakl al-qatta') ，或ある在ざい欧おう洲しゅう被ひ称しょう为“完全かんぜん四よん边形的てき论文”。 Al-Tusi和わNasir al-Din al-Tusi提ひっさげ到いた了りょう其中丢失的てき内容ないよう。 阿おもね尔·锡杰齐的工作こうさく。 Abu Nasr ibn的てき《Tahdhib》。 Roshdi Rashed和わAthanase Papadopoulos，Menelaus'Spherics的てき早期そうき翻こぼし译和al-Mahani'/ al-Harawi的てき版本はんぽん（来らい自じ阿おもね拉ひしげ伯はく手しゅ稿こう的てきMenelaus Spherics的てき重要じゅうよう版本はんぽん，以及历史和わ数学すうがく评论）, De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 pages. ISBN 978-3-11-057142-4

延伸えんしん阅读

• Russell, John Wellesley. Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem". Pure Geometry. Clarendon Press. 1905. 

参まいり见

• 塞ふさが瓦かわら定理ていり

外部がいぶ链接

• Alternate proof （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） of Menelaus's theorem, from PlanetMath
• Menelaus From Ceva （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Ceva and Menelaus Meet on the Roads （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Menelaus and Ceva at MathPages
• Demo of Menelaus's theorem （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） by Jay Warendorff. The Wolfram Demonstrations Project.
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Menelaus' Theorem. MathWorld.